2027年高考数学一轮复习第八章　§8.3　圆的方程学案含解析

这是一份2027年高考数学一轮复习第八章　§8.3　圆的方程学案含解析，共15页。

1.圆的定义和圆的方程
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外；
(2)|MC|=r⇔M在圆上，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上；
(3)|MC|0.( √ )
2.若圆x2+y2+x+y=0的圆心为M，则点M到直线x-y+2=0的距离为( )
A.2B.3C.3D.2
答案 D
解析 由圆的方程x2+y2+x+y=0，配方可得x+122+y+122=12，
所以圆心M−12，−12，
则点M到直线x-y+2=0的距离d=−12+12+21+1=2.
3.(多选)已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0，-5)，则( )
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A在圆C内
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为2
答案 BD
解析 因为x2+y2-4x+6y+11=0，即(x-2)2+(y+3)2=2，所以圆心为C(2，-3)，半径r=2，故A错误；
又|AC|=(2−0)2+(−3+5)2=22>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误；
因为|AC|=22，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|-r=2，故D正确.
4.(2025·眉山模拟)若方程x2+y2-2x+2y=a表示圆，则实数a的取值范围是 .
答案 (-2，+∞)
解析 若方程x2+y2-2x+2y-a=0表示圆，则(-2)2+22+4a=8+4a>0，解得a>-2，
因此实数a的取值范围是(-2，+∞).
1.掌握圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
2.牢记两个相关结论
(1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为x=a+rcsθ，y=b+rsinθ，其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标.
题型一 圆的方程
例1 设☉M的圆心M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为 .
答案 (x-1)2+(y+1)2=5
解析 方法一 设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
则2a+b−1=0，(3−a)2+b2=r2，a2+(1−b)2=r2，解得a=1，b=−1，r2=5，
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法二 设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
则M−D2，−E2，
∴2·−D2+−E2−1=0，9+3D+F=0，1+E+F=0，解得D=−2，E=2，F=−3，
∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0，
即(x-1)2+(y+1)2=5.
方法三 设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB=1−00−3=-13，
线段AB的中点坐标为32，12，
∴线段AB的垂直平分线方程为
y-12=3x−32，
即3x-y-4=0.
联立3x−y−4=0，2x+y−1=0，解得x=1，y=−1，
∴M(1，-1)，
∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5，
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
思维升华 求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
跟踪训练1 (2025·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y=2x-1相切，则圆C的标准方程为 .
答案 (x-3)2+y2=5
解析 方法一 设圆C的圆心为(m，0)，则由于该点到直线y=2x-1的距离
d=|2m−1|22+(−1)2=|2m−1|5，
结合圆C与直线相切，知圆C的半径为|2m−1|5.
所以圆C的标准方程是(x-m)2+y2=(2m−1)25.
而圆C过点(1，1)，所以(1-m)2+12=(2m−1)25，解得m=3.
所以圆C的标准方程是(x-3)2+y2=5.
方法二 因为点(1，1)在直线y=2x-1上，
所以圆C与直线y=2x-1的切点为(1，1)，
则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y-1=-12(x-1)，即y=-12x+32，
又因为圆心C在x轴上，则0=-12x+32，得x=3，
即C(3，0)，圆C的半径为(3−1)2+(0−1)2=5，故圆C的标准方程是(x-3)2+y2=5.
题型二 与圆有关的轨迹问题
命题点1 直接法
例2 若点P(x，y)到两定点A(-3，0)和B(3，0)的距离的比等于2，则动点P的轨迹方程是 .
答案 (x-5)2+y2=16
解析 |PA|=(x+3)2+y2，
|PB|=(x−3)2+y2，
由题意得|PA||PB|=2，则(x+3)2+y2(x−3)2+y2=2，
整理可得(x+3)2+y2=4(x-3)2+4y2，
化简得(x-5)2+y2=16，
则动点P的轨迹方程为(x-5)2+y2=16.
命题点2 定义法
例3 已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是( )
A.y2=4x
B.x2+y2-2x-2y-3=0
C.x2+y2-2y-3=0
D.y2=-4x
答案 B
解析 因为圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，
所以圆心C(1，1)，半径r=1，
因为点M是圆上的动点，所以|MC|=1，
又AM与圆相切，且|AM|=2，
则|AC|=|MC|2+|AM|2=5，
设A(x，y)，则(x-1)2+(y-1)2=5，
即x2+y2-2x-2y-3=0，
所以点A的轨迹方程为x2+y2-2x-2y-3=0.
命题点3 相关点代入法
例4 已知圆C：(x-3)2+y2=9，D是圆C上的动点，点E(2，4)，若动点M满足DM=2DE，则点M的轨迹方程为( )
A.x−522+(y-2)2=94
B.(x-1)2+(y-8)2=9
C.(x-5)2+(y-8)2=9
D.(x-8)2+(y-1)2=9
答案 B
解析 设M(x，y)，D(a，b)，由DM=2DE，
得x−a=4−2a，y−b=8−2b，
所以a=4−x，b=8−y，
又因为点D在圆C：(x-3)2+y2=9上，
即(a-3)2+b2=9，
所以(4-x-3)2+(8-y)2=9，
即(x-1)2+(y-8)2=9，
故点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-8)2=9.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，
所以kAC·kBC=-1，
又kAC=yx+1，kBC=yx−3，
所以yx+1·yx−3=-1，
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0)，即(x-1)2+y2=4(y≠0).
