2020_2021学年高中数学课时分层作业19几何概型均匀随机数的产生新人教A版必修3 练习

课时分层作业(十九)　几何概型

均匀随机数的产生

(建议用时：60分钟)

一、选择题

1.如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)

A.　　　　 B.

C.   D.

D　[由题意知，大圆的面积为S＝π·22＝4π；阴影部分的面积为S′＝π·22－π·12＝π，则所求的概率为P＝＝＝.故选D.]

2．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为(　　)

A．0.008 B．0.004

C．0.002 D．0.005

D　[该问题可转化为与体积有关的几何概型求解，概率为＝0.005.]

3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率为 (　　)

A.   B.

C.   D.

A　[记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.

当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90.所以P(M)＝＝.]

4．将[0,1]内的均匀随机数a1转化为[－2,6]内的均匀随机数a，需实施的变换为(　　)

C　[因为随机数a1∈[0,1]，而基本事件都在[－2,6]上，其区间长度为8，所以首先把a1变为8a1，又因区间左端值为－2，所以8a1再变为8a1－2，故变换公式为a＝8a1－2.]

5．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是(　　)

A.　　　B.     C.　　　D.

C　[如图所示，在边AB上任取一点P，因为△ABC与△PBC是等高的，所以事件“△PBC的面积大于”等价于事件“＞”．

即P＝＝.]

二、填空题

6．在区间[－2,4]上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________.

3　[由|x|≤m，得－m≤x≤m，当m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去．

当2<m<4时，由题意得＝，

解得m＝3.]

7．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则使关于x的一元二次方程x2－x＋a＝0无实根的概率为________．

　[因为方程无实根，故Δ＝1－4a<0，所以a>，即所求概率为.]

8．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．

　[记事件A＝“打篮球”，则P(A)＝＝，

记事件B＝“在家看书”，则P(B)＝－P(A)

＝－＝.故P()＝1－P(B)＝.]

三、解答题

9．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，在正方体内随机取一点M.

(1)求点M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率P1；

(2)求点M落在三棱锥B­A1B1C1内的概率P2；

(3)求点M到面ABCD的距离大于的概率P3；

(4)求点M到面ABCD及面A1B1C1D1的距离都大于的概率P4.

[解]　V正方体＝a3.

(1)∵V三棱柱ABC­A1B1C1＝a2·a＝a3，

∴所求概率P1＝＝.

(2)∵V三棱锥B­A1B1C1＝·S△A1B1C1·BB1＝·a2·a＝a3，∴所求概率P2＝.

(3)所求概率P3＝＝.

(4)所求概率P4＝＝.

10．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25 km，下午3：00张三在基地正东30 km处向基地行驶，李四在基地正北40 km处也向基地行驶，试求下午3：00后他们可以交谈的概率．

 [解]　记事件A＝{下午3：00后张三、李四可以交谈}．设x，y分别表示张三、李四与基地的距离，则x∈[0,30]，y∈[0,40]，则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x，y)，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40 km和30 km的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域，它的总面积为1 200 km2，可以交谈的区域为x2＋y2≤252的圆及其内部满足x≥0，y≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P(A)＝＝≈0.41.

1．已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

A　[由题意可知，三角形的三条边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为＝.]

2．节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(　　)

A.   B. 

C.   D.

C　[设第一串彩灯亮的时刻为x，第二串彩灯亮的时刻为y，则

要使两串彩灯亮的时刻相差不超过2秒，则

如图，不等式组

所表示的图形面积为16，

不等式组所表示的六边形OABCDE的面积为16－4＝12，由几何概型的公式可得P＝＝.]

3．在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________．

　[圆(x－5)2＋y2＝9的圆心为C(5,0)，半径r＝3，故由直线与圆相交可得<r，即<3，整理得k2<，得－<k<.

故所求事件的概率P＝＝.]

4.如图，边长为2的正三角形ABC内接于圆O，点P为弧AC上任意一点，则△PBC的面积大于的概率为________．

　[因为△ABC的边长为2，所以△ABC的高为3，设外接圆O的半径为r，则2r＝＝4，所以r＝2，所以O点到BC的距离为1，过点O作直线与BC平行交弧AC于点D(图略)，△DBC的面积恰好为，所以点P由D点向A点移动的过程中，△PBC的面积越来越大；点P由D点向C点移动的过程中，△PBC的面积越来越小，因此，为使△PBC的面积大于，只需点P由D点向A点移动，所以由几何概型可知，△PBC的面积大于的概率等于∠AOD与∠AOC大小之比．因为∠AOD＝，∠AOC＝，所以△PBC的面积大于的概率为P＝＝.]

5．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.

(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；

(2)若a是从区间[0,3]上任取的一个数，b是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

[解]　设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．

当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.

(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝＝.

(2)试验的全部结果所构成的区域为

{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}．

构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．

所以所求的概率为P(A)＝＝.