2025--2026学年四川省仁寿第一中学校（北校区）高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川省仁寿第一中学校（北校区）高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了 已知角的终边过点，则， 如图，已知，则， 已知，则， 已知，，若，则， 已知函数， 下面的命题正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，，若，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A. 正三角形B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形
8. 已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选）
A. B.
C. D.
10. 下面的命题正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 方向相反的两个非零向量一定共线
C. 若满足且与同向，则
D. “若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 在区间上单调递增
D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，若∥，则___________．
13. 已知是第二象限角，且，则___________．
14. 如图，三个相同的正方形相接，则______．
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求
16. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
17. 已知向量，.
（1）设向量、的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
18. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
（1）证明：
（2）应用上面的公式解决下列问题：已知，求的值；
19. “星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系：
（1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式；
（2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处
（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？
（ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.
数学
分值：150分
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程.
2. 已知角的终边过点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由角θ的终边过点，得，
所以.
3. 如图，正方形和正方形有公共边，与向量相等的向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题可知，，且，
四边形为平行四边形，
则与向量相等的向量为．
4. 如图，已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据向量的线性运算可求的表示形式.
解答过程：因为，故，
故，
故选：A.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用二倍角的余弦公式，即可求解.
解答过程：由，得．
6. 已知，，若，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：D
解析：
解答过程：
解得.
7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为( )
A. 正三角形B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形D. 等腰三角形
答案：C
解析：
思路：利用三角恒等变换化简已知条件可得B，故可判断三角形形状.
解答过程：由知，，
∴＝，
，，
，
∴，
∵在△ABC中，，
∴，
∵，∴，
即△ABC为直角三角形．
故选：C．
8. 已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用整体换元法，结合余弦函数的性质即可求解.
解答过程：函数．
当时，令，则，
若在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则在有且仅有3个零点和3条对称轴，
则，解得.
故选：A．

二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）
9. 下列各组向量中，能作为它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）（多选）
A. B.
C. D.
答案：AC
解析：
解答过程：选项A，设（为实数），则，
，则无解，所以不共线，
所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故A正确；
选项B，因为，所以共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故B不正确；
选项C，设（为实数），则，
，则无解，所以不共线，
所以能作为它们所在平面内所有向量的基底，故C正确；
选项D，是零向量，与任何向量都共线，
所以不能作为它们所在平面内所有向量的基底，故D不正确.
10. 下面的命题正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 方向相反的两个非零向量一定共线
C. 若满足且与同向，则
D. “若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
答案：BD
解析：
思路：根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
解答过程：对于A，若，不一定平行，故A错；
对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，
故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可得，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确
故选：BD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于对称
C. 在区间上单调递增
D. 由函数图象向右平移个单位可得到函数的图象
答案：ABC
解析：
解答过程：对于A，的最小正周期，故A正确;
对于B，对于函数，令，解得
当时，
的图象关于对称，故B正确;
对于C，对于函数，令，解得，
当时，，即的单调递增区间为
又区间是的子区间，在区间上单调递增，故C正确;
对于D，函数图象向右平移个单位，得到，故D错误;
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知向量，，若∥，则___________．
答案：##
解析：
解答过程：已知，，∥，得，解得.
13. 已知是第二象限角，且，则___________．
答案：
解析：
解答过程：由，得，
而是第二象限角，则，，
所以.
14. 如图，三个相同的正方形相接，则______．
答案：##
解析：
思路：依题意可得，，再利用两角和的正切公式求出，即可得解.
解答过程：由图可得，，
所以
而，均为锐角，即，
所以．
故答案：
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为.
（1）求；
（2）求
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据数量积的定义求解；
（2）根据数量积的运算法则求解，进而得到.
（1）.
（2）因为，
所以.
16. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
答案：（1）
（2）最小值为，最大值为
解析：
思路：（1）首先利用三角函数的二倍角公式和和差倍角的正弦公式化简函数的解析式，从而得到其最小正周期.
（2）根据的取值范围和正弦函数的性质可求得函数的最大值和最小值.
（1）.
.
（2）∵，.
则当时，即时，取得最小值；
当时，即时，取得最大值.
17. 已知向量，.
（1）设向量、的夹角为，求的值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用平面向量夹角公式求解即可；
（2）由已知条件可得，结合平面向量数量积的运算性质可得出关于的等式，解之即可.
（1）因为向量，，则，
，，
故.
（2）依题意，，解得.
18. 学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：
（1）证明：
（2）应用上面的公式解决下列问题：已知，求的值；
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）结合两角和与差的余弦公式即可证明；
（2）结合（1）所证式子，再利用倍角公式即可求解；
（1）根据余弦和角、差角公式
， ，
将两式相加得 ，
整理得.
（2）对 套用（1）中公式： 令 ，
则，
由题知，故，即 ，
即 ，化简得 ，即： .
19. “星空摩天轮”是某游乐园的标志性观光设施，游客乘坐座舱沿圆形轮盘圆心O匀速转动，可俯瞰城市全景.该设施的轮盘最高点距离地面100m，轮盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在距离地面最近的位置进入座舱，转一周需要20min.以轮盘圆心为原点，与地面平行的直线为轴，上下方向的直线为轴建立平面直角坐标系：
（1）游客甲坐上座舱后，转动时距离地面的高度为（单位：m)，求转动过程中关于的函数解析式；
（2）若游客甲在最低点进入座舱时，游客乙恰好位于x轴负半轴与轮盘的交点A处
（i）转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是多少？
（ii）当座舱距离地面高度不低于m时，可清晰地看到城市的“灯光秀”这段时间称为“观秀时段”，求游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.
答案：（1），；
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）根据题意设，，再结合题意求解对应的参数即可得答案；
（2）（i）结合（1）考虑游客乙的初始位置得游客乙距离地面的高度关于的关系为，，再解方程即可得答案；
（ii）结合题意，解不等式得，进而求时间差即可得答案.
（1）根据题意，设关于的函数解析式为，
由题知，轮盘最高点距地面100m，直径90m，最低点距离地面为10m，
时，游客甲从最低点逆时针匀速转动，即时，
周期，
所以，解得，
，解得，
所以，当，，即，解得，
所以，，整理得，；
所以，关于的函数解析式为：，
（2）（i）由（1）知，游客乙距离地面的高度与时间的关系为：，
考虑游客乙的初始位置，当时，游客乙距离地面的高度为55m，且开始后高度降低，
故，即，解得，
即游客乙距离地面的高度关于的关系为，，
即，
所以，时刻时，游客乙距离地面的距离为；
游客甲距离地面的距离为
所以，即，
所以，首次相等对应最小正解,即，即
所以，转动过程中，两人首次距离地面高度相等的时间是.
（ii）由题，，即，
所以，解得，时间间隔为：，
所以游客甲在转动一周过程中，位于“观秀时段”的时长.