2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第十章必刷大题20概率与统计（Word版附答案）

这是一份2026届高三数学一轮复习练习试题（基础版）第十章必刷大题20概率与统计（Word版附答案），共6页。
1.(13分)(2024·长沙模拟)要获得某项英语资格证书必须依次通过听力和笔试两项考试，只有听力成绩合格时，才可以继续参加笔试考试.已知听力和笔试各自允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书.现某同学参加这项证书考试，根据以往模拟情况，听力考试成绩每次合格的概率均为23，笔试考试成绩每次合格的概率均为12，假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
(1)求他不需要补考就可获得证书的概率；(3分)
(2)求他恰好补考一次就获得证书的概率；(4分)
(3)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求参加考试次数ξ的分布列和期望.(6分)
2.(15分)(2024·安康模拟)某农场收获的苹果按A，B，C三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且A，B，C三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1.
(1)现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；(7分)
(2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望.(8分)
3.(15分)随着科技的不断发展，人工智能技术的应用越来越广泛，某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.该人机交互软件测试阶段，共测试了1 000个问题，测试结果如下表：
结果显示问题中是否存在语法错误会影响该软件回答问题的正确率，依据测试结果，用频率近似概率，解决下列问题.
(1)测试2个问题，在该软件都回答正确的情况下，求测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误的概率；(7分)
(2)现输入3个问题，每个问题能否被软件正确回答相互独立，记软件正确回答的问题个数为X，求X的分布列.(8分)
4.(17分)(2025·盐城模拟)某学校有A，B两个餐厅，经统计发现，该校同学在第一天就餐时会随机地选择一个餐厅用餐.此后，如果某同学某天去A餐厅，那么该同学下一天还去A餐厅的概率为0.4；如果某同学某天去B餐厅，那么该同学下一天去A餐厅的概率为0.8.
(1)记甲、乙、丙3位同学中第2天选择A餐厅的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望；(7分)
(2)甲同学第几天去A餐厅就餐的可能性最大？并说明理由.(10分)
答案精析
1.解 (1)设“听力第一次考试合格”为事件A1，“听力补考合格”为事件A2，“笔试第一次考试合格”为事件B1，“笔试补考合格”为事件B2.
不需要补考就获得证书的事件为A1B1，注意到A1与B1相互独立，则P(A1B1)＝P(A1)×P(B1)
＝23×12＝13.
(2)恰好补考一次的事件是A1A2B1+A1B1B2，
则P(A1A2B1+A1B1B2)
＝P(A1A2B1)+P(A1B1B2)
＝13×23×12+23×12×12＝518.
(3)由已知得，ξ＝2，3，4，
注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得
P(ξ＝2)＝P(A1B1)+P(A1A2)
＝23×12+13×13＝49，
P(ξ＝3)＝P(A1B1B2)
+P(A1B1B2)+P(A1A2B1)
＝23×12×12+23×12×12+13×23×12＝49，
P(ξ＝4)＝P(A1A2B1B2)+
P(A1A2B1B2)
＝13×23×12×12+13×23×12×12＝19，
ξ的分布列为
所以参加考试次数ξ的期望E(ξ)＝2×49+3×49+4×19＝83.
2.解 (1)设事件M＝“至少选到2箱A级苹果”，
由题意知选到1箱A级苹果的概率为610＝35，选到1箱非A级苹果的概率为3+110＝25，
所以P(M)＝C32352×251+
C33353×250＝54+27125＝81125，
故至少选到2箱A级苹果的概率为81125.
(2)因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，
所以A级苹果有6箱，B，C级苹果共有4箱，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝C60C43C103＝4120＝130，
P(X＝1)＝C61C42C103＝36120＝310，
P(X＝2)＝C62C41C103＝60120＝12，
P(X＝3)＝C63C40C103＝20120＝16，
所以X的分布列为
E(X)＝0×130+1×310+2×12+3×16＝95.
3.解 (1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，
“回答正确”为事件B，
由测试结果知P(A)＝35，
P(B|A)＝56，P(A)＝25，
P(B|A)＝14，所以P(B)＝
P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)
＝14×25+56×35＝35.
记“测试的2个问题都回答正确”为事件M，“测试的2个问题中恰有1个问题存在语法错误”为事件N，则P(M)＝352＝925，
P(MN)＝
P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)×2
＝35×56×25×14×2＝110，
所以P(N|M)＝P(MN)P(M)＝518.
(2)由(1)可得X~B3，35，
则X的可能取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)＝253＝8125，
P(X＝1)＝C31×35×252＝36125，
P(X＝2)＝C32×352×25＝54125，
P(X＝3)＝353＝27125，
所以X的分布列为
4.解 (1)设一位同学第2天选择去A餐厅就餐的概率为p，
则p＝12×25+12×45＝35.
则X~B3，35，
且X所有可能的取值为0，1，2，3，
所以P(X＝0)
＝C30×350×1-353＝8125，
P(X＝1)＝
C31×351×1-352＝36125，
P(X＝2)
＝C32×352×1-351＝54125，
P(X＝3)
＝C33×353×1-350
＝27125，
故X的分布列为
所以E(X)＝3×35＝95.
(2)设甲同学第n天去A餐厅的概率为Pn，
则P1＝12，当n≥2时，
Pn＝25Pn－1+45(1－Pn－1)
＝－25Pn－1+45，
所以Pn－47＝－25Pn-1-47，
又P1－47＝－114，
所以Pn-47是以－114为首项，
－25为公比的等比数列，
所以Pn－47＝－114×-25n-1，
所以Pn＝47－114×-25n-1，
当n是奇数时，
Pn＝47－114×25n-147，
且P2>P4>P6>…>P2k>47，
k∈N*.
所以甲同学第2天去A餐厅就餐的可能性最大.回答正确
回答错误
问题中存在语法错误
100
300
问题中没有语法错误
500
100
ξ
2
3
4
P
49
49
19
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125
X
0
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125