2020届年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题（解析版）

2020届年上海市宝山区高三上学期期末教学质量监测(一模)数学试题

一、单选题

1．若等式对一切都成立，其中，，，为实常数，则　　

A.2 B. C.4 D.1

【答案】D

【解析】在所给的已知式中，令，可得的值．

【详解】

解：等式对一切都成立，其中，，，为实常数，

则令，可得，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．

2．“”是“”的（    ）

A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分条件又非必要条件

【答案】B

【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．

【详解】

的定义域为，，

，，

，推不出，，

，，，

“，是“”的必要非充分条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查反三角函数，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．

3．关于函数的下列判断，其中正确的是（    ）

A.函数的图像是轴对称图形 B.函数的图像是中心对称图形

C.函数有最大值 D.当时，是减函数

【答案】A

【解析】判断函数为偶函数得到A正确，B错误 ，取特殊值，排除C和D得到答案.

【详解】

定义域为： ，

函数为偶函数，故A正确，B错误

当且 时， ，C错误

，不满足是减函数，D错误

故选：A

【点睛】

本题考查了函数的性质，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.

4．设点、均在双曲线上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（   ）

A. B.4 C. D.以上都不对

【答案】B

【解析】根据向量的运算，化简得，结合双曲线的性质，即可求解.

【详解】

由题意，设为的中点，

根据向量的运算，可得，

又由为双曲线上的动点，可得，

所以，

即的最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了向量的运算，以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中利用向量的运算，合理化简，结合双曲线的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

二、填空题

5．函数的最小正周期为______．

【答案】

【解析】利用的最小正周期为，即可得出结论．

【详解】

解：函数的最小正周期为：，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查三角函数的周期性，利用了的最小正周期为，属于基础题．

6．集合，集合，，则______．

【答案】

【解析】分别求出集合，，从而求出，由此能求出A.

【详解】

解：集合，集合，

，

，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

7．若复数z满足（i是虚数单位），则＝_______．

【答案】1-i

【解析】根据题意求出复数z，然后可求出．

【详解】

∵，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】

解答本题的关键是求出复数的代数形式，然后再根据共轭复数的概念求解，属于基础题．

8．方程的根为______．

【答案】0

【解析】根据题意，分析可得，即，令，解可得t的值，则有，解可得x的值，即可得答案．

【详解】

解：根据题意，，即，

令，，则有，

解可得或；

又由，则有，即，解可得，

故答案为：0．

【点睛】

本题考查对数、指数的运算，换元法的应用，属于基础题．

9．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有______种不同的选法用数字作答

【答案】20

【解析】由题意，七个名额分成四份，名额之间没有差别，四个班级之间也没有差别，故把七个名额分成四份即得选法种数，此问题可用插板法解决，七个个体间有六个空，选出三个空插板，即可分成四份，此题易解

【详解】

解：由题意，4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块木板把它们分成4份，即中间6个空位，选3个插板，分成四份，总的分法有种，

故答案为：20．

【点睛】

本题考查排列、组合及简单计数问题，理解题意，选用插板法解决本题是解题的关键，插板法是解决无差别个体分组的好办法，其特点是个体上没有差别，只是数量上的不同．

10．关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为，则______．

【答案】

【解析】根据增广矩阵求得二元一次方程组，两式相加即可求得．

【详解】

解：由二元一次方程组的增广矩阵为，

则二元一次方程组为：，两式相减可得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查增广矩阵的性质，考查增广矩阵与二元一次方程组转化，考查转化思想，属于基础题．

11．如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比______．

【答案】

【解析】由题意可知，所有项和，奇数项的和，结合已知即可求解.

【详解】

解：由题意可知，所有项和，
奇数项的和，
，
解可得，或(舍)

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了无穷等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．

12．函数与的图象关于直线对称，则______．

【答案】

【解析】设点在的图象上，则关于直线对称的点在的图象上，代入后解出y即可．

【详解】

解：设点在的图象上，则关于直线对称的点在的图象上，得到，，，，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了函数解析式的求解及常用方法属基础题．

13．已知A(2，3)，B(1，4)，且=(sinx，cosy)，x，y∈，则x+y=____________.

【答案】或-

【解析】因为A(2，3)，B(1，4)，所以=(1，4)-(2，3)=(-1，1)，故=，所以sinx=-，cosy=，又x，y∈，所以x=-，y=±，从而x+y=或x+y=-.

故答案为：或-

14．将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是______．

【答案】

【解析】函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，由此能求出结果．

【详解】

解：函数的图象是圆，，是半径为1的下半圆，

将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器为以为半径的半球体，

将函数的图象绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是：

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查几何容器的容积的求法，考查旋转体的性质、球的体积等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．

15．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，，求边c，显然缺少条件，若他打算补充a的大小，并使得c只有一解，a的可能取值是______只需填写一个适合的答案

【答案】

【解析】由正弦定理可得，可得的取值集合，即可确定一个a的可能取值是．

【详解】

解：由已知及正弦定理，可得，

可得，可得的取值集合为：．

可得a的可能取值是．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

16．如果等差数列的公差都为，若满足对于任意，都有，其中为常数，，则称它们互为“同宗”数列.已知等差数列中，首项，公差，数列为数列的“同宗”数列，若，则__________

【答案】2

【解析】由等差数列通项公式得，由新定义可得，，分别讨论，2，3，，，求得的极限，由数列的单调性可得．

【详解】

由等差数列中，首项，公差，

可得，

数列为数列的“同宗”数列，

可得，

由，

则，

当时，

若

，不成立；

当时，

，成立；

当时，

，不成立；

同理可得时，

，

由，

即，可设，

，可得递减，，

可得仅有时，，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消法求和，以及数列极限的求法，考查分类讨论思想方法和运算能力、推理能力，属于中档题．

三、解答题

17．在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，，设为侧棱的中点.

