中考数学一轮复习考点（精讲精练）复习专题09 二次函数（2份打包，原卷版+教师版）

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知识精讲
考点1：二次函数的图象和性质
1．二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。
2．函数图象和性质
【例1】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图，已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为常数， SKIPIF 1 < 0 ）经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，有下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④无论 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取何值，抛物线一定经过 SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
方法技巧
抛物线y=ax2+bx+c中a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 SKIPIF 1 < 0 ，故：①b=0时，对称轴为y轴；② SKIPIF 1 < 0 >0（即a,b同号）
时，对称轴在y轴左侧；③ SKIPIF 1 < 0 <0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
【注意问题】
（1）二次函数的图象与系数的关系;
（2）会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换.
针对训练
1．若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一个坐标系内的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3．二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点2：二次函数的平移
1．抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
（1）二者的形状相同，位置不同，y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的，平移后的顶点坐标为(h,k).
（2）y=ax2的图象
右左
上下
y=a(x-h)2的图象
y=a(x-h)2+k的图象.
口诀：上加下减，左加右减

【例3】把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式（ ）
A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3
方法技巧
图像平移规律：由函数y=ax2平移得到y=a(x-h)2+k满足“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”，概括成八个字，即：“左加右减，上加下减”.
针对训练
1．将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变
2．将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物
线的解析式是（ ）
A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4
C．y＝2x2D．y＝2x2+4
3．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（ ）
A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3
考点3：二次函数与方程、不等式的关系
1．二次函数与一元二次方程的关系
二次函数图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当图象与x轴有交点时，令y=0，解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标。
2．二次函数与不等式的关系
设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点,其中x10的解集为x>x2或x
【例4】已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 均是以 SKIPIF 1 < 0 为自变量的函数，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数值分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，若存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则称函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 ．以下函数 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 具有性质 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【例5】如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
方法技巧
一元二次方程和二次函数的区别与联系
（1）求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点和一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间的关系:
Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.
①Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
②Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
③Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
（3）二次函数的交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）.
针对训练
1．已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．1个或2个
2．已知函数，则下列说法不正确的个数是（ ）
①若该函数图像与轴只有一个交点，则
②方程至少有一个整数根
③若，则的函数值都是负数
④不存在实数，使得对任意实数都成立
A．0B．1C．2D．3
3．若一元二次方程（b，c为常数）的两根满足，则符合条件的一个方程为_____．
考点4：求二次函数的解析式
1．二次函数的解析式的确定：
要确定二次函数的解析式，就是要确定解析式中的待定系数(常数)。
（1）当已知抛物线上任意三点时,通常将函数的解析式设为一般式；y=ax2+bx+c(a≠0);
（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常将函数的解析式设为顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x1)(x-x2)］.

【例6】下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
下列各选项中，正确的是（ ）
A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6 D．当 SKIPIF 1 < 0 时，y的值随x值的增大而增大
方法技巧
根据已知条件确定二次函数的解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：
（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（y=ax2+bx+c）.
（2）已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式［y=a（x-h）2+k］.
（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式［y=a(x-x1)(x-x2)］.
（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
【方法解说】（1）若二次公数的图家经过三个已知点可没函数解析式为一般式，即y=ax2+bx+c；
（2）若知抛物线的顶点坐标，可出数解析式为顶点式，即y=a(x-h)2+k(a≠0)，再根据抛物线与y轴的交点求出a的值；
（3）若抛物线与x轴的两个交点的坐标为(x1,0)和(x2,0)，可没函数解析式为交点式，即y=a(x-x1)(x-x2)，再根据抛物线与y轴的交点坐标求出a的值
针对训练
1．请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．
2．在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（ ）
A．B．C．D．
3．把抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．
考点5：二次函数的最值

【例7】我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．B．4C．D．5
针对训练
1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为 min．
2．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为 ．
3．小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．
（1）小丽出发时，小明离A地的距离为 m．
（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
考点6：二次函数的应用

【例8】公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s） 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）当甲车减速至9m/s时，它行驶的路程是多少？
（2）若乙车以10m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
针对训练
1．有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
2．在“乡村振兴”行动中，某村办企业以，两种农作物为原料开发了一种有机产品，原料的单价是原料单价的1.5倍，若用900元收购原料会比用900元收购原料少．生产该产品每盒需要原料和原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．
（1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；
（2）设每盒产品的售价是元（是整数），每天的利润是元，求关于的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）若每盒产品的售价不超过元（是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．
专题09 二次函数
考点1：二次函数的图象和性质
1．二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数
的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（ ）
A．y1＝﹣y2B．y1＞y2
C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定
2．二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C．D．
3．如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
4．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上．
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点 SKIPIF 1 < 0 在该抛物线上．若 SKIPIF 1 < 0 ，比较 SKIPIF 1 < 0 的大小，并说明理由．
考点2：二次函数的平移
5．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或2B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
6．抛物线的函数表达式为 SKIPIF 1 < 0 ，若将 SKIPIF 1 < 0 轴向上平移2个单位长度，将 SKIPIF 1 < 0 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
考点3：二次函数与方程、不等式的关系
7．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是常数， SKIPIF 1 < 0 ）经过点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，与其对应的函数值 SKIPIF 1 < 0 ．有下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；②关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等的实数根；③ SKIPIF 1 < 0 ．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．已知二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点4：求二次函数的解析式
9．如图，二次函数 SKIPIF 1 < 0 （a为常数）的图象的对称轴为直线．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
考点5：二次函数的最值
10．定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
11．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____．
12．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________．
13．已知二次函数的图像经过两点．
（1）求b的值．
（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．
考点6：二次函数的应用
14．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
15．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
16．红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？
（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
①当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸.
②对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标是 SKIPIF 1 < 0 .
③在对称轴的左侧,即当x< SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x> SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大，简记为左减右增.
④抛物线有最低点，当x= SKIPIF 1 < 0 时，y有最小值，y最小值= SKIPIF 1 < 0 .
①当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸.
②对称轴是 SKIPIF 1 < 0 ，顶点坐标是 SKIPIF 1 < 0 .
③在对称轴的左侧，即当x< SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x> SKIPIF 1 < 0 时，y随x的增大而减小，简记为左增右减.
④抛物线有最高点，当x= SKIPIF 1 < 0 时，y有最大值，y最大值= SKIPIF 1 < 0 .
Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0的根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0
两个不相等的实数根
两个交点
Δ=0
两个相等的实数根
一个交点
Δ<0
无实数根
无交点
SKIPIF 1 < 0
…
-2
0
1
3
…
SKIPIF 1 < 0
…
6
-4
-6
-4
…