2019年全国各地中考数学真题分类汇编 专题5 二元一次方程(组)及其应用(含解析)

专题训练5 二元一次方程(组)及其应用

一.选择题

1.（2019•湖北省荆门市•3分）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．

【解答】解：，

①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，

把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，

∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．

故选：A．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．

2.（2019•湖北省仙桃市•3分）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．9种

【分析】可列二元一次方程解决这个问题．

【解答】解：设2m的钢管b根，根据题意得：

a+2b＝9，

∵a、b均为整数，

∴，，，．

故选：B．

【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．

3.（2019•四川省广安市•3分）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是    

  1,11      7,53     7,61     6,50

【答案】B

【解析】解设人数x人，物价y钱.

        解得：，故选B.

4. （2019·广西贺州·3分）已知方程组，则2x+6y的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

【分析】两式相减，得x+3y＝﹣2，所以2（x+3y）＝﹣4，即2x+6y＝﹣4．

【解答】解：两式相减，得x+3y＝﹣2，

∴2（x+3y）＝﹣4，

即2x+6y＝﹣4，

故选：C．

【点评】本题考查了二元一次方程组，对原方程组进行变形是解题的关键．

5 （2019•黑龙江省绥化市•3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）

A．5种 B．4种 C．3种 D．2种

答案：C

考点：二元一次方程，不等式。

解析：设A种玩具的数量为x，B种玩具的数量为y，

则，

即，

满足条件：x≥1，y≥1，x＞y，

当x＝2时，y＝4，不符合；

当x＝4时，y＝3，符合；

当x＝6时，y＝2，符合；

当x＝8时，y＝1，符合；

共3种购买方案。

6. （2019•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．6种

【分析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数即可求出结论．

【解答】解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，

依题意，得：60x+75y＝1500，

∴y＝20﹣x．

∵x，y均为正整数，

∴，，，，

∴该学校共有4种购买方案．

故选：B．

7．（2019黑龙江省绥化3分）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）

A．5种 B．4种 C．3种 D．2种

答案：C

考点：二元一次方程，不等式。

解析：设A种玩具的数量为x，B种玩具的数量为y，

则，

即，

满足条件：x≥1，y≥1，x＞y，

当x＝2时，y＝4，不符合；

当x＝4时，y＝3，符合；

当x＝6时，y＝2，符合；

当x＝8时，y＝1，符合；

共3种购买方案。

8. (2019湖北荆门)（3分）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3

【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．

【解答】解：，

①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，

把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，

∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．

故选：A．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．

9. (2019湖北仙桃)（3分）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）

A．3种 B．4种 C．5种 D．9种

【分析】可列二元一次方程解决这个问题．

【解答】解：设2m的钢管b根，根据题意得：

a+2b＝9，

∵a、b均为整数，

∴，，，．

故选：B．

【点评】本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．

二.填空题

1.（2019•湖北省鄂州市•3分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　m≤﹣2　．

【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y≤0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．

【解答】解：，

①+②得2x+2y＝4m+8，

则x+y＝2m+4，

根据题意得2m+4≤0，

解得m≤﹣2．

故答案是：m≤﹣2．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于m的不等式．

2（2019•湖北省咸宁市•3分）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　　．

【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，

依题意，得：．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

3.（2019•四川省凉山州•4分）方程组的解是　　．

【分析】利用加减消元法解之即可．

【解答】解：，

②﹣①得：

x＝6，

把x＝6代入①得：

6+y＝10，

解得：y＝4，

方程组的解为：，

故答案为：．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握加减消元法是解题的关键．

4.（2019湖南常德3分）二元一次方程组的解为　　．

【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．

【解答】解：

②﹣①得x＝1 ③

将③代入①得y＝5

∴

故答案为：

【点评】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．

5.（2019•山东临沂•3分）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共　11　块．

【分析】设需用A型钢板x块，B型钢板y块，根据“用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品”，可得出关于x，y的二元一次方程组，用（①+②）÷5可求出x+y的值，此题得解．

