2020届上海市宝山区二模数学试题（解析版）
展开2020届上海市宝山区二模数学试题
一、单选题
1．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】分别令,计算左右两边，观察不等式是否成立，即可求出
【详解】
解：当时，左边，右边,
当时，左边，右边，
当时，左边，右边，
即左边＞右边，不等式成立，
则对任意的自然数都成立，则的最小值为3，
故选：C．
【点睛】
本题以不等式为载体，考查用数学归纳法证明不等式，属于基础题
2．设，，点均非原点，则“能表示成和的线性组合”是“方程组有唯一解”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据向量坐标公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
解：若能表示成和的线性组合，则，
即，
即，则方程有解即可，不一定是唯一解，
若有唯一解，则，
即能表示成和的线性组合，即必要性成立，
则“能表示成和的线性组合”是“方程组有唯一解”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合平面向量基本定理进行判断是解决本题的关键．
3．已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支有两个交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求得双曲线的渐近线方程，结合图象可得直线的斜率k的范围．
【详解】
解：双曲线的渐近线方程为，
直线经过焦点，，
当时，可得，
当时，，
故，
故选：A．
【点睛】
本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查数形结合思想方法，属于基础题．
4．设向量，，其中，则下列判断错误的是（ ）
A.向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）
B.的最大值为
C.与夹角的最大值为
D.的最大值为l
【答案】B
【解析】在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确．
【详解】
解：由向量，，其中，知：
在A中，设z轴正方向的方向向量，
向量与z轴正方向的夹角的余弦值：
，
∴向量与z轴正方向的夹角为定值45°（与c，d之值无关），故A正确；
在B中，，
且仅当a＝c，b＝d时取等号，因此的最大值为1，故B错误；
在C中，由B可得：，
，
∴与的夹角的最大值为，故C正确；
在D中，，
∴ad−bc的最大值为1．故D正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题．
二、填空题
5．已知为虚数单位，则集合中元素的个数为______.
【答案】4
【解析】计算出，即可发现其周期性，即可得结果.
【详解】
（4个一周期）共4个元素.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查虚数单位的乘方运算，是基础题.
6．圆的半径______.
【答案】4
【解析】将圆的一般式化为标准式即可得结果.
【详解】
由，
得，
故半径4.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，是基础题.
7．过点，且开口向左的抛物线的标准方程是______.
【答案】
【解析】设出抛物线的标准方程，将点代入即可求出结果.
【详解】
设抛物线为，，
代入点，得，
解得，
则.
故答案为：.
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线的标准方程，是基础题.
8．设，且，其中为虚数单位，则______.
【答案】2
【解析】将变形，将用表示出来，然后求模.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查复数的模的计算，是基础题.
9．在的展开式中，的系数为______（结果用数值表示）
【答案】-9
【解析】观察，可以是中项和后面的式中1相乘得到，也可以是中常数项和相乘得到，分别求出系数，相加即可.
【详解】
中项为；
中常数项，
所以在的展开式中，的系数为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查两个多项式相乘，求展开式指定项的系数，难度不大，注意计算要准确.
10．在平面直角坐标系中，已知点，若为平面区域上一个动点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】作出可行域，确定目标函数，平移直线，即可得到结论．
【详解】
画出平面区域，
则，
令，则即求的取值范围，
，线性规划得到分别在点和取到最值，
将点和代入，得
的取值范围是.
故答案为: .
【点睛】
本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
11．将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么这个大铅球的体积为______.
【答案】
【解析】由熔前熔后总体积不变，可得新的大铅球体积等于原来两个小铅球的体积之和。
【详解】
因为大铅球的体积等于原来两个小铅球的体积之和，
所以大铅球的体积。
故答案为：
【点睛】
本题考查了球体的体积公式，属于基础题。
12．方程的解集为______.
【答案】
【解析】根据行列式的定义列方程求解即可.
【详解】
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查行列式的计算以及通过三角函数值求角，是基础题.
13．如图，扇形的半径为1，圆心角为，若为弧上异于，的点，且交于点，当的面积大于时，的大小范围为______.
【答案】
【解析】利用三角形的面积公式，列不等式求解即可.
【详解】
，
，则
，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查三角不等式，注意角的范围，利用正弦函数的图像可快速解出.
14．一个口袋中装有9个大小形状完全相同的球，球的编号分别为1，2，…，9，随机摸出两个球，则两个球的编号之和大于9的概率是______（结果用分数表示）.
【答案】
【解析】由题意分别列举两个球编号之和大于9的号码，再用古典概型公式求概率．
【详解】
解：当抽出的其中一个球为1号时，另一个球的号码为9，
当抽出的其中一个球为2号时，另一个球的号码为9，8，
当抽出的其中一个球为3号时，另一个球的号码为9，8，7，
当抽出的其中一个球为4号时，另一个球的号码为9，8，7，6，
当抽出的其中一个球为5号时，另一个球的号码为9，8，7，6，
当抽出的其中一个球为6号时，另一个球的号码为9，8，7，
当抽出的其中一个球为7号时，另一个球的号码为9，8，
当抽出的其中一个球为8号时，另一个球的号码为9，
所以两个球编号之和大于9的情况有1＋2＋3＋4＋4＋3＋2＋1＝20种，
总的抽取情况有种，所以两个球编号之和大于9的概率是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查古典概型，属于基础题．
15．已知无穷等比数列，，，…各项和为，且，若，则的最小值为______.
【答案】10
【解析】无穷等比数列，，，…各项和为，且，可得，，，解得：，利用求和公式即可得出．
【详解】
题意可得，
解得：，，
，
即 ，
，
，
，
得到最小为10.
