专题09 函数的定值问题9种题型（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测练习+答案

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考点一： 面积定值
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点M为抛物线顶点，点E为AB中点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB=2∠ABC，求点Q的坐标；
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D(m,−12)，且m>1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)Q1,4
(3)①见解析；②△ABP的面积为定值16
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出∠QCB=90°，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，则△GCQ是等腰直角三角形，根据CQ=QG，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出E1,0，得出直线EF的解析式为y=−3x+3，联立y=−x2+2x+3y=−3x+3得出D(5,−12)，在直线EF上；②设Dx1,y1，Fx2,y2，设DF的解析式y=kx−1，联立抛物线解析式，可得x1+x2=2−k,x1x3=−3−k，根据题意，设直线AD解析式为y=k1x+1，直线BF的解析式为y=k2x−3，求得P到x轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将A(−1,0)，C(0,3)代入y=ax2+2x+c得，
a−2+c=0c=3
解得：a=−1c=3
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3
（2）解：对于y=−x2+2x+3，令y=0，
−x2+2x+3=0
解得：x1=−1,x2=3
∴B3,0
∴OB=OC=3
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵∠QCB=2∠ABC
∴∠QCB=90°
如图所示，过点C作CQ⊥BC交抛物线于点Q，过点Q作QG⊥y轴于点G，

∴∠GCQ=90°−∠ABC=45°
∴△GCQ是等腰直角三角形，
∴CQ=QG，
设Qq,−q2+2q+3，则G0，−q2+2q+3
∴CG=−q2+2q，GQ=q
∴−q2+2q=q
解得：q=0（舍去）或q=1
∴Q1,4
（3）①点F与点C重合，则F0,3，
∵点E为AB中点，A(−1,0)，B3,0
∴E1,0,
设直线EF的解析式为y=kx+bk≠0，代入E1,0,F0,3
∴k+b=0b=3
解得：k=−3b=3
∴y=−3x+3
联立y=−x2+2x+3y=−3x+3
解得：x=0y=3或x=5y=−12
∴D(5,−12)，在直线EF上
即D，E，F三点共线；
②设Dx1,y1，Fx2,y2
∵D，E，F三点共线；E1,0
∴设DF的解析式y=kx−1，
联立y=kx−1y=−x2+2x+3
消去y得，−x2+2−kx+3+k=0
∴x1+x2=2−k,x1x3=−3−k
∵A(−1,0)，B3,0
设直线AD解析式为y=k1x+1，直线BF的解析式为y=k2x−3
联立y=k1x+1y=k2x−3
解得：x=k1+3k2k2−k1y=4k1k2k2−k1
∴Pk1+3k2k2−k1,4k1k2k2−k1
∵k1=y1x1+1=kx1−1x1+1，k2=y2x2−3=kx2−1x2−3
∴k1k2=k2x1−1x2−1x1+1x2−3，k2−k1=kx2−1x2−3−kx1−1x1+1
∴4k1k2k2−k1=4k2x1−1x2−1x1+1x2−3kx2−1x2−3−kx1−1x1+1=4kx1−1x2−12x1+x2−4
=4kx1x2−x1+x2+12x1+x2−4
=4k−3−k−2+k+122−k−4
=8
而k1+3k2k2−k1=kx1−1x1+1+3kx2−1x2−3kx2−1x2−3−kx1−1x1+1=4x1x2−6x1+2x22x1+x2−4=2x1x2−3x1+x2x1+x2−2不为定值，
∴P在直线y=8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∵直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM,EM的距离是变化的，
∴△ABP的面积为12AB×yP=12×4×8=16是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2a≠0经过点P2，1，直线y=kx+1k≠0与抛物线交于A，B两点(点A在y轴左侧，点B在y轴右侧)，与y轴交于点M．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△AMP与△BMP的面积之比是1:4，求k的值；