【解答】解：设需用A型钢板x块，B型钢板y块，

依题意，得：，

（①+②）÷5，得：x+y＝11．

故答案为：11．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

6．（2019•山东泰安•4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　　．

【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．

【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：

，

故答案为：．

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

7．(2019•湖南常德•3分)二元一次方程组的解为　      　．

【考点】二元一次方程组的解法．

【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．

【解答】解：

②－①得x＝1 ③

将③代入①得y＝5

∴

故答案为

【点评】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．

8．（2019湖北省鄂州市）（3分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　m≤﹣2　．

【分析】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+y，代入x+y≤0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．

【解答】解：，

①+②得2x+2y＝4m+8，

则x+y＝2m+4，

根据题意得2m+4≤0，

解得m≤﹣2．

故答案是：m≤﹣2．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出x+y的值，再得到关于m的不等式．

9. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　　．

【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，

依题意，得：．

故答案为：．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

三.解答题

1.（2019•四川省广安市•8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元．

（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？

（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；

（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题．

【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，

，解得，，

答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；

（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200﹣a）只，费用为w元，

w＝5a+7（200﹣a）＝﹣2a+1400，

∵a≤3（200﹣a），

∴a≤150，

∴当a＝150时，w取得最小值，此时w＝1100，200﹣a＝50，

答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱．

【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．

2.（2019•海南省•10分）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？

【分析】设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，由题意列出方程组，解方程组即可．

【解答】解：设“红土”百香果每千克x元，“黄金”百香果每千克y元，

由题意得：，

解得：；

答：“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．

3.（2019浙江丽水6分）解方程组

【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；

【解答】解：，

将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，

②+③，得y＝1，

将y＝1代入②，得x＝3，

∴；

【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键．

4.（2019湖南益阳10分）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．

（1）求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

（2）该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？

【分析】（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；

（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．

【解答】解：（1）设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，

由题意得：，

解得：；

答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；

（2）设今年稻谷的亩产量为z千克，

由题意得：20×100×30+20×2.5z﹣20×600≥80000，

解得：z≥640；

答：稻谷的亩产量至少会达到640千克．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．

6.（2019•山东潍坊•5分）己知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．

【分析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．

【解答】解：

①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，

∵x＞y，

∴x﹣y＞0．

∴5﹣k＞0．

解得：k＜5．

【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解，求得x﹣y的值（用含k的式子表示）是解题的关键．

7．(2019•浙江丽水•6分)解方程组：

【考点】解二元一次方程组．

【分析】运用整体思想，直接将方程②代入方程①，即可消去y，求出x的值，再将x的值代入方程②即可求出y的值．

【解答】解：，

把②代入①，得3x－4×1=5，解得： x＝3，

把x＝3代入②，得：y＝1．

∴此方程组的解为．

【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键．

8．(2019•湖南益阳•10分)为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元(利润＝售价－成本)．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．

(1)求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价；

(2)该农户今年每亩农田收获小龙虾100千克，若今年的水稻种植成本为600元/亩，稻谷售价为25元/千克，该农户估计今年可获得“虾•稻”轮作收入不少于8万元，则稻谷的亩产量至少会达到多少千克？

【考点】方程组与不等式的应用题．

【分析】(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，由题意列出方程组，解方程组即可；

(2)设今年稻谷的亩产量为z千克，由题意列出不等式，就不等式即可．

【解答】解：(1)设去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为x元、y元，

由题意得：，

解得：；

答：去年每千克小龙虾的养殖成本与售价分别为8元、40元；

(2)设今年稻谷的亩产量为z千克，

由题意得：20×100×30+20×2.5z－20×600≥80000，

解得：z≥640；

答：稻谷的亩产量至少会达到640千克．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出方程组或不等式是解题的关键．