2020年中考数学 压轴专题 圆的证明与计算
展开2020中考数学 压轴专题 圆的证明与计算（含答案）
- 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A＝2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若∠A＝60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．(结果保留根号和π)
第2题图
(1)证明：如解图，连接OD，
第2题解图
∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，
∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，
又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，
∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠C＝∠DOC＋∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，即OD⊥AC，
∵点D在⊙O上，OD是半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠A＝60°，∴∠DOE＝60°，∠C＝30°，
在Rt△OCD中，OD＝2，∴CD＝OD·tan60°＝2，
∴S阴影＝S△OCD－S扇形ODE＝×2×2－＝2－π.
- 如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E.
(1)求证：AC平分∠DAB;
(2)连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．
第2题图
(1) 证明：连接OC，如解图①，
第2题解图①
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠OCA，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
(2)解：如解图②，连接BC，
第2题解图②
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵cos∠CAD＝，
设AD＝4x，则AC＝5x，CD＝3x，∴tan∠DAC＝，
∵∠EBC＝∠DAC，由(1)得，∠BAC＝∠DAC，
∴∠EBC＝∠BAC，
∴tan∠EBC＝tan∠BAC＝tan∠DAC＝，
∴＝＝，
∴·＝×，
∴＝，∴＝，∴＝.
- 如图，已知⊙O的直径CD=6，A，B为圆周上两点，且四边形OABC是平行四边形，过A点作直线EF∥BD，分别交CD、CB的延长线于点E，F，AO与BD交于G点.
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)求AE的长.
第3题图
(1)证明：∵CD是⊙O的直径，∴BD⊥CB.
∵在平行四边形OABC中，OA∥CB，∴OA⊥BD，
又∵EF∥BD，∴OA⊥EF，
∵OA是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；
(2)解：∵四边形OABC是平行四边形，在⊙O中，OA＝OC，
∴四边形OABC是菱形，
如解图，连接OB，则OB＝OC＝BC，
第3题解图
即△OBC是等边三角形．
∴∠C＝60°，∴∠AOE＝60°，
在Rt△AOE中，AE＝AO·tan∠AOE＝3.
- 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.
(1)求证：∠A＝∠ADE；
(2)若AD＝16，DE＝10，求BC的长．
第4题图
(1)证明：如解图，连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE＋∠BDO＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，
又∵OD＝OB，
∴∠B＝∠BDO，
∴∠A＝∠ADE；
(2)解：如解图，连接CD，
第4题解图
∵∠ADE＝∠A，
∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，
∴EC是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∴AE＝EC，
又∵DE＝10，
∴AC＝2DE＝20，
在Rt△ADC中，DC＝＝12，
设BD＝x.
在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，
在Rt△ABC中，
BC2＝(x＋16)2－202，
∴x2＋122＝(x＋16)2－202，
解得x＝9，
∴BC＝＝15.
- 如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.
(1)求证：BC是∠ABE的平分线；
(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长．
第5题图
(1)证明：∵BE∥CO，
∴∠OCB＝∠EBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠EBC，
∴BC是∠ABE的平分线；
(2)解：设AD＝x，则DO＝x＋6，
∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥CO，
∴∠DCO＝90°，
在Rt△DCO中，有DC2＋CO2＝DO2，
∴82＋62＝(x＋6)2，解得x＝4，
∴DO＝10，
∵CO∥BE，∴＝，
∴＝，∴CE＝.
- 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.
(1)求证：BD＝BF；
(2) 若AB＝10，CD＝4，求BC的长．
第6题图
(1)证明：∵BF是⊙O的切线，
∴∠ABF＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠F＝90°，∠ABC＝∠FCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴∠F＝∠BDC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△BCD和△BCF中，
，
∴△BCD≌△BCF(AAS)，
∴BD＝BF；
(2)解：∵AB＝AC，AB＝10，
∴AC＝10，
∵CD＝4，
∴AD＝6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得BD＝＝8，
在Rt△BCD中，由勾股定理得BC＝＝4，
∴BC的长为4.
- 如图，在⊙O中，AC与BD是⊙O的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
(1)四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
(2)求证：BE＝CF.
第7题图
(1)解：四边形ABCD是矩形，理由如下：
∵AC与BD是⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形 ；
(2)证明：∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°，
在△BOE和△COF中，
∴△BOE≌△COF(AAS)．
∴BE＝CF.
- 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.
(1)求证：直线PA为⊙O的切线；
(2)若BC＝6，tanF＝，求⊙O的半径．
第8题图
(1)证明：如解图，连接OB，
第8题解图
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO＝90°，
∵OA＝OB，BA⊥PO于点D，
∴AD＝BD，
∴点D为AB的中点，即OP垂直平分AB，
∴∠AOP＝∠BOP，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵OA为⊙O的半径 ，∴直线PA为⊙O的切线；
(2)解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴OD＝BC＝3，
设AD＝x，
则tanF＝＝＝，
∴DF＝2x，∴OA＝OF＝2x－3，
在Rt△AOD中，由勾股定理得(2x－3)2＝x2＋32，
解得x1＝4，x2＝0(不合题意，舍去)，
∴OA＝2x－3＝5，即⊙O的半径为5.
