人教版新课标A必修1第一章 集合与函数概念综合与测试精品练习

第一章 集合与函数概念

单元测试

【时间：120分钟　满分：150分】

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．（2019春•桥东区期中）已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N等于(　　)

A．{－2，－1,0,1}　　　　 B．{－3，－2，－1,0}

C．{－2，－1,0}   D．{－3，－2，－1}

【答案】C　[M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.]

2．（2019春•牡丹江期末）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)的元素个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

【答案】C　[∵A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5}，

∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，A∩B＝{3,4}，

∴∁U(A∩B)＝{1,2,5}，

故∁U(A∩B)共有3个元素．]

3．（2018秋•汉台区期中）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(　　)

A．A＝B   B．A∩B＝∅

C．AB   D．BA

【答案】D　[∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，∴BA，故选D.]

4．（2019春•汕尾期末）设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2－x，则f(1)＝(　　)

A．－   B．－

C.   D．

【答案】A　[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)＝－f(－1)＝－.]

5．（2019春•齐齐哈尔期中）函数f(x)＝＋的定义域是(　　)

A．[－1，＋∞)   B．(－∞，－1]

C．[－1,1)∪(1，＋∞)   D．R

【答案】C　[由得x≥－1且x≠1，即定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．]

6．（2019春•杨浦区校级月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是(　　)

A．y＝x－2   B．y＝x－1

C．y＝x2   D．y＝x

【答案】A　[由函数是偶函数可排除选项B，D，又函数在(0，＋∞)上单调递减，所以排除C，故选A.]

7．（2019春•云南模拟）设函数f(x)＝则f(f(3))＝________.

A.   B．5

C.   D.

【答案】D　[f(3)＝，f(f(3))＝2＋1＝.]

8．（2019春•池州期末）下列各组函数相等的是(　　)

A．y＝x－1和y＝

B．y＝x0和y＝1(x∈R)

C．y＝x2和y＝(x＋1)2

D．f(x)＝和g(x)＝

【答案】D　[A，B选项中，两个函数的定义域不相同，故A，B错误；C选项的对应关系不同，故C错误；D选项的两个函数定义域、对应关系都相同，故选D项．]

9．（2018•重庆期中）已知函数f(x)＝在区间[1,2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于(　　)

A.   B．－

C．1   D．－1

【答案】A　[∵f(x)＝在[1,2]上是减函数，

∴A＝f(1)＝1，B＝f(2)＝，

∴A－B＝1－＝.]

10．（2019春•安徽期末）若函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a的取值范围为(　　)

A．0<a≤   B．0≤a≤

C．0<a<   D．a>

【答案】B　[当a≠0时，函数f(x)的对称轴为x＝－，

∵f(x)在(－∞，4]上为减函数，

∴图象开口朝上，a>0且－≥4，得0<a≤.

当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上为减函数．]

11．（2019春•昆明模拟）若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)

A．f<f(－1)<f(2)

B．f(－1)<f<f(2)

C．f(2)<f(－1)<f

D．f(2)<f<f(－1)

【答案】D　[由已知可得函数f(x)在区间[1，＋∞)上是减函数，f＝f，f(－1)＝f(1)．∵1<<2，∴f(1)>f>f(2)，即f(2)<f<f(－1)．]

12．（2019春•浙江模拟）函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列命题：

①f(0)＝0；

②若f(x)在[0，＋∞)上有最小值－1，则f(x)在(－∞，0]上有最大值1；

③若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则f(x)在(－∞，－1]上为减函数；

④若x>0时，f(x)＝x2－2x，则x<0时，f(x)＝－x2－2x.其中正确命题的个数是(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

【答案】C　[f(x)在R上的奇函数，则f(0)＝0，①正确；其图象关于原点对称，且在对称区间上具有相同的单调性，最值相反且互为相反数，所以②正确，③不正确；对于④，x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x，即④正确．]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．（2018•重庆期中）若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．

【答案】{4,9,16}　[由A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，得B＝{4,9,16}．]

14．（2019春•佛山期中）若函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，则f(x)的增区间是________.

【答案】(－∞，0]　[∵函数f(x)＝(a－2)x2＋(a－1)x＋3是偶函数，∴a－1＝0，∴f(x)＝－x2＋3，其图象是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线．故f(x)的增区间为(－∞，0]．]

15．（2019春•潮州月考）设f＝，则f(x)＝________.

