2026-2027学年人教版九年级数学上册期中学情检测试卷（含答案）

这是一份2026-2027学年人教版九年级数学上册期中学情检测试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，﹣81，0B．4，0，81C．4，0，﹣81D．﹣4，0，﹣81
2．有下列函数：①y=πx；②y=−3x；③y=52x；④xy＝﹣2；⑤y=2x−1；⑥y=1x−3，y是x的反比例函数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
4．关于反比例函数y=4x，下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点
D．若点（a，b）在该函数图象上，则点（﹣a，﹣b）也在该函数图象上
5．有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感．
A．7B．8C．448D．512
6．将抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x+1，则b﹣c＝（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
7．若关于x的方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣1
8．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2026（a＜0）上的三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
9．函数y＝ax2+bx（ab≠0）和y=abx(ab≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣3或x≥1﹣t．若P（m，4）在该图象上，则m的取值可以为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若抛物线y＝x2﹣4x+k与坐标轴只有两个交点，则k＝ ．
12．若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 ．
13．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 m．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y=2x（x＞0），y=kx（x＜0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ．
15．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数y＝x2﹣3x+c在﹣1＜x＜4的图象上只存在一个“纵两倍点”，则c的取值范围是 ．
16．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（﹣1，0），下列结论：
①b＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
④m为任意实数，若c＝3a，则代数式am2+bm+c的最小值是﹣a．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x+1＝4； （2）3x2﹣6x+1＝0．
18．（8分）如图，抛物线y1=−x2+2x+3与x轴一个交点为A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2＝﹣x+3．
（1）抛物线与x轴另一个交点坐标为 ；
（2）当y1≥0时，x的取值范围是 ；
（3）当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是 ；
（4）当y1＜y2时，x的取值范围是 ．
19．（8分）某商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，国庆期间，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，
（1）降价后，每天的销售量是 千克，日盈利为 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，为降低库存，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
20．（8分）已知关于x的方程：x2﹣（6+k）x+9+3k＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰是斜边为5的直角三角形的两直角边长，求k的值．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）点P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积．
22．（10分）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度y（℃）与退火时间x（s）之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分．
（1）已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式；
（2）当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在50℃及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？
23．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S，用t表示S，并求S的最大值．
24．（12分）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人“是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点A的坐标为（0，8），OC＝11.4m，CE＝2.1m，EF=725m，∠FEC＝135°，AB＝1m．
（1）当抛物线过点B，且与y轴交于点H（0，6）时，点F的坐标为 ，抛物线的解析式为 ；
（2）在（1）的条件下，若点N的坐标为(8，72)，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为y＝ax2﹣8ax+c，若抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出a的取值范围．答案解析
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（3分）一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．4，﹣81，0B．4，0，81C．4，0，﹣81D．﹣4，0，﹣81