- 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC＝3，sin∠BPD＝，求⊙O的直径．
第9题图
(1)证明：∵∠BPD＝∠BCD, ∠1＝∠BCD，
∴∠1＝∠BPD，
∴CB∥PD；
(2)解：如解图，连接AC，
第9题解图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD⊥AB，
∴＝，
∴∠BPD＝∠CAB，
∴sin∠BPD＝sin∠CAB＝，
即＝，
∵BC＝3，
∴AB＝5，
即⊙O的直径是5.
- 如图，AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在线段PA上截取PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，连接BC、BE.
(1)求证：∠ABE＝∠BCE；
(2)若⊙O的半径为，BC＝3，求tan∠BEC的值．
第10题图
(1)证明：如解图，连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，则∠BFC＝∠BEC，∠FBC＝90°.
第10题解图
∵PD＝PC，
∴∠PDC＝∠PCD.
∵PC切⊙O于点C，
∴∠PCB＋∠BCF＝90°，
又∵∠BFC＋∠BCF＝90°，
∴∠PCB＝∠BFC，
∴∠PCB＝∠BEC.
∵∠ABE＝∠PDC－∠BEC，∠BCE＝∠PCD－∠PCB，
∴∠ABE＝∠BCE；
(2)解：∵BC＝3，CF＝2OC＝5，
∴在Rt△BCF中，由勾股定理得，BF＝＝4，
∴tan∠BFC＝＝，
由(1)知∠BFC＝∠BEC，
∴tan∠BEC＝tan∠BFC＝.
- 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE.
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若tan∠PCB＝，BE＝5，求PF的长．
第11题图
(1)证明：如解图，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵PC是⊙O的切线，且AD⊥CD，
∴∠OCP＝∠D＝90°，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC，即AC平分∠DAB；
(2)解：如解图，连接AE，
第11题解图
∵弦CE平分∠ACB,
∴∠ACE＝∠BCE，
∴＝，
∴AE＝BE，
又∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，AB＝BE＝10，∴OB＝OC＝5，
∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，∴＝，
∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝，∴＝＝，
设PB＝3x，则PC＝4x，
在Rt△POC中，根据勾股定理得，(3x＋5)2＝(4x)2＋52，
解得x1＝0，x2＝.
∵x＞0，∴x＝，∴PC＝，
又∵∠PCB=∠PAC，∠BCE=∠ACF，
∴∠PCB＋∠BCE=∠PAC＋∠ACF，即∠PCF=∠PFC，
∴PF=PC=.
- 如图，已知△ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE⊥AB，交AB的延长线于点E.
(1)求证：CB平分∠ACE；
(2)若BE＝3，CE＝4，求⊙O的半径．
第12题图
(1) 证明：如解图，连接OB，
第12题解图
∵AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴OB∥CE，
∴∠1＝∠3，
∵OB＝OC，
∴∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴CB平分∠ACE；
(2)如解图，连接BD，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝90°，
∴BC＝＝＝5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∴∠E＝∠DBC，
∴△DBC∽△BEC，
∴＝，
∴BC2＝CD·CE，
∴CD＝＝，
∴OC＝CD＝，
∴⊙O的半径为.
- 如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E.
(1)求证：∠BME＝∠MAB；
(2)若BE＝，sin∠BAM＝，求⊙O的半径．
第13题图
(1)证明：如解图，连接OM，
∴直线CD切⊙O于点M，
∴∠OMD＝90°，
第13题解图
∴∠BME＋∠OMB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∴∠AMO＋∠OMB＝90°，
∴∠BME＝∠AMO.
∵OA＝OM，
∴∠MAB＝∠AMO.
∴∠BME＝∠MAB；
(2)解：由(1)可得，∠BME＝∠MAB.
∵sin∠BAM＝，∴sin∠BME＝，
在Rt△BEM中，BE＝，sin∠BEM＝＝.∴BM＝6，
在Rt△ABM中，
∵sin∠BAM＝＝.∴AB＝BM＝10.∴⊙O的半径为5.
- 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.
(1)求证：∠ABD＝∠ADE；
(2)若⊙O的半径为，AD＝，求CE的长．
第14题图
(1) 证明：如解图，连接OD.
第14题解图
∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE，
∴∠ADO＋∠ADE＝90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＋∠ODB＝90°.∴∠ADE＝∠ODB，
∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ABD ＝∠ADE;
(2)解：∵AB＝AC＝2×＝，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ABC＝∠C，BD＝CD.
∵O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵OD⊥DE，∴AC⊥DE，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，
∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°，
∴△DEC∽△ADC，
∴＝，即＝，
∴CE＝3.
