北师大版八年级下册1 等腰三角形精品课件ppt

这是一份北师大版八年级下册1 等腰三角形精品课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了ACBC，ABBC，等边三角形，三条边，三个角等内容，欢迎下载使用。
1.能够用综合法证明等边三角形的判定定理.(重点)2.运用等边三角形证明含30°角的直角三角形的有关性质,并应用性质解决问题.(难点)
一、等边三角形的判定如图,△ABC中,∠A=∠B=∠C,试判断△ABC的形状.解析:∵∠A=∠B,∴______(等角对等边).∵∠A=∠C,∴______(等角对等边),∴AB=AC=BC,∴△ABC是___________(等边三角形的定义).
【思考】1.上面问题中,如果AB=AC,∠A=60°,△ABC是等边三角形吗?为什么?提示:是.∵AB=AC,∴∠B=∠C,又∵∠A=60°,∴∠B=∠C=(180°-∠A)÷2=60°,∴∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形.2.在问题1中,如果是∠B=60°呢?提示:△ABC仍然是等边三角形.
【总结】等边三角形的判定方法:1.定义法:有_______相等的三角形是等边三角形.2.定理:_______都相等的三角形是等边三角形.3.定理:有一个角等于60°的_____三角形是等边三角形.
二、含30°角的直角三角形的性质1.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的_____.2.几何语言:如图△ABC是直角三角形,且∠A=30°.∵△ABC是直角三角形,且∠A=30°,∴BC= AC.
(1)有两个内角是60°的三角形是等边三角形.　( )(2)有两边相等且是轴对称图形的三角形是等边三角形.　( )(3)三角形中30°角所对的边等于长边的一半.　( )(4)三个外角都相等的三角形是等边三角形.　( )(5)一边上的中线也是这条边上的高的三角形是等腰三角形.( )
知识点 1 等边三角形的判定 【例1】如图所示,△ABC是等边三角形,∠1=∠2=∠3.证明:△DEF是等边三角形.【解题探究】(1)∠ABC的度数是多少?提示:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.(2)你能求出∠1+∠ABD的度数吗?提示:∵∠1=∠2,∴∠1+∠ABD=∠2+∠ABD=∠ABC=60°.
(3)∠ADE与∠1,∠ABD有什么数量关系?提示:∠ADE=∠1+∠ABD=60°.(4)用同样的方法可求∠DEF,∠DFE的度数是多少?提示:∠DEF=∠DFE=60°.(5)综上所述,△DEF是等边三角形.
【总结提升】选用等边三角形判定方法的技巧(1)如果已知三边关系,则选用等边三角形定义来判定.(2)若已知三角关系,则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定.(3)若已知是等腰三角形,则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.
知识点 2 含30°角的直角三角形的性质 【例2】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点D在BC上,且∠BAD=15°.(1)求∠CAD的度数.(2)若AC=m,BD=n,求AD的长.
【解题探究】(1)①由AC=BC,等角对等边可得哪两个角相等?等于多少度?提示:∠CAB=∠B,由∠C=90°,可得∠CAB=∠B=45°.②由①如何求出∠CAD的度数?提示:∠CAD=∠CAB-∠BAD=30°.
(2)①如何用m,n表示CD?提示:因为BC=AC=m,BD=n,所以CD=BC-BD=m-n.②由(1)中的结果能得出CD与AD具有什么关系?由此关系能用m,n表示AD吗?提示:由(1)的结果可知,CD= AD,所以AD=2CD=2(m-n)=2m-2n.【互动探究】在(2)中,如果已知AD=a,那么CD,BD的长用a如何表示?提示:CD= a,BD= a.
【总结提升】含30°角的直角三角形性质的“两种应用”(1)证明:用来证明三角形中线段的倍分问题.(2)求解:知道其中一条边的长,可求出另外两条边的长.使用这一性质时,有时需要和勾股定理、方程等综合应用.
题组一:等边三角形的判定1.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是(　　)A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形
【解析】选A.∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF,∴AF=BD=CE.又∵∠A=∠B=∠C=60°,∴△ADF≌△BED≌△CFE,∴DF=ED=EF,∴△DEF是等边三角形.