(3)若作点P关于y轴的对称点P'，直线AP'与直线BP相交于点Q，试探究：△PP'Q的面积是否为定值？若为定值，请求出△PP'Q的面积；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)y=14x2
(2)k=34
(3)△PP'Q的面积为定值，△PP'Q的面积为4
【分析】本题考查了抛物线方程的求解，直线与抛物线交点的计算，直线与直线交点的计算，联立方程求交点坐标是解题的关键．
（1）根据抛物线y=ax2a≠0经过点P2,1，代入求解即可；
（2）根据△AMP与△BMP的面积之比是1:4，通过线段比例关系和韦达定理求解k的值；
（3）通过点P关于y轴的对称点P'和直线AP'、BP的方程，联立求解交点Q的坐标，可验证纵坐标为定值，即△PP'Q的面积为定值，再求出面积即可．
【详解】（1）解：已知抛物线y=ax2a≠0经过点P2,1，
将点P2,1代入抛物线方程可得：1=a×22，解得a=14，
∴抛物线的函数表达式为y=14x2．
（2）解：若△AMP与△BMP的面积之比是1:4，
则AM:BM=1:4，
∵点A、M、B在同一直线上，
则4xM−xA=xB−xM，即xB=−4xA①，
联立直线y=kx+1与抛物线y=14x2的方程得：14x2=kx+1，
整理得x2−4kx−4=0，
∴xA+xB=4k，xAxB=−4②，
由①②得：xA×−4xA=−4，解得：xA=±1，
∵点A在y轴左侧，
∴xA=−1，
∴−1×xB=−4，即xB=4，
∴−1+4=4k，即k=34．
（3）解：点P关于y轴的对称点P'−2,1，
直线y=kx+1与y轴交于点M，则点M0,1，
设点A、B的坐标分别为：m,14m2、n,14n2，
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：
y=14m+nx−m+14m2，
将点M0,1的坐标代入上式得：
1=14m+n0−m+14m2，
整理得：mn=−4，
由点P、B的坐标得，直线PB的表达式为：
y=14(n+2)(x−2)+1，
同理可得，P'A的表达式为：
y=14m−2x+2+1，
联立上述两式得：
14n+2x−2+1=14m−2x+2+1，
解得：x=2m+2nn−m+4，
∵mn=−4，
则y=14m−22m+2nn−m+4+2+1，
=14×4mn+8m−8n−16n−m+4+1，
=−14×8m−8n−32m−n−4+1=−1，
∴点Q的纵坐标为−1为定值，即△PP'Q的面积为定值，
∵PP'=2−−2=4，Q到PP'的距离为1−−1=2，
∴S△PP'Q=12×4×2=4．
考点二： 面积比值为定值
3．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，点Px1,y1，Qx2,y2是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x2=x1+3，求证S△PDQS△ADC的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
【答案】(1)y=−x2+9
(2)为定值3，证明见解析
(3)374
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线AB的解析式，Px1,−x12+9，则Qx1+3,−x1+32+9，Dx1,−x1+3，表示出PD=x+2−x+3，CD=−x1+3，代入S△PDQS△ADC即可求解；
（3）设Px1,−x12+9，则Q−2x1,−4x12+9，求出直线PQ的解析式，把x=x1−1代入即可求出线段MN长度的最大值．
【详解】（1）∵二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，
∴5=−4+c，
∴c=9，
∴y=−x2+9；
（2）当y=0时，0=−x2+9，
∴x1=−3,x2=3，
∴B3,0，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴−2k+b=53k+b=0，
∴k=−1b=3，
∴y=−x+3，
设Px1,−x12+9，则Qx1+3,−x1+32+9，Dx1,−x1+3，
∴PD=−x12+9−−x1+3=−x12+x1+6=x1+2−x1+3，CD=−x1+3．
∴S△PDQS△ADC=x1+2−x1+3x1+3−x1−x1+3x1+2=3，
∴S△PDQS△ADC的值为定值；
（3）设Px1,−x12+9，则Q−2x1,−4x12+9，
设直线PQ的解析式为y=mx+n，
∴mx1+n=−x12+9−2mx1+n=−4x12+9，
∴m=x1n=−2x12+9，
∴y=x1x−2x12+9，
当x=x1−1时，
y=x1x1−1−2x12+9=−x1+122+374，
∴当x=−12时，线段MN长度的最大值374．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．
4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知抛物线 y=x2+mx+n的图象经过0，−3，2，−3两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 P 作PM⊥x轴于点 M，若满足PM=a（a为常数）的点有且只有三个，求PM的值；
(3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线AP与y轴交于点 C，连接BP．
