2027届湖北省武汉市高考仿真卷数学试题（含答案解析）

这是一份2027届湖北省武汉市高考仿真卷数学试题（含答案解析），共21页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知集合，，则，二项式展开式中，项的系数为等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，若，则的最小值为（ ）
参考数据：
A．B．C．D．
2．的展开式中的常数项为( )
A．－60B．240C．－80D．180
3．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入，，，，，，，则图中空白框中应填入（ ）
A．，B．C．，D．，
4．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如，．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
A．B．C．D．以上都不对
6．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）
A．48B．60C．72D．120
7．已知集合，，则
A．B．C．D．
8．二项式展开式中，项的系数为（ ）
A．B．C．D．
9．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．下列函数中，既是奇函数，又是上的单调函数的是( )
A．B．
C．D．
11．已知实数集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
12．已知，则，不可能满足的关系是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．双曲线的离心率为_________．
14．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，，则球的体积为__________．
15．某高中共有1800人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列，现用分层抽样的方法从中抽取60人，那么高二年级被抽取的人数为________．
16．在棱长为的正方体中，是面对角线上两个不同的动点.以下四个命题：①存在两点，使；②存在两点，使与直线都成的角；③若，则四面体的体积一定是定值；④若，则四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.
（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；
（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.
18．（12分）设函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）设为的三个内角，若，求的值；
19．（12分） [2018·石家庄一检]已知函数．
（1）若，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，且，求证：．
20．（12分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.
（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；
（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）
21．（12分）如图，在四棱锥中，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，，为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
首先的单调性，由此判断出，由求得的关系式.利用导数求得的最小值，由此求得的最小值.
【详解】
由于函数，所以在上递减，在上递增.由于，，令，解得，所以，且，化简得，所以，构造函数，.构造函数，，所以在区间上递减，而，，所以存在，使.所以在上大于零，在上小于零.所以在区间上递增，在区间上递减.而，所以在区间上的最小值为，也即的最小值为，所以的最小值为.
故选：A
本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查分段函数的图像与性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
2、D
【解析】
求的展开式中的常数项，可转化为求展开式中的常数项和项，再求和即可得出答案.
【详解】
由题意，中常数项为，
中项为，
所以的展开式中的常数项为：
.
故选：D
本题主要考查二项式定理的应用和二项式展开式的通项公式，考查学生计算能力，属于基础题.
3、A
【解析】
依题意问题是，然后按直到型验证即可.
【详解】
根据题意为了计算7个数的方差，即输出的，
观察程序框图可知，应填入，，
故选：A.
本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及转化与化归思想，属于基础题.
4、C
【解析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.
【详解】
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；
根据三角形面积公式得到，
可得到内切圆的半径为
可得到点的坐标为：

故得到
故得到
，
故最大值为：2.
故答案为C.
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
5、A
【解析】
首先确定不超过的素数的个数，根据古典概型概率求解方法计算可得结果.
【详解】
不超过的素数有，，，，，，，，共个，
从这个素数中任选个，有种可能；
其中选取的两个数，其和等于的有，，共种情况，
故随机选出两个不同的数，其和等于的概率．
故选：.
本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.
6、A
【解析】
对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论
【详解】
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
数字出现在第位时，同理也有个
数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，
共有个
故满足条件的不同的五位数的个数是个
故选
本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。
7、C
【解析】
分析：根据集合可直接求解.
详解：,
,
故选C
点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.
8、D
【解析】
写出二项式的通项公式,再分析的系数求解即可.
【详解】
二项式展开式的通项为,令,得,故项的系数为.
故选：D
本题主要考查了二项式定理的运算,属于基础题.
9、A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
10、C
【解析】
对选项逐个验证即得答案.
【详解】
对于，，是偶函数，故选项错误；
对于，，定义域为，在上不是单调函数，故选项错误；
对于，当时，；
当时，；
又时，.
综上，对，都有，是奇函数.
又时，是开口向上的抛物线，对称轴，在上单调递增，是奇函数，在上是单调递增函数，故选项正确；
对于，在上单调递增，在上单调递增，但，在上不是单调函数，故选项错误.
故选：.
本题考查函数的基本性质，属于基础题.
11、A
【解析】
可得集合,求出补集,再求出即可.
【详解】
由,得,即,
所以,
所以.
故选:A
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
12、C
【解析】
根据即可得出，，根据，，即可判断出结果．
【详解】
∵；
∴，；
∴，，故正确；
，故C错误；
∵
，故D正确
故C．
本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：和不等式的应用，属于中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】

