数学第二十八章 锐角三角函数综合与测试练习题

这是一份数学第二十八章 锐角三角函数综合与测试练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：100分钟 满分：120分)


一、选择题(每小题3分，共30分)


1．tan45°的值为B


A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(2)


2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq \f(3,5)，则tanB的值为A


A.eq \f(4,3) B.eq \f(4,5) C.eq \f(5,4) D.eq \f(3,4)


3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，那么sinB的值是C


A.eq \f(3,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,5) D.eq \f(4,3)


4．(贵阳中考)如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为B


A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)


,第4题图) ,第5题图) ,第6题图) ,第7题图)


5．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，已知∠ACD的正弦值是eq \f(2,3)，则eq \f(AC,AB)的值是D


A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(\r(5),2) D.eq \f(2,3)


6．(2019·温州)某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为B


A.eq \f(9,5sinα)米 B.eq \f(9,5csα)米 C.eq \f(5,9sinα)米 D.eq \f(5,9csα)米


7．(2019·广西)小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度．如图，已知她的目高AB为1.5米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°，则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6，cs35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cs65°≈0.4，tan65°≈2.1)C


A．3.2米 B．3.9米 C．4.7米 D．5.4米


8．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF∶BC＝1∶2，连接DF，EC.若AB＝5，AD＝8，sinB＝eq \f(4,5)，则DF的长等于C


A.eq \r(10) B.eq \r(15) C.eq \r(17) D．2eq \r(5)


,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)


9．(2019·重庆)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度(或坡比)i＝1∶2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°(古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直)，则古树CD的高度约为(参考数据：sin48°≈0.73，cs48°≈0.67，tan48°≈1.11)C


A．17.0米 B．21.9米 C．23.3米 D．33.3米


10．(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋eq \f(\r(5),5)BD的最小值是B


A．2eq \r(5) B．4eq \r(5) C．5eq \r(3) D．10


二、填空题(每小题3分，共15分)


11．(2019·甘肃)在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝eq \f(\r(3),3)，则csB＝eq \f(1,2).


12．(2019·孝感)如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米， 则 BC＝(20eq \r(3)－20)米．


,第12题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)


13．(2019·黄石)如图，一轮船在M处观测灯塔P位于南偏西30°方向，该轮船沿正南方向以15海里/小时的速度匀速航行2小时后到达N处，再观测灯塔P位于南偏西60°方向，若该轮船继续向南航行至灯塔P最近的位置T处，此时轮船与灯塔之间的距离PT为15eq \r(3)海里(结果保留根号)．


14．(2019·湖州)有一种落地晾衣架如图①所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图②是支撑杆的平面示意图，AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD＝α.若AO＝85 cm，BO＝DO＝65 cm.问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为120cm.(参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，sin53°≈0.8，cs53°≈0.6)


15．(2019·河南)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝eq \f(3,5)a.连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为eq \f(5,3)或eq \f(\r(5),3).


三、解答题(共75分)


16．(8分)计算：


(1)3tan30°＋cs245°－2sin60°； (2)tan260°－2sin45°＋cs60°.


解：原式＝eq \f(1,2) 解：原式＝eq \f(7,2)－eq \r(2)








17．(9分)在△ABC中，∠C＝90°.


(1)已知c＝8eq \r(3)，∠A＝60°，求∠B，a，b；


(2)已知a＝3eq \r(6)，∠A＝30°，求∠B，b，c.


解：(1)∠B＝30°，a＝12，b＝4eq \r(3)


(2)∠B＝60°，b＝9eq \r(2)，c＝6eq \r(6)





18．(9分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，E点为线段BC的中点，AD＝2，tan∠ABD＝eq \f(1,2).





(1)求AB的长；


(2)求sin∠EDC的值．


解：(1)∵AD＝2，tan∠ABD＝eq \f(1,2)，∴BD＝2÷eq \f(1,2)＝4，∴AB＝eq \r(AD2＋BD2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5) (2)∵BD⊥AC，E点为线段BC的中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠C，∵∠C＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠C＝∠ABD，∴∠EDC＝∠ABD，在Rt△ABD中，sin∠ABD＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(2,2\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，即sin∠EDC＝eq \f(\r(5),5)








19．(9分)(2019·贺州)如图，在A处的正东方向有一港口B.某巡逻艇从A处沿着北偏东60°方向巡逻，到达C处时接到命令，立刻在C处沿东南方向以20海里/小时的速度行驶3小时到达港口B.求A，B间的距离．(eq \r(3)≈1.73，eq \r(2)≈1.4，结果保留一位小数)