①如图①，若∠APB=90°，求点 P 的坐标；②如图②，直线BC与抛物线交于点 D，连接AD．请判断S△ACDS△BCP是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)4
(3)①1+3,−1②是定值，定值为19
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）由满足PM=a的点有且只有三个，则PM的值为抛物线顶点到x轴的距离；进而得到y=s2−2x−3=x−12−4的顶点坐标为1，−4，即PM=4；
（3）①先求得A−1，0，B3，0；如图：过点 P作PH⊥x轴于点H，再证明△HAP∽△HPB，进而得到PH2=AH⋅BH；设Pt，t2−2t−3，则t−32t+12=t+13−t解得t=1±3，再根据t>0，解得
t=1+3，即点P的坐标为 1+3,−1；②先运用待定系数法可得y=t−3x+t−3，进而可得C0，t−3；再求得直线BC的解析式为y=3−t3x+t−3，联立y=3−t3x+t−3y=x2−2x−3解得x=3或 x=−t3，进而得到点D 的横坐标为−t3，纵坐标为 −t32−2−t3−3=t29+2t3−3，然后求得S△ACD=AB⋅3t−t218
S△BCP=AB⋅3t−t22，最后代入计算即可解答．
【详解】（1）解：∵抛物线 y=x2+mx+n经过0，−3，2，−3两点，
∴−3=n−3=22+2m+n，解得： m=−2n=−3
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3．
（2）解：∵满足PM=a的点有且只有三个，
∴PM的值为抛物线顶点到x轴的距离，
由（1）得抛物线的解析式为y=x2−2x−3=x−12−4，
∴抛物线的顶点为1，−4，
∴PM=4．
（3）解：①由（1）知 y=x2−2x−3
将y=0代入 y=x2−2x−3中，得：x2−2x−3=0
解得： x1=−1，x2=3
∵点A在点B的左侧，
∴A−1，0，B3，0．
如图：过点 P作PH⊥x轴于点H，
∵∠APB=90°，
∴∠HPB+∠HPA=90°，
∵PH⊥x轴，∠HAP+∠HPA=90°，
∴∠HAP=∠HPB，
∵∠AHP=∠PHB=90°
∴△HAP∽△HPB，
∴AHPH=PHBH，
∴PH2=AH⋅BH
∵点P在第四象限的抛物线y=x2−2x−3上，
∴设Pt，t2−2t−3
∴AH=t−−1=t+1，BH=3−t，PH=−t2−2t−3且均不为0，
∴−t2−2t−32=t+13−t
化简可得t−32t+12=t+13−t
∵P为第四象限内抛物线上一点，
∴t≠3，且t≠−1，
∴t−3t+1=−1，解得：t=1±3
∵点 P在第四象限，
∴t>0，
∴t=1+3
此时 t2−2t−3=1+32−2×1+3−3=−1
∴点P的坐标为 1+3,−1
②S△ACDS△BCP是定值．
设直线AP的解析式为y=kx+bk≠0，
将A−1，0，Pt，t2−2t−3代入y=kx+b中，
可得 0=−k+bt2−2t−3=kt+b，解得： k=t−3b=t−3
∴直线AP的解析式为y=t−3x+t−3，
将x=0代入y=t−3x+t−3中，得y=t−3，
∴C0，t−3．
设直线BC的解析式为y=px+qp≠0，
将B3，0，C0，t−3代入y=px+q中，
可得 0=3p+qt−3=q，解得 p=3−t3q=t−3
∴直线BC的解析式为y=3−t3x+t−3
联立 y=3−t3x+t−3y=x2−2x−3，解得：x=3或 x=−t3
∴点D 的横坐标为−t3，纵坐标为 −t32−2−t3−3=t29+2t3−3
∴S△ACD=S△ABD−S△ABC=12AB·（yC−yD）=12ABt−3−t29+2t3−3=AB⋅3t−t218
S△BCP=S△ABP−S△ABC=12AB·（yC−yP）=12ABt−3−t2−2t−3=AB⋅3t−t22
∴S△ACDS△BCP=AB⋅3t−t218AB⋅3t−t22=19．
∴S△ACDS△BCP的值是定值，定值为19．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质、求一次函数解析式、求抛物线与坐标轴的交点、求抛物线与直线的交点、利用坐标求三角形的面积等知识点，灵活运用相关知识并掌握数形结合思想成为解题的关键．
5．（2025·江苏无锡·一模）已知，拋物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，点P是拋物线上的任意一点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于第二象限时，过P点作直线AP、BP分别交y轴于E、F两点，请问S△PECS△PCF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
(3)过点P作PQ⊥y轴于点Q，点G为y轴上的一点，纵坐标为−m，以GQ、PQ为邻边构造矩形PQGH，当抛物线在矩形PQGH内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)S△PECS△PCF的值为定值，是13．
(3)m0时，则−m0，x2>0，x0>0，OM'=x1，ON'=x2，OP'=x0，
联立y=−x2+2x+3y=kx+4，得x2+k−2x+1=0，
∴x1+x2=−k−2=2−k，x1x2=1，
