2020届上海市宝山区高三一模数学试题（解析版）

2020届上海市宝山区高三一模数学试题

一、单选题

1．若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】函数f(x)在定义域内单调递增，由零点存在性定理可知，解不等式即可求得a 的取值范围.

【详解】

函数在区间上为增函数，

∵，，

可得

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用，对于零点存在性问题，有两种思考方向：（1）直接利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理，讨论函数零点的情况；（2）先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题，再利用导数，并结合函数图像讨论两函数交点情况，从而确定函数零点的情况.

2．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由偶函数的定义，及在上单调即可求解；

【详解】

解：

对于

．

且，

当时，函数单调递增，在上单调递增，故正确；

时，，令，

得，，，故不正确；

时，，当且仅当，即时，等号成立，

不满足在上单调递增，故不正确；

对于：定义域为，由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故错；

故选：．

【点睛】

考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于基础题；

3．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足以下哪种关系（  ）

A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面

【答案】B

【解析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能存在，可得正确结果.

【详解】

设，且与均不重合

假设：，由可得：，

又，可知，

又，可得：

因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面

若与或重合，同理可得与相交或异面

可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行

本题正确选项：

【点睛】

本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.

4．提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，，下列判断错误的是（    ）

A．当，时，辅助角

B．当，时，辅助角

C．当，时，辅助角

D．当，时，辅助角

【答案】B

【解析】分别判断出，的值，对辅助角的影响．

①，，则辅助角在第一象限；

②，，则辅助角在第四象限；

③，，则辅助角在第三象限；

④，，则辅助角在第二象限．

【详解】

解：因为，，，

对于，因为，，则辅助角在第一象限，

，，故选项正确；

对于，因为，，则辅助角在第四象限；

， ，故选项错误；

对于，因为，，则辅助角在第二象限；

， ，故选项正确；

对于，因为，，则辅助角在第三象限，

， ，故选项正确；

故选：．

【点睛】

本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力，属于中档题．

二、填空题

5．若（是虚数单位），则________．

【答案】

【解析】根据复数代数形式的运算性质先求出，再根据模的计算公式求解即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算性质，考查复数的模，属于基础题．

6．已知，则________

【答案】

【解析】由行列式的计算公式化简求解即可．

【详解】

解：

，解得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查二阶行列式的计算，属于基础题．

7．函数（）的反函数是________

【答案】

【解析】首先求出函数的值域，再利用反函数的求法，先反解，再对换，，求出即可．

【详解】

解：，，得，

，对换，得，，

故答案为：，，

【点睛】

本题考查了反函数的求法，属于基础题．

8．年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_______ 场球赛.

【答案】66

【解析】直接利用组合数的应用求出结果．

【详解】

解：根据题意利用组合数得．

故答案为：66．

【点睛】

本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

9．以抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是________

【答案】

【解析】首先求出抛物线的焦点坐标和准线方程，进一步求出圆的方程．

【详解】

解：抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，

所以焦点到准线的距离为3，

所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

10．在的展开式中，的系数为________

【答案】

【解析】利用二项展开式把展开，再求展开式中的系数．

【详解】

解：

则含的项有与两项

展开式中的系数为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二项式系数的性质与应用问题，属于基础题．

11．不等式的解集是________

【答案】

【解析】将不等式转换为不等式，再根据恒成立，则原不等式等价于解得即可；

【详解】

解：不等式转换为不等式，

由于函数的图象在轴上方，所以恒成立，

所以，

解得，

故不等式的解集为．

故答案为：

【点睛】

本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

12．已知方程（）的两个虚根为、，若，则_____

【答案】

【解析】由题意设，，利用根与系数的关系结合求得与的值，则可求．

【详解】

解：方程程的两个虚根为、，

可设，．

，，

，，

联立解得：，．

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13．已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为__

【答案】

【解析】先求出直线的方程，再求出圆心与半径，计算圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．

【详解】

解：由题意可得，的方程为，

可化为，圆心，半径，

圆心到的距离，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，属于基础题．

14．有一个空心钢球，质量为，测得外直径为5，则它的内直径是________（钢的密度为7.9，精确到0.1）

【答案】4.5

【解析】直接利用球的体积公式和物理学的关系式的应用求出结果．

【详解】

解：设钢球的内半径为，

所以，

解得．

故内直径为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

15．已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则_______

【答案】

【解析】、均是等差数列，故为二次函数，设，根据前3项，求出，，的值，即可得到．

【详解】

解：因为、均是等差数列，其通项公式均为关于的一次式，所以为关于的二次式，

故设，

，，

则，解得

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．

16．已知，那么，当代数式取最小值时，点的坐标为________

【答案】

【解析】先根据基本不等式得到；再利用基本不等式即可求解．

【详解】

解：因为

；

所以．当且仅当，即时取等号，

此时的坐标为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题．

三、解答题

17．在直四棱柱中，底面四边形是边长为2的菱形，，，是的中点.