2.如图,在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于　(　　)A.60°　　　B.75°　　　C.90°　　　D.135°【解析】选A.由于是正方体,那么它上面所有的正方形的对角线都是相等的.AB,AC,再加上左面的正方形的对角线,正好组成一个等边三角形.∴这两条对角线的夹角为60°.
3.已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点所构成的三角形是　(　　)A.直角三角形　　B.钝角三角形C.等腰三角形　　D.等边三角形【解析】选D.根据轴对称的性质可知:OP1=OP2=OP,∠P1OP2=60°,可判断△P1OP2是等边三角形.
4.下面给出几种三角形,其中是等边三角形的有　(　　)①有两个内角为60°的三角形;②外角都相等的三角形;③一边上的高也是这边上中线的三角形;④有一个角是60°的三角形.A.4个　　B.3个　　C.2个　　D.1个
【解析】选C.①有两个内角为60°的三角形,由三角形的内角和定理得到第三个角为60°,可得此三角形三内角相等,即三角形为等边三角形,本选项符合题意;②若一个三角形三外角都相等,可得出三内角相等,故此三角形为等边三角形,本选项符合题意;③一边上的高也是这边上中线的三角形为等腰三角形,不一定为等边三角形,本选项不合题意;④有一个角是60°的三角形不一定为等边三角形,例如:Rt△ABC中,∠A=90°,∠B=60°,∠C=30°.则是等边三角形的有2个.
5.△ABC中,∠A=∠B=60°,且AB=10cm,则BC=　　　　cm.【解析】∵△ABC中,∠A=∠B=60°,∴∠C=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC,∵AB=10cm,∴BC=10cm.答案:10
6.如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内的一点,连接AO,AO恰好平分∠BAC,若∠BOC=60°,试判断△BOC的形状,并说明理由.【解析】△BOC是等边三角形.理由如下:∵AO平分∠BAC,∴∠BAO=∠CAO.又∵AB=AC,AO=AO,∴△ABO≌△ACO,∴OB=OC,∴△BOC是等腰三角形.∵∠BOC=60°,∴△BOC是等边三角形.
题组二:含30°角的直角三角形的性质1.如图,AC=BC=10cm,∠B=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为　(　　)A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm【解析】选C.∵AC=BC,∴∠B=∠BAC=15°,∴∠ACD=∠B+∠BAC=15°+15°=30°,∵AD⊥BC,∴AD= AC= ×10=5(cm).
2.如图,等腰三角形ABC中,∠BAC=120°,BC中点为D,过D作DE⊥AB于E,AE=4cm,则AD等于　(　　)A.8cm B.7cm C.6cm D.4cm【解析】选A.∵等腰三角形ABC中,∠A=120°,BC中点为D,∴∠BAD=∠CAD=60°,∵DE⊥AB,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE=8cm.
【归纳整合】直角三角形的特殊边角关系1.两锐角的关系:直角三角形的两锐角互余.2.三边关系:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.边角之间的关系:在直角三角形中,如果一个内角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD=　　　　.【解析】∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°,∴BD=AD=6,∴CD= BD= ×6=3.答案:3
4.如图所示是某超市自动扶梯的示意图,大厅两层之间的距离h=6.5米,自动扶梯与水平面的夹角为30°,若自动扶梯运行速度为v=0.5米/秒,则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为　　秒.
【解析】∵在直角三角形中,30°锐角所对直角边等于斜边的一半,∴顾客乘自动扶梯上一层楼的距离为2h=13米,∴顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为13÷0.5=26秒.答案:26
5.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC于点A,(1)求∠BAD的度数.(2)证明:DC=2BD.【解析】(1)∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°.∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°.
(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵∠DAC=90°,∴DC=2AD.∵∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD,∴DC=2BD.
【想一想错在哪？】如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°, ∠C=60°,CD=4cm,求BC的长.
提示:没说明△BDC是直角三角形,就直接利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”.
教材 习题1.4 1-5题