方法二 设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=12|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为
(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x=x0+32，y=y0+02，
所以x0=2x-3，y0=2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为
(x-1)2+y2=4(y≠0)，
将x0=2x-3，y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0)，即(x-2)2+y2=1(y≠0).
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为
(x-2)2+y2=1(y≠0).
题型三 与圆有关的最值问题
命题点1 利用几何性质求最值
例5 (多选)已知圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则下列说法正确的是( )
A.y-x的最大值为3
B.x+y的最大值为7
C.yx的最大值为6+210
D.x2+y2的最大值为21+426
答案 ACD
解析 因为圆C：x2+y2-6x-4y+5=0，则(x-3)2+(y-2)2=8，
设x=22cs θ+3，y=22sin θ+2，θ∈[0，2π).
对于A，y-x=22sin θ-22cs θ-1=4sinθ−π4-1，
所以当θ=3π4时，y-x取得最大值为3，故A正确；
对于B，x+y=22cs θ+22sin θ+5=4sinθ+π4+5，
所以当θ=π4时，x+y取得最大值为9，故B错误；
对于C，设yx=k，则y=kx，圆C：(x-3)2+(y-2)2=8，
圆心C(3，2)，半径r=22，则圆心到直线y=kx的距离小于等于半径，即|3k−2|1+k2≤22，
所以k2-12k-4≤0，解得6-210≤k≤6+210，
所以yx的最大值为6+210，故C正确；
对于D，x2+y2可以看作是圆上某点P到原点O的距离的平方，
|OP|2≤(|OC|+r)2=(13+22)2=21+426，所以x2+y2的最大值为21+426，故D正确.
命题点2 利用对称性求最值
例6 已知A(0，2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的最小值是 .
答案 25
解析 因为圆C：x2+y2-4x-2y=0，
即(x-2)2+(y-1)2=5，
所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r=5的圆.
设点A(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m，n)，
所以m+02+n+22+2=0，n−2m−0=1，
解得m=−4，n=−2，故A'(-4，-2).
连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x+y+2=0于P，此时，|PA'|+|PQ|取得最小值，
由对称性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=25.
命题点3 利用函数求最值
例7 设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0).则PA·PB的最大值为 .
答案 12
解析 方法一 由题意，得PA=(2-x，-y)，
PB=(-2-x，-y)，
所以PA·PB=x2+y2-4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2+(y-3)2=1，故x2=-(y-3)2+1，
所以PA·PB=-(y-3)2+1+y2-4
=6y-12.
易知2≤y≤4，所以当y=4时，PA·PB的值最大，最大值为6×4-12=12.
方法二 (极化恒等式)
由题意知线段AB的中点为O(0，0)，BA=(4，0)，
PA·PB=14[(PA+PB)2-(PA-PB)2]
=PO2-14BA2=|PO|2-4，
易知|PO|2的最大值为[(0−0)2+(3−0)2+1]2=16，
所以PA·PB的最大值为12.
思维升华 与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ=y−bx−a，t=ax+by，(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|+|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
跟踪训练3 (1)(多选)已知实数x，y满足圆的方程(x-1)2+y2=14，则( )
A.圆心为(-1，0)，半径为12
B.x的最大值为32
C.x2+(y−1)2的最大值为2+12
D.x-y2的最大值为32
答案 BCD
解析 对于A，由圆的方程(x-1)2+y2=14，得圆心为(1，0)，半径r=12，故A错误；
对于B，由(x-1)2+y2=14，
有(x-1)2≤14⇒-12≤x-1≤12⇒12≤x≤32，
所以x的最大值为32，故B正确；
对于C，x2+(y−1)2表示圆上的点(x，y)到定点(0，1)的距离，
圆心(1，0)到定点(0，1)的距离为d=(1−0)2+(0−1)2=2，
所以圆上的点(x，y)到定点(0，1)的距离的最大值为d+r=2+12，即x2+(y−1)2的最大值为2+12，故C正确；
对于D，由(x-1)2+y2=14得y2=14-(x-1)2，
所以x-y2=x-14+(x-1)2=x2-x+34，12≤x≤32，
令f(x)=x2-x+34=x−122+12，由f(x)在12，32上单调递增，
所以f(x)max=f32=32，所以x-y2的最大值为32，故D正确.
(2)若实数x，y满足方程x2+y2-2x-4y+1=0，则代数式yx+2的取值范围为 .
答案 0，125
解析 设yx+2=k，则y=kx+2k，
方程x2+y2-2x-4y+1=0，
可化为(x-1)2+(y-2)2=4.
圆心为(1，2)，半径为2，
由圆心到直线y=kx+2k的距离小于等于半径，得k−2+2kk2+1≤2，
化简得k(5k-12)≤0，解得0≤k≤125，
故yx+2的取值范围是0，125.