（1）求四棱锥的体积；

（2）求异面直线和所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

【答案】（1）；（2）；

【解析】（1）求解三角形求出底面梯形的面积，再由棱锥体积公式求解；

（2）在直四棱柱中，由题意可得，则即为异面直线和所成角，求解三角形得答案．

【详解】

解：（1）在直四棱柱中，

底面四边形是边长为2的菱形，，

到边的距离为，又是的中点，，

则．

，

；

（2）在直四棱柱中，

，即为异面直线和所成角，

连接，在中，，，

．

，

异面直线和所成角的大小为．

【点睛】

本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．

18．已知函数.

（1）求函数的最小正周期及对称中心；

（2）若在区间上有两个解、，求的取值范围及的值.

【答案】（1），对称中心：；（2），

【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．

（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数的范围和的值．

【详解】

解：（1）函数

．

所以函数的最小正周期为，

令，解得，

所以函数的对称中心为．

（2）由于，所以，在区间上有两个解、，

所以函数时，函数的图象有两个交点，

故的范围为．

由于函数的图象在区间上关于对称，

故．

【点睛】

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

19．一家污水处理厂有两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.

（1）池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）

（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）

【答案】（1）7小时；（2）17小时

【解析】（1）由题意可得池每小时剩余原来的，设池要用小时才能把污物的量减少一半，则，两边取对数，计算可得所求值；

（2）设、两池同时工作，经过小时后把两池水混合便符合环保规定，池每小时剩余原来的，可得，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．

【详解】

解：（1）池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的，

设池要用小时才能把污物的量减少一半，

则，可得，

则池要用7小时才能把污物的量减少一半；

（2）设、两池同时工作，经过小时后把两池水混合便符合环保规定，

池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的，剩余原来的，

可得，即，

可得，

可得．

则、两池同时工作，经过17小时后把两池水混合便符合环保规定．

【点睛】

本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

20．已知直线与椭圆相交于两点，其中在第一象限，是椭圆上一点.

（1）记、是椭圆的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；

（2）若点关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；

（3）设直线和与轴分别交于，证明：为定值.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】（1）由题意可得焦点，的坐标，进而可求出的坐标，设的坐标，注意横坐标的范围，在椭圆上，又到的距离与到直线的距离相等，可求出的横坐标；

（2），，个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线 的方程；

（3）设，的坐标，得出直线，的方程，进而求出两条直线与轴的交点坐标，用，的坐标表示，而，又在椭圆上，进而求出结果．

【详解】

（1）设，依题意得，，联立椭圆方程：，把代入得：

，；

又因为，代入得：；

（2）设，则，则，

又因为在椭圆上，

所以，

则，当且仅当时，取等号，即，则，所以；

（3）设，

则，

则，又因为，代入得：，故为定值.

【点睛】

考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题．

21．已知数列满足，（是自然对数的底数），且，令（）.

（1）证明：；

（2）证明：是等比数列，且的通项公式是；

（3）是否存在常数，对任意自然数均有成立？若存在，求的取值范围，否则，说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，

【解析】（1）由已知可得：．利用基本不等式的性质可得：，可得，代入化简即可得出．

（2）设，由，．可得．即可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．

（3）假设存在常数，对任意自然数均有成立．由（2）可得：．时，，解得．时，，利用单调性即可得出．

【详解】

解：（1）依题意得，要证明，即证明，

又因为，所以，

要证明，即证明，要证明，即证明，

又因为，即得证.

（2）设，因为，且，

则.

所以：是公比为的等比数列，则，

．

的通项公式是；

（3）假设存在存在常数，对任意自然数均有成立，

由（2）知，，

当时，；

当时，，

而，

则当时，，故存在这样的，

【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．