2027年湖北省襄阳市高考仿真卷数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年湖北省襄阳市高考仿真卷数学试卷（含答案解析），共4页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知某批零件的长度误差，是虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P在椭圆τ：=1(a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关于x轴的对称点为Q，设，直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率e=（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
5．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ）
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立D．当时，该命题成立
6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，
．）
A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%
7．是虚数单位，则（ ）
A．1B．2C．D．
8．已知定义在上的偶函数满足，且在区间上是减函数，令，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津的往返机票平均价格变化最大
C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加
10．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
11．在中，，则 （ ）
A．B．C．D．
12．已知数列为等比数列，若，且，则（ ）
A．B．或C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：___________．
14．已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________.
15．已知复数，其中为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值是__．
16．已知双曲线的左焦点为，、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，的中点为，若，且直线的斜率为，则__________，双曲线的离心率为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，正方体的棱长为2，为棱的中点.
（1）面出过点且与直线垂直的平面，标出该平面与正方体各个面的交线（不必说明画法及理由）；
（2）求与该平面所成角的正弦值.
18．（12分）如图，已知椭圆经过点，且离心率，过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为，线段的中点为，记直线的斜率分别为，求证：为定值.
19．（12分）已知函数
（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）若函数，则当，时，求证：
①；
②.
20．（12分）已知椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为的左焦点，点为直线上任意一点，过点作的垂线交于两点，
（ⅰ）证明：平分线段（其中为坐标原点）；
（ⅱ）当取最小值时，求点的坐标．
21．（12分）已知圆的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是是参数），若直线与圆相切，求实数的值.
22．（10分）已知函数.
（1）若曲线的切线方程为，求实数的值；
（2）若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
设，则，，，设，根据化简得到，得到答案.
【详解】
设，则，，，则，设，
则，两式相减得到：，
，，即，，
，故，即，故，故.
故选：.
本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.
2、C
【解析】
方法一：设，利用抛物线的定义判断出是的中点，结合等腰三角形的性质求得点的横坐标，根据抛物线的定义求得，进而求得.
方法二：设出两点的横坐标，由抛物线的定义，结合求得的关系式，联立直线的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得，进而求得.
【详解】
方法一：由题意得抛物线的准线方程为，直线恒过定点，过分别作于，于，连接，由，则，所以点为的中点，又点是的中点，
则，所以，又
所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为，
所以，所以．
方法二：抛物线的准线方程为，直线
由题意设两点横坐标分别为，
则由抛物线定义得
又 ①
②
由①②得.
故选：C
本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.
3、B
【解析】
根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究.
【详解】
当时，，令，在是增函数，时，有一个零点，
当时，，令
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
因为在上有3个零点，
所以当时，有2个零点，
如图所示：
所以实数的取值范围为
综上可得实数的取值范围为，
故选：B
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.
4、A
【解析】
分析：题设的直线与抛物线是相离的，可以化成，其中是点到准线的距离，也就是到焦点的距离，这样我们从几何意义得到的最小值，从而得到的最小值.
详解：由①得到，，故①无解，
所以直线与抛物线是相离的.
由，
而为到准线的距离，故为到焦点的距离，
从而的最小值为到直线的距离，
故的最小值为，故选A.
点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离来求解.
5、C
【解析】
写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.
【详解】
由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，
由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
6、B
【解析】
试题分析：由题意
故选B．
考点：正态分布
7、C
【解析】
由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解.
【详解】
由.
故选:C.
本题考查复数的除法和模，属于基础题.
8、C
【解析】
可设，根据在上为偶函数及便可得到：，可设，，且，根据在上是减函数便可得出，从而得出在上单调递增，再根据对数的运算得到、、的大小关系，从而得到的大小关系.
【详解】
解：因为，即，又，
设，根据条件，，；
若，，且，则：；
在上是减函数；
；
；
在上是增函数；
所以，
故选：C
考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设，通过条件比较与，函数的单调性的应用，属于中档题.
9、D
【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.
【详解】
对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.
对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.
对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.
对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.
故选：D
本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.
10、D
【解析】
根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.
【详解】
为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.
，排除.
故选：.
本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.
11、A
【解析】
先根据得到为的重心，从而，故可得，利用可得，故可计算的值．
【详解】
因为所以为的重心，
所以,
所以,
所以，因为，
所以，故选A．
对于，一般地，如果为的重心，那么，反之，如果为平面上一点，且满足，那么为的重心．
12、A
【解析】
根据等比数列的性质可得，通分化简即可.
【详解】
由题意，数列为等比数列，则，
又，即，
所以，，
.
故选：A.
本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、231,321,301,1
【解析】
分个位数字是1、3两种情况讨论，即得解
【详解】
0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有：
（1）当个位数字是1时，数字可以是231,321,301；
（2）当个位数字是3时数字可以是1．
故答案为：231,321,301，1
本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.
14、
【解析】
令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.
【详解】
作出可行域，如图
令，则，显然当直线经过时，最大，且，
故的最大值为.
故答案为：.
本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.
