2024-2025学年人教新版九年级上册数学期中测试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年人教新版九年级上册数学期中测试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了下列图形中，是中心对称图形的是，抛物线y＝﹣，在平面直角坐标系中，已知点A，我们定义一种新函数等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共8小题，满分24分，每题3分）
1．在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．﹣1，4B．﹣1，﹣4C．1，4D．1，﹣4
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
4．在平面直角坐标系中，已知点A（3，a），B（b，2）关于原点对称，则a+b2的值为（ ）
A．﹣1B．1C．7D．5
5．一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ）
A．（x+3）2＝3B．（x﹣3）2＝3C．（x+3）2＝12D．（x﹣3）2＝12
6．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4；⑥若点P（a，b）在该图象上，则当b＝3时，可以找到4个不同的点P．其中正确结论的个数是（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．当x≥2时，二次函数y＝﹣x2+2x+m有最大值4，则m的值是（ ）
A．1B．2C．4D．6
学校： 考号： 姓名： 班级：

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8．如图，小明以抛物线y＝x2﹣2x+4为灵感设计了一款杯子，若AB＝4，DE＝2，则杯子的高CE为（ ）
A．4B．5C．6D．7
二．填空题（共8小题，满分24分，每题3分）
9．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的对称轴是 ．
10．已知x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个解，则4m+2n的值是 ．
11．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝3的抛物线的解析式 ．
12．二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），则代数式（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）的值为 ．
13．将二次函数y＝3x2﹣6x+1化成顶点式是
14．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数是 ．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
16．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），P是第一象限内任意一点，连接PO，PA，若∠POA＝m°，∠PAO＝n°，若点P到x轴的距离为1，则m+n的最小值学校： 考号： 姓名： 班级：

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为 ．
三．解答题（共12小题，满分102分）
17．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）（2x﹣1）2＝2（2x﹣1）；
（3）x2﹣4x﹣2＝0（配方法）；
（4）x（x﹣2）＝15．
18．（1）已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点（0，），求二次函数的表达式；
（2）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，求此二次函数的解析式．
19．请在同一坐标系中画出二次函数①y＝x2；②y＝（x﹣2）2的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点坐标及增减性．
20．要为一幅长30cm、宽24cm的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的，镜框边的宽度应是多少厘米？
21．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在学校： 考号： 姓名： 班级：

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格点上（每个小方格的顶点叫格点）．
请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1．（不要求写作法）
22．不解方程判断下列方程根的情况．
（1）2x2+3x﹣4＝0；
（2）x2+1＝x；
（3）x2﹣2kx+4（k﹣1）＝0（k为常数）．
23．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的2条性质；
②写出方程﹣x2+3|x|＝0的实数根；
（2）延伸思考：
关于x的方程﹣x2+3|x|＝a有4个实数根时，直接写出a的取值范围．
24．用长度为13m的栅栏围一个长方形养鸡场（其中一边靠墙，若墙的长度足够）
（1）问如何分配三边可以使围成的面积为20m2？
