中考数学压轴题第二类（猜想证明类）

压轴题第二类（猜想证明类)

第二类

一、解答题

1．抛物线：与轴交于，两点．（点在点的左侧）

（1）①填空：时，点的坐标　   　，点的坐标　   　；当时，点的坐标　   　，点的坐标　   　．

②猜想：随值的变化，抛物线是否会经过某一个定点，若会，请求出该定点的坐标：若不会，请说明理由．

（2）若将抛物线经过适当平移后，得到抛物线：，，的对应点分别为，，求抛物线的解析式．

（3）设抛物线的顶点为，当为直角三角形时，求方程的解．

2．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm， BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．

（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)

（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．

（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．

3．如图1，在中，，，直线经过点，且于点，于点．易得（不需要证明）．

（1）当直线绕点旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时之间的数量关系，并说明理由；

（2）当直线绕点旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时之间的数量关系（不需要证明）．

4．点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B之间的距离可表示为AB＝|a﹣b|．已知数轴上A，B两点分别表示有理数﹣1和x．

（1）若AB＝4时，则x的值为　   ；

（2）当x＝7时，点A，B分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度同时向数轴负方向运动．求经过多少秒后，点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍；

（3）如图，点A，B，C，D四点在数轴上分别表示的数为﹣4，﹣1，2，6．是否存在点P在数轴上，使得点P到这四点的距离总和的最小？若存在，请直接写点P的位置和距离总和的最小值．若不存在，请说明理由；

（4）某一直线沿街有2020户民，假定相邻两户居民间隔相同，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，…，a2020．某餐饮公司想为这2020户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P．请问点P选在何处，才能使这2020户居民到点P的距离总和最小？试说明原因．

5．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；

（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；

（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．

①请写出C、D两点的坐标；

②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．

6．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若，求的值．

（1）尝试探究

在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是           ，CG和EH的数量关系是           ，的值是           ．

（2）类比延伸

如图2，在原题的条件下，若求的值（用含有m的代数式表示）．

（3）拓展迁移

如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F． 若，求的值．

7．如图，矩形ABCD（AB＞AD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．

（1）若∠APC＝76°，则∠DAM＝　   　；

（2）猜想∠APC与∠DAM的数量关系为　   　，并进行证明；

（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP；

（4）如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15，＝时，则线段MC的长为　   　．

8．如图，点是线段上的任意一点(点不与点重合)，分别以为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点．

(1)求证: ；

(2)求证: ；

(3)若的长为12cm，当点在线段上移动时，是否存在这样的一点，使线段的长度最长?若存在,请确定点的位置并求出的长；若不存在，请说明理由．

9．如图，矩形中，，，点是边上一定点，且．

(1)当时，上存在点，使与相似，求的长度．

(2)对于每一个确定的的值上存在几个点使得与相似?

10．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段上一点，且满足．

（1）求直线的解析式及点的坐标；

（2）如图2，为线段上一动点，连接，与交于点，试探索是否为定值?若是，求出该值；若不是，请说明理由；

（3）点为坐标轴上一点，请直接写出满足为等腰三角形的所有点的坐标．