【答案】(x>－1)　[令t＝－1，解得x＝，代入得f(t)＝，又因为x>0，所以t>－1，故f(x)的解析式为f(x)＝(x>－1)．]

16．（2019春•娄底期末）已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.

【答案】(－1,3)　[∵f(x)是偶函数，

∴其图象关于y轴对称．

又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，

由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，

即－1<x<3.]

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（2018秋•宁德期中）(本小题满分10分)全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}(结果用区间表示)．

(1)求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)；

(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．

【答案】　(1)∵A＝{x|3≤x<8}，B＝{x|2<x≤6}，

∴A∩B＝[3,6]，A∪B＝(2,8)，

(∁UA)∩(∁UB)＝(－∞，2)∪[8，＋∞)．

(2)∵A＝{x|3≤x<8}，C＝{x|x>a}．

又A⊆C，如图，

∴a的取值范围为{a|a<3}．

18．（2019春•宁波期中）(本小题满分12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.

【答案】由f(m)＋f(m－1)>0，

得f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)<f(m)．

又∵f(x)在[0,2]上为减函数，且f(x)在[－2,2]上为奇函数，

∴f(x)在[－2,2]上为减函数，

∴即

解得－1≤m<，

因此实数m的取值范围是.

19．（2019春•潮阳区期中）(本小题满分12分)设A＝{x|2x2＋ax＋2＝0}，B＝{x|x2＋3x＋2a＝0}，且A∩B＝{2}．

(1)求a的值及集合A，B；

(2)设全集U＝A∪B，求(∁UA)∪(∁UB)；

(3)写出(∁UA)∪(∁UB)的所有子集．

【答案】(1)由交集的概念易得2是方程2x2＋ax＋2＝0与x2＋3x＋2a＝0的公共解，则a＝－5，此时A＝，B＝{－5,2}．

(2)由并集的概念易得U＝A∪B＝.

由补集的概念易得∁UA＝{－5}，∁UB＝，

所以(∁UA)∪(∁UB)＝.

(3)(∁UA)∪(∁UB)的所有子集即为集合的所有子集：∅，，{－5}，.

20．（2018秋•金牛区月考）(本小题满分12分)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)作出函数f(x)的图象(不用列表)，并指出它的增区间.

【答案】　(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1.

又因为函数f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＋1.

当x＝0时，由f(0)＝－f(0)，得f(0)＝0，所以f(x)＝

(2)作出函数图象，如图所示．

由函数图象易得函数的增区间为

，.

21．（2019春•遵义期中）(本小题满分12分)已知f(x)在R上是单调递减的一次函数，且f(f(x))＝4x－1.

(1)求f(x)；

(2)求函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值与最小值．

【答案】(1)由题意可设f(x)＝ax＋b，a＜0，由于f(f(x))＝4x－1，则a2x＋ab＋b＝4x－1，

故解得a＝－2，b＝1.故f(x)＝－2x＋1.

(2)由(1)知，函数y＝f(x)＋x2－x＝－2x＋1＋x2－x＝x2－3x＋1，

故函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，对称轴为x＝，则函数y＝f(x)＋x2－x在上为减函数，在上为增函数．

又由f＝－，f(－1)＝5，f(2)＝－1，

则函数y＝f(x)＋x2－x在x∈[－1,2]上的最大值为5，最小值为－.

22．（2019春•太原期末）(本小题满分12分)已知函数f(x)＝为奇函数．

(1)求b的值；

(2)证明：函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数；

(3)解关于x的不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0.

【答案】　(1)∵函数f(x)＝为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝b＝0.

(2)由(1)可得f(x)＝，下面证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．

证明：设x2＞x1＞1，

则有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.

再根据x2＞x1＞1，可得1＋x＞0,1＋x＞0，x1－x2＜0,1－x1x2＜0，

∴＞0，

即f(x1)＞f(x2)，

∴函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．

(3)由不等式f(1＋x2)＋f(－x2＋2x－4)＞0，

可得f(1＋x2)＞－f(－x2＋2x－4)＝f(x2－2x＋4)，

再根据函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，可得1＋x2＜x2－2x＋4，且x＞1，

解得1＜x＜，故不等式的解集为.