14、
【解析】
由题意可得三棱锥的三条侧棱两两垂直，则它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，求出正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求出球的体积.
【详解】
解：因为，为正三角形，
所以，
因为，所以三棱锥的三条侧棱两两垂直，
所以它的外接球就是棱长为的正方体的外接球，
因为正方体的对角线长为，所以其外接球的半径为，
所以球的体积为
故答案为：
此题考查球的体积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.
15、
【解析】
由三个年级人数成等差数列和总人数可求得高二年级共有人，根据抽样比可求得结果.
【详解】
设高一、高二、高三人数分别为，则且，
解得：，
用分层抽样的方法抽取人，那么高二年级被抽取的人数为人．
故答案为：.
本题考查分层抽样问题的求解，涉及到等差数列的相关知识，属于基础题.
16、①③④
【解析】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，可判断①正确；当点点与点重合，与直线所成的角最小为，可判定②不正确；根据平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，可判定③正确；四面体在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确.
【详解】
对于①中，当点与点重合，与点重合时，，所以①正确；
对于②中，当点点与点重合，与直线所成的角最小，此时两异面直线的夹角为，所以②不正确；
对于③中，设平面两条对角线交点为，可得平面，
平面将四面体可分成两个底面均为平面，高之和为的棱锥，
所以四面体的体积一定是定值，所以③正确；
对于④中，四面体在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，
四面体在四个侧面上的投影，均为上底为，下底和高均为1的梯形，其面积为定值，
故四面体在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确.
故答案为：①③④.

本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），（2）
【解析】
（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；
（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．
【详解】
（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，
设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），
所以x＝ρcsθcs1，y＝ρsinθsin1，
所以点P的直角坐标为（1，1）．
（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，
因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，
则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，
依题意，点M对应的参数为，
所以|PM|＝||．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．
18、（1）（2）
【解析】
（1）将，利用三角恒等变换转化为：，，再根据正弦函数的性质求解，
（2）根据，得，又为的内角，得到，再根据，利用两角和与差的余弦公式求解，
【详解】
（1），
，
，
，
即的值域为；
（2）由，得，
又为的内角，所以，
又因为在中，，
所以，
所以.
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题，
19、（1） （2）见解析
【解析】
试题分析：（1）分别求得和，由点斜式可得切线方程；
（2）由已知条件可得有两个相异实根，，进而再求导可得，结合函数的单调性可得，从而得证.
试题解析：
（1）由已知条件，，当时，，
，当时，，所以所求切线方程为
（2）由已知条件可得有两个相异实根，，
令，则，
1）若，则，单调递增，不可能有两根；
2）若，
令得，可知在上单调递增，在上单调递减，
令解得，
由有，
由有，
从而时函数有两个极值点，
当变化时，，的变化情况如下表
因为，所以，在区间上单调递增，
．
另解：由已知可得，则，令，
则，可知函数在单调递增，在单调递减，
若有两个根，则可得，
当时， ，
所以在区间上单调递增，
所以．
20、（1）分布列见解析；（2）406.
【解析】
（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.
（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.
【详解】
（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.
所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.
依题意可知，，所以的分布列为：
（2）方案②中.
结合（1）知每个人的平均化验次数为：
时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，
时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，
时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，
即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，
故在这三种分组情况下，相比方案①，
当时化验次数最多可以平均减少次.
本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）利用线段长度得到与间的垂直关系，再根据线面垂直的判定定理完成证明；
（2）以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，计算出结果.
【详解】
（1）∵，，
∴，
∴，
∵，平面，
∴平面
（2）由（1）知，，
又为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∵，∴，
设是平面的一个法向量
则，即，取得
∴
∴直线与平面所成的正弦值为
本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦，难度一般.用向量方法求解线面角的正弦值时，注意直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.
22、（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由条件可得，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程；
（2）当与轴垂直时，设直线的方程为：，与椭圆联立求得的坐标，通过、斜率之积为列方程可得的值，进而可得的面积；当与轴不垂直时，设，，的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和、斜率之积为可得，再利用弦长公式求出，以及到的距离，通过三角形的面积公式求解.
【详解】
（1）抛物线的焦点为，
，
，，
，，
椭圆方程为；
（2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为：
代入得：，，
，
解得：，
；
（ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为
由，
由①
，
，
，
即
整理得：
代入①得：
到的距离
综上：为定值.
本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.
单调递减
单调递增
单调递减