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（2）能否围成养鸡场面积为22m2？为什么？
（3）如何分配三边，才能使围成养鸡场的面积最大？最大面积为多少？
25．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆，我县某旅行社推出“济南一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元．旅行社收到的团队总报名费用为W（元）．
（1）求出当x≥20时，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？
26．已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
（1）求二次函数y＝x2﹣ax+b的对称轴；
（2）过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣ax+b的图象交于不同的两点M、N．
①当MN＝2时，求b的值；
②当PM+PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围．
27．已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．
（1）将线段AB绕点A旋转至如图1所示的AP处，若AP∥BC，求∠ABP的度数；
学校： 考号： 姓名： 班级：

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（2）如图2，M为边BC下方一点，E为线段BM的中点，Q为线段CM垂直平分线上一点，若∠AEQ＝90°，求∠CQM的度数；
（3）如图3，D为BC边上一点，已知DB＝DA，将△ABC沿BC翻折至△FBC，将线段BD绕点B顺时针旋转得到线段BH，连FH，N为FH的中点，连AN，请直接写出在旋转过程中AN的最大值．
28．已知在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'），给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣6，﹣5）的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点P在函数y＝﹣x2+16的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′是12，求“可控变点”Q的横坐标．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每题3分）
1．解：一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是﹣1，﹣4．
故选：B．
2．解：A．不是中心对称图形，不合题意；
B．不是中心对称图形，不合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不是中心对称图形，不合题意；
故选：C．
3．解：抛物线y＝﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（﹣2，﹣3），向右平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（﹣2+3，﹣3），即（1，﹣3）．
故选：D．
4．解：∵点A（3，a），B（b，2）关于原点对称，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a+b2＝﹣2+9＝7．
故选：C．
5．解：x2﹣6x＝3，
x2﹣6x+9＝12，
（x﹣3）2＝12．
故选：D．
6．解：如图，“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象实际上就是将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象中x轴下方的部分，即y＜0的部分，也就是虚线AC′D′B沿着x轴翻折所形成的图象，
二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为：当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或x＝﹣1，
所以二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点A（﹣1，0），B（3，0），
二次函数y＝x2﹣2x﹣3与y轴的交点C′（0，﹣3），
点C′关于x轴对称的点C（0，3），
因此①正确；
由于二次函数y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣＝1，与x轴对称部分的对称轴也是直线x＝1，
所以“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象的对称轴为直线x＝1，
因此②正确；
由“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象可知，当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x的增大而增大，
因此③正确；
由“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象可知，当x＝﹣1或x＝3时，图象处于最低点，即（﹣1，0），（3，0），因此函数有最小值是0，
所以④正确；