15、2
【解析】
由题，得，然后根据纯虚数的定义，即可得到本题答案.
【详解】
由题，得，又复数为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：2
本题主要考查纯虚数定义的应用，属基础题.
16、
【解析】
设，，根据中点坐标公式可得坐标，利用可得到点坐标所满足的方程，结合直线斜率可求得，进而求得；将点坐标代入双曲线方程，结合焦点坐标可求得，进而得到离心率.
【详解】
左焦点为，双曲线的半焦距．
设，，，，
，，即，，即，
又直线斜率为，即，，，
，
在双曲线上，，即，
结合可解得：，，离心率.
故答案为：；.
本题考查直线与双曲线的综合应用问题，涉及到直线截双曲线所得线段长度的求解、双曲线离心率的求解问题；关键是能够通过设点的方式，结合直线斜率、垂直关系、点在双曲线上来构造方程组求得所需变量的值.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）.
【解析】
（1）与平面垂直，过点作与平面平行的平面即可
（2）建立空间直角坐标系求线面角正弦值
【详解】
解：（1）截面如下图所示：其中，，，，分别为边，，，，的中点，则垂直于平面.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，.
设平面的一个法向量为，则.
不妨取，则，
所以与该平面所成角的正弦值为.
（若将作为该平面法向量，需证明与该平面垂直）
考查确定平面的方法以及线面角的求法，中档题.
18、（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）由椭圆离心率、系数关系和已知点坐标构建方程组，求得，代入标准方程中即可；
（2）依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，则直线的方程为，设，，通过联立直线方程与椭圆方程化简整理和中点的坐标表示用含k的表达式表示，，进而表示；由韦达定理表示根与系数的关系进而表示用含k的表达式表示，最后做比即得证.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为，则，即，所以.
依题意，，即，解得，
所以，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：依题意，直线的斜率存在，且不为0，设其为，
则直线的方程为，设，.
与椭圆联立整理得，
故
所以，，
所以.
又
，
所以为定值，得证.
本题考查由离心率求椭圆的标准方程，还考查了椭圆中的定值问题，属于较难题.
19、（1）（2）①证明见解析②证明见解析
【解析】
（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.
（2）
①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.
②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.
【详解】
（1）由解得
必过与的交点.
在上取点，易得点关于对称的点为，
即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.
又因为，所以，，
由题意，解得.
（2）因为，所以.
①令，则，
则，
且，，
时，，单调递减；
时，，单调递增.
因为，所以，因为，
所以存在，使时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增.
又，所以时，，即，
所以，即成立.
②由①知成立，即有成立.
令，即.所以时，，
单调递增；
时，，单调递减，所以，即，
因为，所以，所以时，，
即时，.
本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.
20、（1）（2）（ⅰ）见解析（ⅱ）点的坐标为．
【解析】
（1）由题意得，再由的关系求出，即可得椭圆的标准方程；
（2）（i）设，的中点为，，设直线的方程为，代入椭圆方程中，运用根与系数的关系和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；
（ii）利用两点间的距离公式及弦长公式将表示出来，由换元法的对勾函数的单调性，可得取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点的坐标.
【详解】
解：（1）由题意得， ，所以，
所以椭圆方程为
（2）设， 的中点为，
（ⅰ）证明：由，可设直线的方程为，
代入椭圆方程，得，
所以，
所以，则直线的斜率为，
因为，所以，
所以三点共线，所以平分线段；
（ii）由两点间的距离公式得
由弦长公式得

所以，
令，则，由在上递增，可得，即时，取得最小值4，
所以当取最小值时，点的坐标为
此题考那可是椭圆方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，运用根与系数的关系和中点坐标公式，同时考查弦长公式，属于较难题.
21、
【解析】
将圆的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为普通方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求实数的值.
【详解】
由，得，
， 即圆的方程为，
又由消，得，
直线与圆相切，，．
本题重点考查方程的互化，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用圆心到直线的距离等于半径,研究直线与圆相切.
22、（1）；（2）或
【解析】
（1）根据解析式求得导函数，设切点坐标为，结合导数的几何意义可得方程，构造函数，并求得，由导函数求得有最小值，进而可知由唯一零点，即可代入求得的值；
（2）将解析式代入，结合零点定义化简并分离参数得，构造函数，根据题意可知直线与曲线有两个交点；求得并令求得极值点，列出表格判断的单调性与极值，即可确定与有两个交点时的取值范围.
【详解】
（1）依题意，，，
设切点为，，
故，
故，则；
令，，
故当时，，
当时，，
故当时，函数有最小值，
由于，故有唯一实数根0，
即，则；
（2）由，得.
所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”；
由于.
由，解得，.
当变化时，与的变化情况如下表所示：
所以在，上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
，，
故当或时，直线与曲线在上有两个交点，
即当或时，函数在区间上有两个零点.
本题考查了导数的几何意义应用，由切线方程求参数值，构造函数法求参数的取值范围，函数零点的意义及综合应用，属于难题.
3
0
+
0
极小值
极大值