【分析】先把方程化为一般形式，再根据一元二次方程一般式解答即可．
【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）＝72，
整理，得4x2﹣81＝0，
故方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数是4、一次项系数是0、常数项是﹣81，
故选：C．
2．（3分）有下列函数：①y=πx；②y=−3x；③y=52x；④xy＝﹣2；⑤y=2x−1；⑥y=1x−3，y是x的反比例函数的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据反比例函数的定义逐一分析各函数即可．
【解答】解：①y=πx，符合y=kx（k＝π≠0），是反比例函数；
②y=−3x，是正比例函数，不是反比例函数；
③y=52x=52x，符合y=kx（k=52≠0），是反比例函数；
④xy＝﹣2可变形为y=−2x，符合y=kx（k＝﹣2≠0），是反比例函数；
⑤y=2x−1，分母为x﹣1不是x，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
⑥y=1x−3，不是y=kx的形式，不是反比例函数；
∴是反比例函数的有①③④，共3个．
故选：B．
3．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（ ）
A．1B．﹣1C．4D．﹣4
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【解答】解：∵x2﹣6x+5＝0，
∴x2﹣6x＝﹣5，
∴x2﹣6x+9＝﹣5+9，
∴（x﹣3）2＝4，
∵（x+a）2＝b，
∴a＝﹣3，b＝4，
则a+b＝﹣3+4＝1，
故选：A．
4．（3分）关于反比例函数y=4x，下列说法不正确的是（ ）
A．图象位于第一、三象限
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．图象与坐标轴无交点
D．若点（a，b）在该函数图象上，则点（﹣a，﹣b）也在该函数图象上
【分析】根据反比例函数图象的性质判断即可．
【解答】解：由k＝4＞0可知反比例函数图象位于第一、三象限，
∴A选项是正确的，不符合题意；
根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点，
∴C选项是正确的，不符合题意；
对于B：当x＞0时，y=4x，
∵x增大，y减小，
∴y随x的增大而减小，故B是错误的，符合题意；
对于D：若点（a，b）在图象上，则b=4a，代入点（﹣a，﹣b），有−b=4−a，
∴b=4a，成立，故D是正确的，不符合题意．
故选：B．
5．（3分）有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感．
A．7B．8C．448D．512
【分析】由每轮传染中平均一人传染了x人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患流感”，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值代入64（1+x）中，即可求出结论．
【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x人，
∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
整理得：（x+1）2＝64，
解得：x1＝7，x2＝﹣9 （不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了7人，
∴经过三轮传染后患流感的人数为64（1+x）＝64×（1+7）＝512．
故选：D．
6．（3分）将抛物线y＝x2+bx+c的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y＝x2﹣2x+1，则b﹣c＝（ ）
A．﹣2B．2C．4D．6
【分析】由所得抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可知新抛物线顶点坐标为（1，0），根据平移规律可推出原抛物线顶点坐标为（﹣1，3），利用顶点式写出原抛物线解析式，展开可求b﹣c的值．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴所得函数图象的顶点坐标为（1，0），
由平移规律可知，原抛物线顶点坐标为（﹣1，3），
∴原抛物线解析式为y＝（x+1）2+3＝x2+2x+4，
∴b＝2，c＝4，
∴b﹣c＝﹣2．
故选：A．
7．（3分）若关于x的方程kx2−3x−94=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＝0B．k≥﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k＞﹣1
【分析】先对k是否为零进行分类讨论，再结合一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：当k＝0时，
此时方程为﹣3x−94=0，
该方程有实数根，
所以k＝0满足题意．
当k≠0时，
Δ＝（﹣3）2﹣4k×（−94）≥0，
解得k≥﹣1，
综上所述，k的取值范围是k≥﹣1．
故选：C．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+2026（a＜0）上的三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1
【分析】由a＜0，利用二次函数的性质，可得出抛物线y＝ax2﹣2ax+2026的开口向下及对称轴为直线x＝1，求出各点到对称轴的距离，比较后，即可得出结论．
【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+2023的开口向下，对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax+2023的图象上，且|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，|4﹣1|＝3，1＜2＜3，
∴y2＞y1＞y3．
故选：C．
9．（3分）函数y＝ax2+bx（ab≠0）和y=abx(ab≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据二次函数图象确定a、b值，再根据a、b值确定反比例函数的图象即可判断出正误．
【解答】解：A、函数y＝ax2+bx图象可知，a＞0，b＜0，此时反比例函数y=abx(ab≠0)图象应在第二、四象限，故不符合题意；
B、函数y＝ax2+bx图象可知，a＞0，b＞0，此时反比例函数y=abx(ab≠0)图象应在第一、三象限，故不符合题意；