由“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象可知，当x＝1时，y＝4，此时不是函数的最大值，
因此⑤不正确；
由“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象与直线y＝3有4个交点，即（0，3），（2，3），（1+，3），（1﹣，3），
因⑥正确；
综上所述，正确的结论有：①②③④⑥，
故选：B．
7．解：∵y＝﹣x2+2x+m，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵当x≥2时，二次函数y＝﹣x2+2x+m有最大值4，
∴当x＝2时，函数有最大值y＝﹣22+2×2+m＝4，
解得m＝4，
故选：C．
8．解：∵y＝x2﹣2x+4
＝（x﹣1）2+3，
∴抛物线的顶点D的坐标为（1，3），
∵AB＝4，
∴BC＝2，
∴点B的横坐标为x＝3，
把x＝3代入y＝x2﹣2x+4得y＝7，
∴CD＝7﹣3＝4，
∴CE＝CE+DE＝4+2＝6，
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分24分，每题3分）
9．解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1．
10．解：∵x＝2是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，
∴4+2m+n＝0，
∴2m+n＝﹣4．
∴4m+2n＝﹣8．
故答案为：﹣8．
11．解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，已知对称轴为直线x＝3，
根据顶点式，得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣3）2．本题答案不唯一，
故答案为：y＝﹣（x﹣3）2（答案不唯一）．
12．解：∵二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，﹣2），
∴1+m+n＝﹣2，
∴m+n＝﹣3，
∴（m+n﹣1）（1﹣m﹣n）＝（﹣3﹣1）（1+3）＝﹣16．
故答案为：﹣16．
13．解：y＝3x2﹣6x+1
＝3（x2﹣2x）+1
＝3（x﹣1）2﹣2．
故答案为：y＝3（x﹣1）2﹣2．
14．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB＝AD，∠BAD＝80°，
∴∠B＝∠ADB＝50°，
故答案为：50°．
15．解：函数值y＜0时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3．
故答案为：﹣1＜x＜3．
16．解：如图，在平面直角坐标系中作出以OA为直径的⊙M，
设直线y＝1与⊙M相切于点P，则MP垂直于直线y＝1，
根据三角形内角和定理可知，要使得m+n取得最小值，则需∠OPA取得最大值．
∵点P到x轴的距离为1，而PM为半径，
∴PM＝1，
∵点A的坐标为（2，0），
∴OM＝1，
∴∠OPA为以OA为直径的圆的一个圆周角，
∴∠OPA＝90°．
在直线y＝1上任取一点不同于点P的一点P'，连接OP'，交⊙M于点Q，连接AQ，
则∠AQO＝90°＞∠AP'O，
∴∠OPA＞∠AP'O，
∴∠OPA的最大值为90°，
∴m+n的最小值为90．
故答案为：90．
三．解答题（共12小题，满分102分）
17．解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
则x+3＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1；
（2）∵（2x﹣1）2＝2（2x﹣1），
∴（2x﹣1）2﹣2（2x﹣1）＝0，
∴（2x﹣1）（2x﹣3）＝0，
则2x﹣1＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝，x2＝；
（3）∵x2﹣4x﹣2＝0，
∴x2﹣4x＝2，
∴x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣；
（4）整理成一般式，得：x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x+3）（x﹣5）＝0，
则x+3＝0或x﹣5＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝5．
18．解：（1）设二次函数解析式为：y＝a（x+1）2+2，
把点（0，）代入，得：a（0+1）2+2＝，
∴a＝﹣，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2；
（2）由图象可知：二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过点（0，3）和（﹣1，0），
∴将两点坐标代入得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
19．解：y＝x2的图象向右平移2个单位得到y＝（x﹣2）2的图象
y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，0），
当x＞2时，y随x的增大而增大，当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＝2时，y有最小值为0．
20．解：设镜框的宽度为xcm，根据题意，得：
（30+2x）（24+2x）﹣30×24＝30×24×，
整理，得：4x2+108x﹣171＝0，