∴1OM'+1ON'=1x1+1x2=x1+x2x1x2=2−k，
联立y=2xy=kx+4，得k−2x+4=0，
∴k−2x0+4=0，解得x0=42−k，
∴mOP'=mx0=m2−k4，
∵1OM'+1ON'=mOP'，
∴2−k=m2−k4，
∵k2≠0，
∴m4=1，
解得m=4．
（3）解：如图，过点C作y轴的垂线，交DH于点Q，连接CH，
∵B3,0,C0,3，
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠2+∠BCH=45°，∠1+∠DCG+∠BCG=135°，
由旋转的性质得：∠DCG=90°，CD=CG，
∴∠1+∠BCG=45°，
由轴对称的性质得：BC垂直平分GH，
∴CH=CG，BC⊥GH，
∴∠BCH=∠BCG（等腰三角形的三线合一），
∴∠1=∠2，
∵CQ⊥y轴，
∴∠DCQ+∠1=∠HCQ+∠2=90°，
∴∠DCQ=∠HCQ，
又∵CD=CG，CH=CG，
∴CD=CH，
∴DH=2HQ，CQ⊥DH（等腰三角形的三线合一），
∴DH∥OC，
∴∠CHD=∠2，
∴∠CED=∠CHD+∠BCH=∠2+∠BCH=45°，
∴∠ECQ=∠CED=45°，∠EHF=∠HEF=∠CED=45°，
∴CQ=EQ，EF=HF，
设CQ=EQ=aa>0，EF=HF=nn>0，
∴CE=CQ2+EQ2=2a，EH=EF2+HF2=2n，
∴CF=CE+EF=2a+n，HQ=EQ+EH=a+2n，
∴DE=DH−EH=2HQ−EH=2a+2n−2n=2a+2n，
∴CFDE=2a+n2a+2n=2a+n22a+n=22，
综上，∠CED，CFDE都是定值，∠CED=45°，CFDE=22．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等腰三角形，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题关键．
35．（2025·四川泸州·三模）已知反比例函数y=12x，及两定点F11,1，F2−1,−1．
(1)设M是反比例函数图像上任意一点，请证明MF1−MF2为一定值，并求出该定值．
(2)设直线l与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点P1，P2．
（2.1）若直线l经过点F1，求出线段P1P2长度的最小值，以及此时直线l的斜率．
（2.2）若l与y轴交于点A，与x轴交于点B，请证明S△OAP2−S△OBP1为一定值，并求出该定值．
【答案】(1)证明见解析，MF1−MF2=2
(2)（2.1）线段P1P2长度的最小值为2，k=−1；（2.2）S△OAP2−S△OBP1=0固定不变
【分析】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一元二次方程根与系数关系，二次根式的混合运算；
（1）设Mm,12m，根据距离公式表示出MF1、MF2，再求出MF12+MF22=2m2+14m2+2，MF1⋅MF2=m2+14m2，最后根据MF1−MF22=MF12+MF22−2MF1⋅MF2=4计算即可；
（2）（2.1）设直线l解析式为y=kx+1−k，与反比例函数解析式联立整理得到2kx2+21−kx−1=0，x1+x2=k−1k，x1⋅x2=−12k，然后根据P1P2=k2+1x1−x22=k+1k求最小值即可；
（2.2）设直线l解析式为y=kx+b，与反比例函数解析式联立整理得到2kx2+2bx−1=0，得到x1+x2=−bk，再求出OA=b，OB=−bk，最后表示出S△OAP2−S△OBP1=12x2⋅OA−12kx1+b⋅OB，整理后代入计算即可．
【详解】（1）证明：∵M是反比例函数y=12x图像上任意一点，
∴设Mm,12m，
∵F11,1，F2−1,−1，
∴MF1=m−12+12m−12=m2+14m2+2−2m−1m，MF2=m+12+12m+12=m2+14m2+2+2m+1m，
∴MF12+MF22=m2+14m2+2−2m−1m+m2+14m2+2+2m+1m=2m2+14m2+2，
MF1⋅MF2=m2+14m2+2−2m−1m⋅m2+14m2+2+2m+1m
=m2+14m2+22−2m+1m2
=m4+116m4+12
=m2+14m22
=m2+14m2，
∴MF1−MF22=MF12+MF22−2MF1⋅MF2=2m2+14m2+2−2m2+14m2=4，
∴MF1−MF2=MF1−MF22=2固定不变；
（2）解：（2.1）设直线l解析式为y=kx+b，P1x1,kx1+b，P2x2,kx2+b，
∵直线l经过点F11,1，
∴1=k+b，解得b=1−k，
∴y=kx+1−k，
联立y=kx+1−ky=12x整理得，2kx2+21−kx−1=0，
∴x1+x2=k−1k，x1⋅x2=−12k，
∴x1−x22=x1+x22−4x1x2=k−1k2+2k=k2+1k2，
∵P1x1,kx1+b，P2x2,kx2+b，
∴P1P2=x1−x22+kx1−kx22=k2+1x1−x22=k2+12k2=k2+1k=k+1k，
∵k+1k=k2+1k2=k2−2k⋅1k+1k2+2=k−1k2+2≥2，
∴当k=1k时，k+1k=2最小，此时k=±1，即线段P1P2=k+1k长度的最小值为2，
∵直线l与反比例函数图像在第一象限的部分交于两点P1，P2，
∴1−k>0，
∴k