C、函数y＝ax2+bx图象可知，a＜0，b＜0，此时反比例函数y=abx(ab≠0)图象应在第一、三象限，故符合题意；
D、函数y＝ax2+bx图象可知，a＜0，b＜0，此时反比例函数y=abx(ab≠0)图象应在第一、三象限，故不符合题意；
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0），当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣3或x≥1﹣t．若P（m，4）在该图象上，则m的取值可以为（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】依据题意，由当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣3或x≥1﹣t，可得，a＞0抛物线对称轴为直线x＝﹣1，从而可得b＝2a，将P（m，4）代入解析式，得出a=4m2+2m，根据函数最小值为﹣a，结合y≥﹣1，得出a≥1进而求解．
【解答】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣3或x≥1﹣t，
∴（t﹣3，﹣1），（1﹣t，﹣1）为抛物线上的点，a＞0，
∴抛物线对称轴为直线x=t−3+1−t2=−1．
∴−b2a=−1，
∴b＝2a，
∴y＝ax2+2ax＝a（x+1）2﹣a，
当x＝﹣1时，y＝﹣a，
∵﹣a≤﹣1，
∴a≥1，
将P（m，4）代入解析式y＝ax2+2ax，
∴4＝am2+2am，
解得：a=4m2+2m，
∵a≥1．
∴4m2+2m≥1，
∴−5−1≤m＜−2或0＜m≤5−1．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）若抛物线y＝x2﹣4x+k与坐标轴只有两个交点，则k＝ 4或0 ．
【分析】结合题意抛物线y＝x2﹣4x+k与x轴只有一个交点，得出Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，解出k＝4，即可作答．
【解答】解：由题意可得：当x＝0时，y＝k，
当k≠0时，则方程x2﹣4x+k＝0，有2个相等实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×k＝0，
解得k＝4．
当k＝0时，抛物线过原点，符合题意，
综上所述，k＝4或0．
故答案为：4或0．
12．（3分）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α3+8β+1的值为 25 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合“α，β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根”，得到α+β＝2，α2＝2α+4，代入α3+8β+1，经过整理变化，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：α+β＝2，α2＝2α+4，
α3+8β+1
＝α•α2+8β+1
＝α（2α+4）+8β+1
＝2α2+4α+8β+1
＝4α+8+4α+8β+1
＝8α+8β+9
＝8（α+β）+9
＝16+9
＝25．
故答案为：25．
13．（3分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 45 m．
【分析】根据二次函数的解析式找出其顶点式，再利用二次函数的性质求出s的最大值即可得出结论．
【解答】解：∵s＝﹣5t2+30t＝﹣5（t﹣3）2+45，
∴汽车刹车后到停下来前进了45m，
故答案为：45．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC∥x轴，分别交y=2x（x＞0），y=kx（x＜0）的图象于B，C两点，若△ABC的面积是3，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB＝S△OCB，再利用反比例函数系数k的几何意义得到12•|2|+12•|k|＝3，然后解关于k的绝对值方程可得到满足条件的k的值．
【解答】解：连接OC、OB，如图，
∵BC∥x轴，
∴S△ACB＝S△OCB，
而S△OCB=12•|2|+12•|k|，
∴12•|2|+12•|k|＝3，
而k＜0，
∴k＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．（3分）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的两倍，则称这个点为“纵两倍点”．若二次函数y＝x2﹣3x+c在﹣1＜x＜4的图象上只存在一个“纵两倍点”，则c的取值范围是 ﹣6＜c≤4或c=254 ．
【分析】设（x，x2﹣3x+c）是二次函数图象上的任意一点，将x2﹣3x+c＝2x化为x2﹣5x＝﹣c，问题转化为二次函数y＝x2﹣5x与直线y＝﹣c在﹣1＜x＜4上只有一个交点，数形结合即可解答．
【解答】解：设（x，x2﹣3x+c）是二次函数图象上的任意一点，
∵二次函数y＝x2﹣3x+c在﹣1＜x＜4的图象上只存在一个“纵两倍点”，
∴方程x2﹣3x+c＝2x在﹣1＜x＜4上只有一个解，
x2﹣3x+c＝2x化为x2﹣5x＝﹣c，
即二次函数y＝x2﹣5x与直线y＝﹣c在﹣1＜x＜4上只有一个交点，
如图：
由图可知﹣4≤﹣c＜6或−c=−254，
∴﹣6＜c≤4或c=254，
故答案为：﹣6＜c≤4或c=254．
16．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（﹣1，0），下列结论：
①b＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根；
③当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；
④m为任意实数，若c＝3a，则代数式am2+bm+c的最小值是﹣a．
其中正确的是 ①②④ （填写序号）．
【分析】利用待定系数法，抛物线与x轴的交点的性质，二次函数的图象与性质对每个结论进行逐一判断，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴b＝a+c，
∵a，b，c是常数，0＜a＜c，
∴b＞0．
∴①的结论正确；
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
∵b＝a+c，
∴ax2+（a+c）x+c＝0．
∵Δ＝（a+c）2﹣4ac
＝a2+2ac+c2﹣4ac
＝a2﹣2ac+c2
＝（a﹣c）2，
又∵c＞a＞0，
∴Δ＞0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
∴②的结论正确；
