四川省仁寿第一中学（北校区）2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省仁寿第一中学（北校区）2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. 4D. 8
2. 某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ）
A. 40人B. 36人C. 30人D. 24人
3. 已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
4. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知一组数据，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别为（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
6. 函数的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
7. 四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（ ）
A. B. C. D.
8. 在正四棱锥中，，当过，，三点的球的体积最小时，该球被平面所截截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 有6个相同的球，分别编号1、2、3、4、5、6，从中先不放回的随机取两次，再将球全部放回随机取一次，以上每次抽取一个小球，记事件A：第一次取球编号数字小于3；B：第二次取球编号数字为偶数；C：第三次取球编号为6；D：前两次取球编号数字和为7；E：第一、三次取球编号数字至少有一个1.则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件A与事件C相互独立
C. 事件A与事件E相互独立D. 事件A与事件B相互独立
10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标，记为.在该坐标系中，，，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11. 如图，在边长为2的正方形中，点E，F分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使A，B，C三点重合于点，得到三棱锥，下列关于该三棱锥的说法正确的有（ ）
A.
B. 点到平面的距离为
C. 三棱锥的外接球的体积为
D. 点G，H分别是，上的动点，则周长的最小值为
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.将答案直接填在答题卷相应的横线上.
12. 某市在2025高考模拟测试评卷中，实行双评加抽样三评的评卷方法.已知收到有效的数学答卷为5万份，有效的物理答卷为3万份，有效的化学答卷为2.5万份.若双评后利用分层抽样的方法抽取210份样卷进行三评，则应抽取数学样卷的份数为______.
13. 定义：向量叫向量与的外积，且的模为（其中表示向量与的夹角）．已知点，则_________．
14. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分.如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD的棱长为4，则该勒洛四面体内切球的半径是______.
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设复数.
（1）若是实数，求m的值；
（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数.
16. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）．
（1）求选取的市民年龄在内的人数及a的值；
（2）利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数；
（3）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．
17. 已知向量，若，与的夹角为．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值．
18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围；
（3）设的面积为，边上的中线长为2，求的长．
19. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，M是PB的中点.

（1）证明：平面；
（2）判断直线CM与平面的位置关系，并证明你的结论；