（1）求正四棱锥的体积；

（2）求直线与平面所成角的大小.

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）求出点到平面的距离，正方形面积为4，再结合棱锥的体积公式求解即可；

（2）建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，利用向量法求出直线与平面所成角的大小即可.

【详解】

解：（1）因为在四棱锥中，平面，正方形的边长为2，，又为侧棱的中点，所以点到平面的距离为，又正方形的面积为，

即正四棱锥的体积，

故正四棱锥的体积为；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，,

则,,,

设平面的法向量为，

则 ，即，令，则，

即，

因为直线与平面所成角，

所以，

即，

故直线与平面所成角的大小为.

【点睛】

本题考查了棱锥的体积公式及利用向量法求线面角，重点考查了空间向量的应用，属中档题.

18．已知函数，将的图象向左移个单位的函数的图象．
若，求的单调递增区间；
若，的一条对称轴，求，的值域．

【答案】 ， ； 

【解析】根据题意，可得，的图象向左移个单位的函数，将，可得解析式，从而求单调递增区间；

根据，函数的一条对称轴，即可，的值域．

【详解】

解：由题意，可得，

由的图象向左移个单位，可得，

，可得，

令，．

得：，
故得的单调递增区间为，．

由可得，

函数的一条对称轴，

即，．

，

，

，

则， ，

，

当时，取得最小值为；

当时，取得最大值为；

故得在的值域为：

【点睛】

本题考查了余弦函数的图象及性质的应用，属于基础题．

19．某温室大棚规定，一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工作作业时段，从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y（单位：度）与时间t（单位：小时，）近似地满足函数关系，其中，b为大棚内一天中保温时段的通风量。

（1）若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度（精确到0.1℃）；

（2）若要保持一天中保温时段的最低温度不小于17℃，求大棚一天中保温时段通风量的最小值。

【答案】（1）6.7℃；（2）256；

【解析】（1）根据分段函数和函数的单调性即可求出，

（2）根据分段函数，分离参数，利用二次函数的性质，求出即可．

【详解】

（1），

①当，时，，此时函数单调递减，当时，，

②当，时，，

令，，，则，此时函数单调递增，当时，，

综上所述最低温度为，

（2），在，恒成立，

①当，时，，可得，

由于，在，单调递增，，

②当，时，，可得

由于，当时取等号，

综上所述，，

大棚一天中保温时段通风量的最小值为256．

【点睛】

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查分段函数和二次函数的单调性，考查计算能力，属于中档题．

20．已知椭圆的左、右焦点为、.

（1）求以为焦点，原点为顶点的抛物线方程；

（2）若椭圆上点满足，求的纵坐标；

（3）设，若椭圆上存在两个不同点、满足，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.

【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点.

【解析】(1)由椭圆方程可求出左焦点的坐标,由此可求出抛物线的方程;

(2)根据椭圆定义以及余弦定理可求出,再根据面积关系列式可求得结果;

(3)联立直线,与抛物线方程,消去得到关于的一元二次方程,根据韦达定理得到两根之和与两根之积,再根据向量相乘为0列式可解得,从而可得.

【详解】

(1)在椭圆中,,,所以,

所以,所以,

所以在抛物线中,所以,

所以以为焦点，原点为顶点的抛物线方程为:,即.

(2)设,,,

在三角形中,,

由余弦定理得:,

所以得,

得,又,

所以,

所以,

即,

解得:,所以;

(3)直线的斜率显然存在,设直线的方程为:,

联立 ,消去并整理得:,

设,,

则,即,

,,

因为,

所以,

所以,

所以,

所以,

化简得:,

因为,所以,

所以直线 :过定点.

【点睛】

本题考查了椭圆的几何性质,抛物线的标准方程,余弦定理,三角形的面积公式,向量的数量积,直线过定点问题,运算求解能力.本题属于难题.

21．如果数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等差数列”，为“间公差”.若数列满足，，.

（1）求证：数列是“间等差数列”，并求间公差；

（2）设为数列的前n项和，若的最小值为-153，求实数的取值范围；

（3）类似地：非零数列对于任意，都有，其中为常数，则称数列是“间等比数列”，为“间公比”.已知数列中，满足，，，试问数列是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数使得对于任意，都有；若不是，说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）；（3）63.

【解析】（1）直接利用定义求出数列为间等差数列．

（2）利用分类讨论思想，利用数列的前n项和公式求出数列的和，进一步利用不等量关系求出结果．

（3）利用分类讨论思想，进一步求出数列的通项公式，再利用函数的单调性求出k的最大值．

【详解】

（1）若数列{an}满足an+an+1＝2n﹣35，n∈N，则：an+1+an+2＝2（n+1）﹣35，

两式相减得：an+2﹣an＝2．故数列{an}是“间等差数列”，公差d＝2．

（2）（i）当n＝2k时，

（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）＝﹣33﹣29+…+（2n﹣37）＝

易知：当n＝18时，最小值S18＝﹣153．

（ii）当n＝2k+1时，

Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）＝a1+（﹣31）+（﹣29）+…+（2n﹣37）＝，

当n＝17时最小，其最小值为S17＝a﹣136，要使其最小值为﹣153，

则：a﹣136≥﹣153，解得：a≥﹣17．

（3）易知：cncn+1＝2018•（）n﹣1，则：cn+1cn+2＝2018•（）n，

两式相除得：，故数列{cn}为“间等比数列”，其间等比为．，

易求出数列的通项公式为：，

由于n＞n+1，则数列{n}单调递减．那么，奇数项和偶数项都为单调递减，所以：k＞0．

要使数列为单调递减数列．只需2m﹣1＞2m＞2m+1，

即：，

解得，即最大的整数.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．