即：（2x+57）（2x﹣3）＝0，
解得：x＝﹣（舍）或x＝，
答：镜框边的宽度应是1.5厘米．
21．解：如图，△A1B1C1即为所求．
22．解：（1）∵Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）x2﹣x+1＝0，
∵Δ＝（﹣）2﹣4××1＝﹣2＜0，
∴方程没有实数根；
（3）∵Δ＝（﹣2k）2﹣4[4（k﹣1）]＝4（k﹣2）2≥0，
∴方程有两个实数根．
23．解：（1）观察图象：
①该函数的2条性质为：函数图象关于y轴对称；当0＜x＜1.5时，y随x的增大而增大；
②方程﹣x2+3|x|＝0的解为：x1＝﹣3，x2＝0，x3＝3；
（2）若方程﹣x2+3|x|＝a有四个实数根，则a的取值范围是0＜a＜2.25．
24．（1）解：设长方形的长为x米，如果以墙为长方形的长边，长方形的宽为（13﹣x）米，则
（13﹣x）x＝20
（13﹣x）x＝40
x2﹣13x+40＝0
（x﹣5）（x﹣8）＝0
x﹣5＝0或x﹣8＝0
x＝5或x＝8
当x＝5米时，长方形的宽＝20÷5＝4米＜长方形的长
当x＝8米时，长方形的宽＝20÷8＝2.5米＜长方形的长．
所以长方形的长是5米或8米，宽对应的是4米或2.5米．
即三边为：4，4，5或2.5，2.5，8；
（2）假设可以围成面积为22m2，
∴S＝（13﹣x）x＝22，
x2﹣13x+44＝0，
此方程无实数根，
∴不能围成养鸡场面积为22m2．
（3）S＝（13﹣x）x
＝﹣（x2﹣13x），
＝﹣（x﹣）2+，
当x＝时，S最大＝m2，
即当边长为3.25，3.25，6.5时，面积最大为： m2．
25．解：（1）设y＝kx+b，
把（20，120）和（32，96）代入得：，
解得：，
y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x+160；
∵旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元，
当y≥88时，﹣2x+160≥88，
x≤36，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x+160（20≤x≤36）；
（2）由题意得：w＝xy
＝x（﹣2x+160）
＝﹣2x2+160x
＝﹣2（x2﹣80x+1600﹣1600）
＝﹣2（x﹣40）2+3200，
∵﹣2＜0，
∴x＜40，w随x的增大而增大，
而20≤x≤36，
∴x＝36时，w有最大值为：﹣2（36﹣40）2+3200＝3168，
∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．
26．解：（1）∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝0和x＝4时的函数值相等．
∴对称轴为直线x＝＝2；
（2）①不妨设点M在点N的左侧．
∵对称轴为直线x＝2，MN＝2，
∴点M的坐标为（1，1），点N的坐标为（3，1），
∴x＝﹣＝2，1＝1﹣a+b，
∴a＝4，b＝4；
②∵a＝4，
∴y＝x2﹣4x+b，
过P（0，1）作x轴的平行线与二次函数y＝x2﹣4x+b的图象交于不同的两点M、N．
∴1＝x2﹣4x+b有两个不同的根，
∴Δ＝16﹣4b+4＞0，
∴b＜5，
∵x1+x2＝4，
∴1≤b＜5．
27．解：（1）如图1，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝30°，
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠C＝30°，
∴∠BAP＝∠BAC+∠PAC＝150°，
∵AB＝AP，
∴∠ABP＝∠P＝＝15°；
（2）如图2，
延长QE至N，使NE＝QE，连接BN，AN，AQ，
∵∠AEQ＝90°，
∴AN＝AQ，
∵BE＝EM，
∠BEN＝∠MEQ，
∴△BEN≌△MEQ（SAS），
∴BN＝MQ，
∠BNE＝∠MQE，
∵Q点在CM的垂直平分线上，
∴CQ＝MQ，
∴BN＝CQ，
∵AB＝AC，
∴△ABN≌△ACQ（SSS），
∴∠CAQ＝∠BAN，AN＝AQ，
∴∠BAN+∠BAQ＝∠CAQ+∠BAQ＝∠BAC＝120°，
∴∠NAQ＝120°，
∴∠AQE＝∠ANE＝30°，
∴∠CQM＝∠AQC+∠AQM
＝∠ANB+（∠AQE﹣∠MQE）
＝（∠ANE+∠BNE）+∠AQE﹣∠MQE
＝30°+∠MQE+30°﹣∠MQE
＝60°；
（3）如图3，
∵DB＝DA，
∴∠BAD＝∠ABC＝30°，
∴∠DAC＝120°﹣30°＝90°，
∴DB＝DA＝AC•tan∠ACD＝4×＝4，
取BF的中点M，连接MN，
∵N是HF的中点，
∴MN＝BH＝BD＝2，
∴点N在以M为圆心，半径是2的圆上，
在△ABM中，AB＝4，BM＝＝AB＝2，∠ABF＝60°，
作MK⊥AB于K，
∴BK＝BM•cs60°＝，
KM＝BM•sin60°＝3，
∴AK＝AB﹣BK＝3，
∴AM＝＝6，
当AN（图中N′位置）过点M，AN最大，
AN′＝AM+MN′
＝6+2
＝8．
28．解（1）∵点（﹣6，﹣5），x＝﹣6＜0，
∴y'＝﹣y＝5，
即点（﹣6，﹣5）的“可控变点”坐标为（﹣6，5），
故答案为：（﹣6，5）；
（2）由题意得y＝﹣x2+16的图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上，
∵“可控变点”Q的纵坐标y′的是12，
当﹣x2+16＝12时，解得x＝±2，
∴点P坐标为（2，12），
当﹣x2+16＝﹣12时，解得x＝±2，
∴点P坐标为（﹣2，﹣12），
∴“可控变点”Q的横坐标为：2或﹣2．