解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，则∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，如图所示．在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，sin∠BCD＝eq \f(BD,BC)，





∴BD＝BC·sin∠BCD＝20×3×eq \f(\r(2),2)≈42，∴CD＝BD＝42，在Rt△ACD中，tan∠ACD＝eq \f(AD,CD)，∴AD＝CD·tan∠ACD＝42×eq \r(3)≈72.7.∴AB＝AD＋BD＝72.7＋42＝114.7.∴A，B间的距离约为114.7海里








20．(9分)(2019·贵阳)如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中OP为下水管道口直径，OB为可绕转轴O自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀门的直径OB＝OP＝100 cm，OA为检修时阀门开启的位置，且OA＝OB.


(1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围；


(2)为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达OB位置时，在点A处测得俯角∠CAB＝67.5°，若此时点B恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．(结果保留小数点后一位)


(eq \r(2)＝1.41，sin67.5°＝0.92，cs67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝0.38，cs22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41)


解：(1)阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB的取值范围为：90°≤∠POB≤0°





(2)如图，设点B恰好与下水道水平面齐平时，水平面与OP的交点为E.∵∠CAB＝67.5°，∴∠BAO＝22.5°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°，∴∠BOP＝45°，∵OB＝100，∴OE＝eq \f(\r(2),2)OB＝50eq \r(2)，∴PE＝OP－OE＝100－50eq \r(2)≈29.5(cm)，答：此时下水道内水的深度约为29.5 cm








21．(10分)如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，DC与⊙O相切于点C，AD⊥DC，垂足为D，AD交⊙O于点E.





(1)求证：AC平分∠BAD；


(2)若sin∠BEC＝eq \f(3,5)，求DC的长．


解：(1)连接OC，∵DC是切线，∴OC⊥DC，又∵AD⊥DC，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，又OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠DAC＝∠BAC，∴AC平分∠BAD (2)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∠BAC＝∠BEC，∴BC＝AB·sin∠BAC＝6，∴AC＝8，∴CD＝AC·sin∠DAC＝eq \f(24,5)








22．(10分)(2019·鄂州)为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°(A，B，D，E在同一直线上)．然后，小明沿坡度i＝1∶1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．


(1)求点F到直线CE的距离(结果保留根号)；


(2)若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB(结果精确到0.1米，eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)．








解：(1)过点F作FG⊥EC于G，依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，∴四边形DEGF是矩形，∴FG＝DE；在Rt△CDE中，DE＝CE·tan∠DCE＝6×tan30°＝2eq \r(3)(米)，∴点F到地面的距离为2eq \r(3)米 (2)∵坡度i＝1∶1.5，∴在Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2eq \r(3)×1.5＝3eq \r(3)，∴FD＝EG＝AD＝3eq \r(3)＋6.在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠BCE＝6×tan60°＝6eq \r(3).∴AB＝AD＋DE－BE＝3eq \r(3)＋6＋2eq \r(3)－6eq \r(3)＝6－eq \r(3)≈4.3(米)．答：宣传牌的高度约为4.3米





23．(11分)(2019·绍兴)如图①为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5 cm，长度均为20 cm的连杆BC，CD与AB始终在同一平面上．





(1)转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图②，求连杆端点D离桌面l的高度DE；


(2)将(1)中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，如图③，问此时连杆端点D离桌面l的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？(精确到0.1 cm，参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73)


解：





(1)如图②中，作BO⊥DE于O.∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，∴∠DBO＝150°－90°＝60°，∴OD＝BD·sin60°＝20eq \r(3)( cm)，∴DE＝OD＋OE＝OD＋AB＝20eq \r(3)＋5≈39.6( cm) (2)如图③，作DF⊥l于F，CP⊥DF于P，BG⊥DF于G，CH⊥BG于H.则四边形PCHG是矩形，∵∠CBH＝60°，∠CHB＝90°，∴∠BCH＝30°，∵∠BCD＝165°，∠DCP＝45°，∴CH＝BC·sin60°＝10eq \r(3) cm，DP＝CD·sin45°＝10eq \r(2) cm，∴DF＝DP＋PG＋GF＝DP＋CH＋AB＝(10eq \r(2)＋10eq \r(3)＋5) cm，∴下降高度：DE－DF＝20eq \r(3)＋5－10eq \r(2)－10eq \r(3)－5＝10eq \r(3)－10eq \r(2)≈3.2(cm)