湖北省鄂州市2027年高考仿真卷数学试题（含答案解析）

这是一份湖北省鄂州市2027年高考仿真卷数学试题（含答案解析），共11页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，已知，，，，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
2．函数的图象为C，以下结论中正确的是（ ）
①图象C关于直线对称；
②图象C关于点对称；
③由y =2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
A．①B．①②C．②③D．①②③
3．已知曲线的一条对称轴方程为，曲线向左平移个单位长度，得到曲线的一个对称中心的坐标为，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线l交双曲线的右支于点P，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l相切，切点为H，若，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点是直线上的动点，点是抛物线上的动点.设点为线段的中点，为原点，则的最小值为________.
14．若，则________，________.
15．设满足约束条件，则的取值范围为__________.
16．已知椭圆，，若椭圆上存在点使得为等边三角形（为原点），则椭圆的离心率为_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为，求的分布列与数学期望.
附表及公式：
，
18．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1．
（1）求椭圆的方程；
（1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
19．（12分）已知函数，其中.
（1）当时，求在的切线方程；
（2）求证：的极大值恒大于0.
20．（12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（Ⅰ）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
（Ⅱ）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.
附：

21．（12分）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足，记点N的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求出直线的参数方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．
22．（10分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分（满分：分）数据，统计结果如下表所示．
（1）已知此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
（ⅰ）得分不低于的可以获赠次随机话费，得分低于的可以获赠次随机话费；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
现市民甲要参加此次问卷调查，记为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望．
附：，若，则，，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.
【详解】
过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，
由抛物线解析式知：，准线方程为.
，，，，
由抛物线定义知：，，，
.
由抛物线性质得：，解得：，
.
故选：.
本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.
2、B
【解析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识，判断出正确的结论.
【详解】
因为，
又，所以①正确.
，所以②正确.
将的图象向右平移个单位长度，得，所以③错误.
所以①②正确，③错误.
故选:B
本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心，考查三角函数图象变换，属于基础题.
3、C
【解析】
在对称轴处取得最值有，结合，可得，易得曲线的解析式为，结合其对称中心为可得即可得到的最小值.
【详解】
∵直线是曲线的一条对称轴.
，又.
.
∴平移后曲线为.
曲线的一个对称中心为.
.
，注意到
故的最小值为.
故选：C.
本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
4、A
【解析】
在中，由余弦定理，得到，再利用即可建立的方程.
【详解】
由已知，，在中，由余弦定理，得
，又，，所以，
，
故选：A.
本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立三者间的关系，本题是一道中档题.
5、C
【解析】
直线恒过定点，由此推导出，由此能求出点的坐标，从而能求出的值．
【详解】
设抛物线的准线为，
直线恒过定点，
如图过A、B分别作于M，于N，
由，则，
点B为AP的中点、连接OB，则，
∴，点B的横坐标为，
∴点B的坐标为，把代入直线，
解得，
故选：C．
本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用，属于中档题.
6、D
【解析】
先判断函数在时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到，比较三个数的大小，然后根据函数在时的单调性，比较出三个数的大小.
【详解】
当时，，函数在时，是增函数.因为，所以函数是奇函数，所以有，因为，函数在时，是增函数，所以，故本题选D.
本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.
7、D
【解析】
连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案
【详解】
连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以.
本题考查向量的线性运算问题，属于基础题
8、D
【解析】
令，求，利用导数判断函数为单调递增，从而可得，设，利用导数证出为单调递减函数，从而证出，即可得到答案.
【详解】
时，
令，求导
，，故单调递增：
∴，
当，设，
，
又，
，即，
故.
故选：D
本题考查了作差法比较大小，考查了构造函数法，利用导数判断式子的大小，属于中档题.
9、A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
10、A
【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.
【详解】
由成等比数列得，即，已知，解得.
故选：.
本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.
11、A
【解析】
先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率.
【详解】
由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上，
所以抛物线的准线，从而轴，所以，