课时精练
[分值：90分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的( )
A.必要不充分条件
B.充要条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 若x2+y2+mx+4y+8=0表示圆，则m2+42-4×8>0，解得m4，
故“关于x，y的方程x2+y2+mx+4y+8=0表示圆”是“m>4”的必要不充分条件.
2.已知圆C：x2+y2+2x-4y+1=0关于直线l：mx+2y-1=0对称，则实数m的值为( )
A.-5B.-3C.3D.5
答案 C
解析 圆C：x2+y2+2x-4y+1=0的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4，
圆心为(-1，2)，而圆C：x2+y2+2x-4y+1=0关于直线mx+2y-1=0对称，
故点(-1，2)在直线mx+2y-1=0上，故-m+4-1=0，解得m=3.
3.过点(-1，0)，(3，0)，(0，2)的圆的圆心坐标为( )
A.1，−12B.1，−14
C.1，14D.1，12
答案 C
解析 方法一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
因为该圆过点(-1，0)，(3，0)，(0，2)，
所以1−D+F=0，9+3D+F=0，4+2E+F=0，解得D=−2，E=−12，F=−3，
因此圆的方程为x2+y2-2x-12y-3=0.
化简得(x-1)2+y−142=6516，
因此该圆的圆心为1，14.
方法二 令A(-1，0)，B(3，0)，C(0，2)，
则线段AB的垂直平分线方程为x=1，AC的中点为−12，1，kAC=0−2−1−0=2，
则线段AC的垂直平分线方程为y-1=-12x+12，
即y=-12x+34，
联立x=1，y=−12x+34，得x=1，y=14，
故该圆的圆心为1，14.
4.点P在圆x2+y2=36上运动，它与点Q(4，0)所连线段的中点为M，则点M的轨迹方程为( )
A.(x-2)2+y2=9B.(x+2)2+y2=9
C.x2+(y-2)2=9D.x2+(y+2)2=9
答案 A
解析 设点M(x，y)，P(x0，y0)，
因为M为PQ的中点，
所以x=x0+42，y=y02，则x0=2x−4，y0=2y，即P(2x-4，2y)，
又因为动点P在圆x2+y2=36上，
所以(2x-4)2+(2y)2=36，
即(x-2)2+y2=9，
则点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=9.
5.在平面直角坐标系中，A(0，3)，B(0，-1)，点P满足|PA|=2|PB|，则△PAB面积的最大值是( )
A.2B.83C.163D.323
答案 C
解析 设点P(x，y)，x≠0，因为|PA|=2|PB|，
所以x2+(y−3)2=2x2+(y+1)2，
整理得x2+y+732=649(x≠0)，
所以点P的轨迹是以0，−73为圆心，83为半径的圆除去点0，13及点(0，−5)，
又直线AB的方程为x=0，
所以点P到直线AB的最大距离dmax为圆的半径，即dmax=83，
所以△PAB面积的最大值为S=12|AB|·dmax=12×4×83=163.
6.已知圆C：x2+y2-4x-4y+6=0，定点A(-1，1)，P为x轴上一动点，B为圆C上一动点，则|PA|+|PB|的最小值为( )
A.2B.22C.32D.2
答案 B
解析 圆C：x2+y2-4x-4y+6=0的圆心C(2，2)，半径r=2，
|PA|+|PB|≥|PA|+|PC|-2，当且仅当P，B，C三点共线，且B点在P，C两点之间时，取等号，
点A(-1，1)关于x轴的对称点为A'(-1，-1)，|PA|+|PC|=|PA'|+|PC|≥|A'C|=32，
当且仅当A'，P，C三点共线时取等号.
所以|PA|+|PB|≥32-2=22，当且仅当P，B在线段A'C上时取等号，所以|PA|+|PB|的最小值为22.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知x2+y2-4x+6y+k=0表示圆，则下列结论正确的是( )
A.圆心坐标为(-2，3)
B.当k=0时，半径r=13
C.圆心到直线x+y-1=0的距离为2
D.当k=4时，圆的面积为16π
答案 BC
解析 将方程x2+y2-4x+6y+k=0化为(x-2)2+(y+3)2=13-k，
所以圆心为(2，-3)，半径为13−k，故A错误；
当k=0时，半径r=13，故B正确；
圆心到直线x+y-1=0的距离为|2−3−1|2=2，故C正确；
当k=4时，半径为13−4=3，圆的面积为π×32=9π，故D错误.
8.已知圆C：(x-2)2+y2=1，点P(x0，y0)是圆C上的任意一点，则以下说法正确的是( )
A.y0x0的取值范围是−33，33
B.x0+2y0的最大值为3
C.x02+(y0+1)2的最小值为5+1
D.|x0+y0+2|的最小值为4-2
答案 AD
解析 由题可知圆C：(x-2)2+y2=1的圆心为(2，0)，半径为1.
设y0x0=k，则y0=kx0，又点P(x0，y0)是圆C上的任意一点，
则圆心(2，0)到直线y=kx的距离小于等于半径，所以|2k1+k2≤1，解得-33≤k≤33，所以y0x0的取值范围是−33，33，故A正确；
设x0=2+cs θ，y0=sin θ(0≤θ