数学必修1第一章 集合与函数概念综合与测试课后复习题

第一章 集合与函数概念单元总结（人教A版）

第一课　集合

[核心速填]

1．集合的含义与表示

(1)集合元素的特征：______、______、无序性．

(2)元素与集合的关系：属于(∈)，不属于()．

(3)自然数集：______；正整数集：________；整数集：______；有理数集：______；实数集：______.

(4)集合的表示方法：______、______和____．

2．集合的基本关系

 (2)子集个数结论：

①含有n个元素的集合有_____个子集；

②含有n个元素的集合有_____个真子集；

③含有n个元素的集合有______个非空真子集．

3．集合间的三种运算

(1)并集：A∪B＝_________________．

(2)交集：A∩B＝__________________

(3)补集：∁UA＝{x|x∈U且xA}．

4．集合的运算性质

(1)并集的性质：A⊆B⇔A∪B＝______.

(2)交集的性质：A⊆B⇔A∩B＝______.

(3)补集的相关性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.∁U(∁UA)＝A.

[体系构建]

[题型探究]

集合的基本概念

例1　(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　　 B．3

C．5   D．9

(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为(　　)

A．2   B．3

C．0或3   D．0,2,3均可

 [规律方法]　解决集合的概念问题应关注两点

1研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.如本例1中集合B中的元素为实数，而有的是数对点集.

2对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.

[跟踪训练]

1．下列命题正确的有(　　)

①很小的实数可以构成集合；

②集合与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；

③1，，，，0.5这些数组成的集合有5个元素；

④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集.

A．0个   B．1个

C．2个   D．3个

集合间的基本关系

例2　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A⊆B，且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．

思路探究：―→

母题探究：1.把本例条件“A⊆B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．

2．把本例条件“A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B⊆A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．

[规律方法]　集合间的基本运算的关键点

1∅：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.

2端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题.

提醒：求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到.

集合的基本运算

例3　设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a为实数，

(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)．

(2)若B∩C＝C，求a的取值范围.

[规律方法]　集合基本运算的关注点

1看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.

2有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.

3注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.

[跟踪训练]

2．已知集合A＝{x|4≤x<8}，B＝{x|5<x<10}，C＝{x|x>a}．

(1)求A∪B，(∁RA)∩B；

(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．

第二课　函数及其基本性质

[核心速填]

1．函数的三要素

______、________、________．

2．函数的表示方法

解析法、列表法、图象法．

3．函数的单调性

①奇函数在对称区间上的单调性____；偶函数在对称区间上的单调性____．

②在公共区域上：增函数＋增函数＝______，减函数＋减函数＝______，增函数－减函数＝______，减函数－增函数＝______．

4．函数的奇偶性

(1)奇偶函数的定义域关于____对称．

(2)奇函数的图象关于____中心对称，偶函数的图象关于____成轴对称．

(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：

奇函数＋奇函数＝______，奇函数×奇函数＝______，偶函数＋偶函数＝______，奇函数×偶函数＝______．

[体系构建]

[题型探究]

求函数的定义域

例1　(1)求函数y＝＋－的定义域．

(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

 [规律方法]　1已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.

2实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.

[跟踪训练]

1．函数f(x)＝＋(3x－1)0的定义域是(　　)

A.　　　　　　 B.

C.   D.∪ 

求函数的解析式

例2　(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________．

(2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为________．

[规律方法]　

求函数解析式的题型与相应的解法

1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.

2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法.

3含fx与f－x或fx与，使用解方程组法.

4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.

[跟踪训练]

2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.

(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式.

函数的性质及应用

例3　已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f＝.

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．

思路探究：(1)用f(0)＝0及f＝求a，b的值；

(2)用单调性的定义求解．

母题探究：1.在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)<0.

2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．

[规律方法]　巧用奇偶性及单调性解不等式

1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1<fx2或fx1>fx2的形式.

2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.

例4　对于函数f(x)＝x2－2|x|.

(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.

 [规律方法]　因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的.

[跟踪训练]

3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x>0时，f(x)的图象如图1­1所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集是______．

图1­1