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了无穷等比数列的性质、等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．在线段的两端点各置一个光源，已知光源，的发光强度之比为，则线段上光照度最小的一点到，的距离之比为______（光学定律：点的光照度与到光源的距离的平方成反比，与光源的发光强度成正比）
【答案】
【解析】设线段长为L，线段上光照度最小的一点P到，的距离分别为，不妨设，光源的发光强度之比为1，2，由题意可得P点受光源的照度为：，P点受光源的照度为：，作和后利用导数求最值，可得P到，的距离，作比得答案．
【详解】
解：设线段长为L，线段上光照度最小的一点P到，的距离分别为，不妨设，光源的发光强度为1，2，
∵光照度与光的强度成正比，设比例系数为，
与光源距离的平方成反比，设比例系数为，
故P点受光源的照度为：，
P点受光源的照度为：，
故P点受到，两光源的总照度，
，
令，解得：，
当时，，函数在上递减，
当时，，函数在上递增，
故当时，取极小值，且是最小值，
故P在线段上距离为时，P点的光照度最小，
此时点P到的距离，之比为．
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数模型的选择与应用，同时考查了函数的最值的求解，导数法求函数最值是常用的方法，属于中档题．
三、解答题
17．如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高.
（1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据底面半径，直接求出圆柱表面积，求出三角形APB的面积，进而求出三棱锥的体积；
（2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用向量法公式求出点到平面的距离.
【详解】
解：（1）底面半径，
则圆柱表面积：，
为圆O直径，则，
中，，
则；
（2）以为坐标原点，垂直平分线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有：.
取
.
则有：.
其中点到平面的距离为.
【点睛】
本题考查圆柱表面积，三棱锥的体积的求法，以及空间向量法求点到面的距离，考查学生计算能力，是中档题.
18．已知.
（1）若，求的取值范围；
（2）设的三边分别是，，，周长为1，若，求面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）利用倍角公式，结合辅助角公式进行化简，根据角的范围，对函数取值范围进行求解．
（2）根据三角形的周长，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．
【详解】
（1），
由
.
（2）
即
又，可得，
，
，
由余弦定理：
而，代入上式得：
，
即面积的最大值为.
【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简是解决本题的关键．
19．对年利率为的连续复利，要在年后达到本利和，则现在投资值为，是自然对数的底数.如果项目的投资年利率为的连续复利.
（1）现在投资5万元，写出满年的本利和，并求满10年的本利和；（精确到0.1万元）
（2）一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目投资2万元，那么，至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?（精确到1年）
【答案】（1），万元；（2）至少满23年基金共有本利和超过一百万元.
【解析】（1）根据投资值公式变形得出；
（2）根据等比数列的求和公式列不等式求出n的值．
【详解】
（1）由题意：.
当时，本利和为万元.
（2）由题意：.设年后共有本利和超过一百万元，则年后：
第一年年初的投资所得的为：.
第二年年初的投资所得的为：.
以此类推：第年年初的投资所得的为：.
则满年后，基金共有本利和：
.
由题意：
.
故至少满23年基金共有本利和超过一百万元.
【点睛】
本题考查了函数模型的应用，属于中档题．
20．已知椭圆：的左右焦点为，，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于，两点（点在的上方或重合）.
（1）当面积最大时，求椭圆的方程；
（2）当时，若是线段的中点，求直线的方程；
（3）当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在,点，使得为定值.
【解析】（1）由题意可得点A与点B重合时，面积最大，借助基本不等式即可求出b的值，可得椭圆方程；
（2）设出点，则：，：，求出点A的坐标，点B的坐标，根据B是线段的中点，用中点坐标公式列方程，可得M点坐标，进而求出直线的方程；
（3）设，，求出点A的坐标，根据向量的数量积即可求出
【详解】
解：（1）由已知：
，
当且仅当时等号成立；
则：，
此时椭圆方程为：；
（2）点在轴或其左侧，则图形如本题图，设，那么：
：，：，
令
得：，，
是线段的中点，
则：，
解得：，则，
则：：，即：；
（3）：，设，，
若点在轴左侧，则同上，，
，，
，
此时，，；
综上，故存在点使得为定值.
【点睛】
本题考查椭圆与直线的位置关系与方程的综合运用，涉及直线与椭圆的位置关系时，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
21．已知函数，的在数集上都有定义，对于任意的，当时，或成立，则称是数集上的限制函数.
（1）求在上的限制函数的解析式；
（2）证明：如果在区间上恒为正值，则在上是增函数；[注：如果在区间上恒为负值，则在区间上是减函数，此结论无需证明，可以直接应用]
（3）利用（2）的结论，求函数在上的单调区间.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）见解析.
【解析】（1）由题目给出的条件，构造，根据条件验证可得所求函数；
（2）运用反证法，即可得证；
（3）求得，根据第二问结论由大于0，可得增区间；小于0，可得减区间．
【详解】
解：（1）任意的，；
由于任意性：；
故构造；
由幂函数性质得在单调递减，
且易得：，满足题意，
故：；
（2）运用反证法，即假设在上不是增函数，
若在上是减函数，可得在区间上恒为负值；
若在上是常数函数，可得在区间上恒为零；
若在上是有增有减，可得在区间上可能为正可能为负；
这与在区间上恒为正值矛盾，故在上是增函数；
（3）任意的，当，
，
构造；
任取，，
，
，
故：，
是数集上的限制函数，
，解得
利用（2）结论，当函数单调递增，
，解得
利用（2）结论，当函数单调递减.
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，以及函数单调性，考查运算能力，属于难题．
