2027年湖北省鄂州市高考仿真模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份2027年湖北省鄂州市高考仿真模拟数学试卷（含答案解析），共3页。试卷主要包含了考生要认真填写考场号和座位序号，已知函数为奇函数，则，已知函数满足=1，则等于，若，则的虚部是等内容，欢迎下载使用。
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是定义是上的奇函数，满足，当时， ，则函数在区间上的零点个数是（ ）
A．3B．5C．7D．9
2．已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，，若，则的值为( )
A．1B．－1C．8lD．－81
3．若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
4．已知函数为奇函数，则（ ）
A．B．1C．2D．3
5．已知函数满足=1，则等于（ ）
A．-B．C．-D．
6．若，则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
7．要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标（ ）
A．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
B．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度
C．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度
D．缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度
8．已知 ，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（ ）
A．当时，该命题不成立B．当时，该命题成立
C．当时，该命题不成立D．当时，该命题成立
10．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的数据分析素养优于甲
B．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C．甲的六大素养整体水平优于乙
D．甲的六大素养中数据分析最差
11．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（ ）
A．B．C．D．
12．在中，，，，点满足，则等于（ ）
A．10B．9C．8D．7
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数的极大值为________.
14．在棱长为的正方体中，是正方形的中心，为的中点，过的平面与直线垂直，则平面截正方体所得的截面面积为______.
15．已知， 是互相垂直的单位向量，若 与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．
16．设全集，，，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.
（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.
（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
18．（12分）设复数满足（为虚数单位），则的模为______.
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，.
（1）求csC；
（2）若b＝7，D是BC边上的点，且△ACD的面积为，求sin∠ADB.
20．（12分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．
21．（12分）如图，正方形所在平面外一点满足，其中分别是与的中点.
（1）求证：；
（2）若，且二面角的平面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值.
22．（10分）已知函数.
（1）若函数不存在单调递减区间，求实数的取值范围；
（2）若函数的两个极值点为，，求的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据是定义是上的奇函数，满足，可得函数的周期为3，再由奇函数的性质结合已知可得 ，利用周期性可得函数在区间上的零点个数．
【详解】
∵是定义是上的奇函数，满足， ，可得，
函数的周期为3，
∵当时， ，
令，则，解得或1，
又∵函数是定义域为的奇函数，
∴在区间上，有．
由，取，得 ，得，
∴．
又∵函数是周期为3的周期函数，
∴方程=0在区间上的解有 共9个，
故选D．
本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题．
2、B
【解析】
根据二项式系数的性质，可求得，再通过赋值求得以及结果即可.
【详解】
因为展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，
故可得，
令，故可得，
又因为，
令，则，
解得
令，则.
故选：B.
本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.
3、C
【解析】
由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.
【详解】
设函数，，
因为，
所以，
或，
因为 时，，
或时，，，其图象如下：
当时，至多一个整数根；
当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，
，
所以.
故选：C.
本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.
4、B
【解析】
根据整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出的值.
【详解】
依题意是奇函数.而为奇函数，为偶函数，所以为偶函数，故，也即，化简得，所以.
故选：B
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.
5、C
【解析】
设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.
【详解】
解：设的最小正周期为，因为，
所以，所以，
所以，
又，所以当时，，
，因为
，
整理得，因为，
，
，则
所以
.
故选：C.
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.
6、D
【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.
【详解】
由题可知，
所以的虚部是1.
故选：D.
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.
7、B
【解析】
分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．
详解：将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到
再将得到的图象向左平移个单位长度得到
故选B．
点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合和的关系是解决本题的关键．
8、D
【解析】
“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.
【详解】
由题意知：可化简为，，
所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.
利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.
9、C
【解析】
写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.
【详解】
由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，
由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选：C.
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
10、C
【解析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
由数据可知选C.
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识.
11、B
【解析】
分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.
【详解】
集合含有个元素的子集共有，所以．
在集合中：
最大元素为的集合有个；
最大元素为的集合有；
最大元素为的集合有；
最大元素为的集合有；
所以．
故选：．
此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.
12、D
【解析】
利用已知条件，表示出向量 ,然后求解向量的数量积．
【详解】
在中，，，，点满足，可得
则==
本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】
对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值.
【详解】
依题意，得.
所以当时，；当时，.
所以当时，函数有极大值.
故答案为：.
本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题.
14、
【解析】
确定平面即为平面，四边形是菱形，计算面积得到答案.
【详解】
如图，在正方体中，记的中点为，连接，
则平面即为平面．证明如下：
由正方体的性质可知，，则，四点共面，
记的中点为，连接，易证．连接，则，
所以平面，则．
同理可证，，，则平面，
所以平面即平面，且四边形即平面截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为，易知四边形是菱形，
其对角线，，所以其面积．
故答案为：
本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
15、
【解析】
根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．
【详解】
解：由题意，设（1，0），（0，1），
则（，﹣1），
λ（1，λ）；
又夹角为60°，
∴（）•（λ）λ＝2cs60°，
即λ，
解得λ．
本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
16、
【解析】
先求出集合，，然后根据交集、补集的定义求解即可．
【详解】
解：，或；
∴；
∴．
故答案为：．
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）存在，
【解析】
（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.
（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.
【详解】
（1）证明：∵椭圆经过点，∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时椭圆的离心率.
（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.
当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.
∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.
当直线的斜率存在时，设的方程为.
由，得，
.
设，，则，.
∵，∴，
∴，
∴，即，
∴到直线的距离.
综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.
本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
18、1
【解析】
整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.
【详解】
因为，即
所以的模为1
故答案为：1
本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.
19、（1）；（2）.
【解析】
（1）根据诱导公式和二倍角公式，将已知等式化为角关系式，求出，再由二倍角余弦公式，即可求解；
（2）在中，根据面积公式求出长，根据余弦定理求出，由正弦定理求出
，即可求出结论.
【详解】
（1），
，
；
（2）在中，由（1）得，
，
由余弦定理得
，
，在中，
，
.
本题考查三角恒等变换求值、面积公式、余弦定理、正弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.
20、（1）；（2）2.
【解析】
（1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．
【详解】
（1）设，则，，
，，
由题意得，，
椭圆的方程为；
（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，
得．
由直线与椭圆仅有一个公共点知，，
化简得：．

设，，
当时，设直线的倾斜角为，
则，
，
，
，
∴当时，，，
．
当时，四边形是矩形，．
所以四边形面积的最大值为2．
本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21、（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先证明EF平面，即可求证；
（2）根据二面角的余弦值，可得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.
【详解】
（1）连接，交于点，
连结.则，
故面.
又面，
因此.
（2）由（1）知即为二面角的平面角，
且.
在中应用余弦定理，得，
于是有，
即，从而有平面.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,
则，
于是，，
设平面的法向量为，
则，即，解得
于是平面的一个法向量为.设直线与平面所成角为，因此.
本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.
22、（1）（2）
【解析】
分析：（1）先求导，再令在上恒成立，得到上恒成立，利用基本不等式得到m的取值范围.(2)先由得到
，再求得，再构造函数再利用导数求其最小值.
详解：（1）由函数有意义，则
由且不存在单调递减区间，则在上恒成立，
上恒成立



（2）由知，
令，即
由有两个极值点
故为方程的两根，
，
，
则

由
由 ，则上单调递减
，即

由知
综上所述，的最小值为.
点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的难点有两个，其一是求出,其二是构造函数再利用导数求其最小值.
数学抽象
逻辑推理
数学建模
直观想象
数学运算
数据分析
甲
4
5
4
5
4
5
乙
3
4
3
3
5
4