∵c＞a＞0，b＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧，抛物线与y轴交于y轴的正半轴，
∴当点（﹣1，0）在对称轴的左侧时，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
当点（﹣1，0）在对称轴的右侧时，当x＜﹣1时，y随x的变化而变化是不确定的．
∴③的说法不正确；
∵b＝a+c，c＝3a，
∴b＝4a．
∴代数式am2+bm+c
＝am2+4am+3a
＝a（m+2）2﹣a，
∵a＞0，
∴当m＝﹣2时，代数式am2+bm+c有最小值为﹣a．
∴④说法正确．
综上，正确的是：①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）解方程：
（1）x2+2x+1＝4；
（2）3x2﹣6x+1＝0．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4．
∴x+1＝±2．
∴x1＝1，x2＝﹣3．
（2）3x2﹣6x+1＝0．
x2﹣2x=−13，
x2﹣2x+1=−13+1，即（x﹣1）2=23．
∴x﹣1＝±63．
∴x1＝1+63，x2＝1−63．
18．（8分）如图，抛物线y1=−x2+2x+3与x轴一个交点为A，与y轴交于点B，直线AB的解析式为y2＝﹣x+3．
（1）抛物线与x轴另一个交点坐标为 （﹣1，0） ；
（2）当y1≥0时，x的取值范围是 ﹣1≤x≤3 ；
（3）当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是 ﹣5＜y1≤4 ；
（4）当y1＜y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3 ．
【分析】（1）根据图象可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），则与x轴另一个交点（﹣1，0）；
（2）根据图象即可求解；
（3）根据图象可知，当x＝1时，y1有最大值4，当x＝﹣2时，y1有最小值﹣（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，从而可得y1的取值范围；
（4）根据图象即可求解．
【解答】解：（1）根据图象可知，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴一个交点A（3，0），
∴与x轴另一个交点（﹣1，0），
故答案为：（﹣1，0）；
（2）根据图象可知，当y1≥0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3，
故答案为：﹣1≤x≤3；
（3）根据图象可知，当x＝1时，y1有最大值y1=−x2+2x+3=−1+2+3＝4，
当x＝﹣2时，y1有最小值为y1=−x2+2x+3=−（﹣2）2+2×（﹣2）+3＝﹣5，
∴当﹣2＜x＜2时，y1的取值范围是﹣5＜y1≤4，
故答案为：﹣5＜y1≤4；
（4）根据图象可知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜0或x＞3，
故答案为：x＜0或x＞3．
19．（8分）某商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，国庆期间，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设该商品每件降价x元，
（1）降价后，每天的销售量是 （30+2x） 千克，日盈利为 1500+70x﹣2x2 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述销售正常情况下，为降低库存，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量件数，再根据原来每件盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额，根据“盈利＝单件利润×销售数量”，进而求得日盈利；
（2）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【解答】解：（1）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，则每天的销售量是（30+2x）件，每件商品盈利（50﹣x）元．
∴日盈利为（50﹣x）（30+2x）＝（1500+70x﹣2x2） 元，
故答案为：（30+2x），500+70x﹣2x2．
（2）根据题意列一元二次方程得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵尽快减少库，
∴x＝25，
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
20．（8分）已知关于x的方程：x2﹣（6+k）x+9+3k＝0．
（1）求证：无论k为何值，方程都有实数根．
（2）若该方程的两个实数根恰是斜边为5的直角三角形的两直角边长，求k的值．
【分析】（1）求出根的判别式，再根据非负数的性质即可证明；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可求得方程两根的和与两根的积，两根的平方和可以用两根的和与两根的积表示，即可得到一个关于k的方程，求得k的值．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣（6+k）x+9+3k＝0的判别式Δ＝（6+k）2﹣4（9+3k）＝k2≥0，
∴无论k为何值方程都有两个实数根；
（2）解：∵直角三角形的两直角边AB、AC的长是该方程的两个实数根，
∴AB+AC＝k+6，AB•AC＝9+3k，
∵△ABC是直角三角形，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴（AB+AC）2﹣2AB•AC＝BC2，
即（k+6）2﹣2×（9+3k）＝52，
解得：k＝﹣7或k＝1，
又∵AB•AC＝9+3k，k为正数，
∴k的值是1．
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）点P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积．
【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论；
（2）由BP＝BC得出OP＝OC＝4，从而得出CP＝8，然后利用S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC求得即可．
【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k=12，
∴y=12x+2，
把A（2，n）代入y=12x+2，得n＝3，
∴A（2，3），
把A（2，3）代入y=mx，得m＝6，
∴k=12，m＝6；