即
故双曲线的离心率为
故选A
本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题.
12、B
【解析】
为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值
【详解】
，，，
，同理
为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角
，又
，
在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系
则，设
，整理可得：
在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆
平面平面，，
为二面角的平面角，
当与圆相切时，最大，取得最小值
此时
故选
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.
【详解】
如图所示：过点作直线平行于，则在两条平行线的中间直线上，
，则，，故抛物线的与直线平行的切线为.
点为线段的中点，故在直线时距离最小，故.
故答案为：.
本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.
14、
【解析】
根据诱导公式和二倍角公式计算得到答案.
【详解】
，故.
故答案为：；.
本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于简单题.
15、
【解析】
由题意画出可行域，转化目标函数为，数形结合即可得到的最值，即可得解.
【详解】
由题意画出可行域，如图：
转化目标函数为，
通过平移直线，数形结合可知：当直线过点A时，直线截距最大，z最小；当直线过点C时，直线截距最小，z最大.
由可得，由可得，
当直线过点时，；当直线过点时，，
所以.
故答案为：.
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合思想，属于基础题.
16、
【解析】
根据题意求出点N的坐标，将其代入椭圆的方程，求出参数m的值，再根据离心率的定义求值.
【详解】
由题意得，
将其代入椭圆方程得，
所以.
故答案为：.
本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，属于中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，.
【解析】
（1）根据频率分布直方图补全列联表，求出，从而有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：人，抽中女教工：人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得下表：
的观测值为
所以有的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.
（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，
所以的可能取值为0，1，2.
且，，，
所以的分布列为
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
18、（1） （1）不存在，理由见解析
【解析】
（1）利用离心率和过点，列出等式，即得解
（1）设的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示，利用韦达关系代入，得到关于k的等式，即可得解.
【详解】
（1）由题意，可得解得
则，
故椭圆的方程为．
（1）当直线的斜率不存在时，
，不符合题意．
当的斜率存在时，
设的方程为，
联立得，
设，
则，，
，即．
设，则，
，
，
则，
即，
整理得，此方程无解，故的方程不存在．
综上所述，不存在直线使得．
本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.
19、（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
（2）分类讨论得出极大值即可判断.
【详解】
（1），
当时，，，
则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
∴函数无极值；
②当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴；
③当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴，
综上，函数的极大值恒大于0.
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
20、（Ⅰ）填表见解析，有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关； （Ⅱ）分布列见解析，
【解析】
（Ⅰ）根据茎叶图填写列联表，计算得到答案.
（Ⅱ），计算，，，得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】
（Ⅰ）根据茎叶图可得：
，
故有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果””有关.
（Ⅱ）从茎叶图可知，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生人数分别是4人和2人，从中任意选2人，基本事件总数为，
，，，
.
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的综合应用能力.
21、（Ⅰ）(t为参数)，；（Ⅱ）1.
【解析】
（Ⅰ）直接由已知写出直线l1的参数方程，设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），由题意可得，即ρ＝4csθ，然后化为普通方程；
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，得到关于t的一元二次方程，再由参数t的几何意义可得|AP|•|AQ|的值．
【详解】
（Ⅰ）直线l1的参数方程为，（t为参数）
即（t为参数）．设N（ρ，θ），M（ρ1，θ1），（ρ＞0，ρ1＞0），
则，即，即ρ=4csθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2-4x+y2=0（x≠0）.
（Ⅱ）将l1的参数方程代入C的直角坐标方程中，
得，
即，t1，t2为方程的两个根，
∴t1t2=-1，∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=|-1|=1．
本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直角坐标方程与直角坐标方程的互化，训练了直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．
22、（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数的值，再利用数据之间的关系将、表示为，，利用题中所给数据，以及正态分布的概率密度曲线的对称性，求出对应的概率；
（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为，再结合得元、元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望.
【详解】
（1）由题意可得，
易知，，
，
；
（2）根据题意，可得出随机变量的可能取值有、、、元，
，，
，.
所以，随机变量的分布列如下表所示：
所以，随机变量的数学期望为.
本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题.
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
男
女
总计
合格
不合格
总计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
组别
频数

赠送的随机话费/元
概率
男
女
合计
冰雪迷
40
20
60
非冰雪迷
20
20
40
合计
60
40
100
0
1
2
男
女
总计
合格
10
16
26
不合格
10
4
14
总计
20
20
40
0
1
2