（2）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，则AH＝3．
∵一次函数y=12x+2的图象与y轴交于点B，
∴B（0，2），
∴OB＝2，
∵BP＝BC，BO⊥CP，C（﹣4，0），
∴OP＝OC＝4，
∴PC＝8，
∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC=12PC⋅AH−12PC⋅BO=12×8×(3−2)=4．
22．（10分）钢丝退火是指将钢丝加热到一定温度，保温一段时间后缓慢冷却的过程，主要目的是软化钢丝材料，以便切削加工．如图是某钢丝退火过程中钢丝的温度y（℃）与退火时间x（s）之间的函数关系图，整个过程分为加热，保温，冷却三个部分．
（1）已知冷却过程中y与x成反比例函数关系，求出此过程中y与x的函数关系式；
（2）当冷却开始时，工人便可对钢丝材料进行加工，已知钢丝温度在50℃及以上时，加工效果最好，请问工人师傅要想效果最好，应该在多长时间内完成加工操作？
【分析】（1）设此过程中y与x的函数关系式为y=kx，将点（15，60）代入y=kx(k≠0)，解方程即可得到结论；
（2）将y＝50代入y=900x，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设此过程中y与x的函数关系式为y=kx，
将点（15，60）代入y=kx(k≠0)，
解得k＝900．
∴此过程中y与x函数关系式为y=900x；
（2）将y＝50代入y=900x，
解得 x＝18，
18﹣15＝3，
答：工人师傅要想效果最好，应该在3分钟的时间内完成操作．
23．（10分）如图1，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C．
（1）求直线AC的解析式；
（2）如图2，若P是线段OA上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交AC于点N，设点P的横坐标为t，△ACH的面积为S，用t表示S，并求S的最大值．
【分析】（1）先求出C（0，3），A（﹣3，0），利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）用含t的式子表示出点N，H的坐标，得出NH，再根据S=S△AHN+S△CHN=12×HN×OA求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解；
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3，则C（0，3），
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x＝﹣3或x＝1，则A（﹣3，0），
设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，
把点A，点C的坐标代入得：0=−3k+b3=b，
解得k=1b=3，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+3，
（2）∵点P的横坐标为t，
把x＝t代入y＝x+3得：y＝t+3，
∴点N的坐标为（t，t+3），
∴点H的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），
∴HN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S=S△AHN+S△CHN=12×HN×OA=12×(−t2−3t)×3=−32t2−92t=−32(t+32)2+278，
∵−32＜0，
∴当t=−32时，S有最大值，最大值为278．
24．（12分）民间艺术起源于春秋，兴盛于明清，发展于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人“是杂技表演的压轴节目，表演惊险刺激，极具观赏性，深受观众好评．如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一个点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台AB上，其飞行路线可看作抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护演员的安全．建立如图所示的平面直角坐标系，已知；点A的坐标为（0，8），OC＝11.4m，CE＝2.1m，EF=725m，∠FEC＝135°，AB＝1m．
（1）当抛物线过点B，且与y轴交于点H（0，6）时，点F的坐标为 （10，3.5） ，抛物线的解析式为 y=−14x2+94x+6 ；
（2）在（1）的条件下，若点N的坐标为(8，72)，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的表达式为y＝ax2﹣8ax+c，若抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台AB上（即抛物线与线段AB有交点），请直接写出a的取值范围．
【分析】（1）作辅助线构建等腰直角△EFL，确定点B，F的坐标，利用待定系数法即可解答；
（2）为使演员在演出时不受伤害，抛物线要经过点M，可得点M的坐标，计算MN的长即可解答；
（3）分别计算边界点时a的值，即将点A和点B的坐标代入y＝ax2﹣8ax+c中即可解答．
【解答】解：（1）∵A（0，8），AB＝1，
∴B（1，8），
如图1，过点F作FK⊥x轴于K，过点E作EL⊥FK于L，
∴∠ELF＝90°，
∵∠FEC＝135°，∠LEC＝90°，
∴∠FEL＝45°，
∴△LEF是等腰直角三角形，
∴FL＝LE，
∵EF=725，
∴EL＝FL=75=1.4，
∵EC＝LK＝2.1，
∴FK＝LF+LK＝1.4+2.1＝3.5，
∵OC＝11.4，KC＝LE＝1.4，
∴OK＝10，
∴点F的坐标为（10，3.5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c，
把点B（1，8），H（0，6），F（10，3.5）分别代入得：a+b+c=8c=6100a+10b+c=3.5，
解得：a=−14b=94c=6，
∴抛物线的解析式为：y=−14x2+94x+6；
故答案为：（10，3.5），y=−14x2+94x+6；
（2）∵MN∥x轴，N（8，72），
∴点M的纵坐标为72，
当y=72时，−14x2+94x+6=72，
解得：x1＝10（舍），x2＝﹣1，
∴MN＝8﹣（﹣1）＝9，
∴保护网MN（线段MN）的长度至少为9米；
（3）将点F（10，3.5）代入y＝ax2﹣8ax+c中，
100a﹣80a+c＝3.5，
∴20a+c＝3.5①，
当抛物线经过点A（0，8）时，c＝8，
代入①中，20a+8＝3.5，
∴a=−940，
当抛物线y＝ax2﹣8ax+c中经过点B（1，8）时，8＝a﹣8a+c②，
联立①②得：a=−16，
综上，a的取值范围是−940≤a≤−16．