高中物理人教版 (2019)必修 第二册相对论时空观与牛顿力学的局限性优秀当堂达标检测题

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B．火星的公转周期比土星的公转周期大
C．火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径大
D．火星和土星的公转轨道半径之比为
【答案】A
【详解】A．根据开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，由于地球的轨道半径比该火星的轨道半径小，故可知地球的周期比火星的小，设火星相邻两次冲日的时间间隔为t，则在时间t内地球比火星绕太阳多转一周，即
解得
A正确；
B．同理土星的周期为
故火星的公转周期比土星的公转周期小，B错误；
C．根据开普勒第三定律，其轨道半径的三次方与周期T的平方的比值相等，可知火星的公转轨道半径比土星的公转轨道半径小，C错误；
D．火星和土星的公转轨道半径之比为
D错误。
故选A。
2．如图，卫星甲、乙均绕地球做匀速圆周运动，轨道平面互相垂直，乙的轨道半径是甲的倍，甲做圆周运动的周期为T。将两卫星和地心在同一直线且乙在甲正上方的位置状态称为“相遇”，则某次“相遇”后，甲、乙卫星再次“相遇”经历的最短时间为（ ）

A．5TB．2.5TC．TD．0.5T
【答案】B
【详解】由开普勒第三定律可得
解得
则甲每转2周半时间内乙转半周，就会“相遇”一次，故再次“相遇”经历的时间为2.5T。
故选B。
3．三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，此时A、B相距最近，如图所示。已知卫星B的运动周期为T，则（ ）
A．C加速可追上同一轨道上的A
B．A、C的向心加速度大于B的向心加速度
C．从图示时刻到A、B再次相距最近所需时间大于T
D．相同时间内，B与地心连线扫过的面积大于A与地心连线扫过的面积
【答案】C
【详解】A．卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的卫星A，选项A错误；
B．根据万有引力提供向心力可得
解得
A、C的半径大，所以A、C的向心加速度小于B的向心加速度，选项B错误；
C．A、B再次相距最近时，圆周运动转过的角度差为2π，所以可得
又因为
代入可算出经历的时间
又根据高轨低速大周期可知
因此
即从图示时刻到A、B再次相距最近所需时间大于T，选项C正确；
D．绕地球运动的卫星与地心连线在相同时间内扫过的面积
又因为根据万有引力提供向心力可得
联立以上等式可得
由图可知B的半径小，因此相同时间内，B与地心连线扫过的面积小于A与地心连线扫过的面积，选项D错误。
故选C。
4．北斗卫星导航系统由地球同步静止轨道卫星a、与地球自转周期相同的倾斜地球同步轨道卫星b，以及比它们轨道低一些的轨道卫星c组成，它们均为圆轨道卫星。若轨道卫星c与地球同步静止轨道卫星a在同一平面内同向旋转，已知卫星c的轨道半径为r，同步卫星轨道半径为4r，地球自转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．卫星a的发射速度大于地球第一宇宙速度，轨道运行速度小于地球第一宇宙速度
B．卫星a与卫星b具有相同的机械能
C．地球的质量为
D．卫星a与卫星c周期之比为8∶1，某时刻两者相距最近，则经过后，两者再次相距最近
【答案】A
【详解】A．地球第一宇宙速度是最小发射速度，最大运行速度，因此卫星a的发射速度大于地球第一宇宙速度，轨道运行速度小于地球第一宇宙速度，选项A正确；
B．机械能包括卫星的动能和势能，与卫星的质量有关，而卫星a与卫星b的质量不一定相同，故卫星a与卫星b不一定具有相同的机械能，选项B错误；
C．对地球同步卫星，根据牛顿第二定律有
解得地球的质量为
选项C错误；
D．卫星a与卫星c再次相距最近的过程满足
代入卫星a与卫星c周期之比为8∶1，解得
选项D错误。
故选A。
5．2020年3月，我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星、双星系统绕点做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，，为的卫星，绕做逆时针匀速圆周运动，周期为，忽略与之间的引力，且与之间的引力远大于与之间的引力。万有引力常量为，则以下说法正确的是（ ）
A．若知道的轨道半径，则可求出的质量
B．恒星的质量为
C．若也有一颗运动周期为的卫星，则其轨道半径也一定等于的轨道半径
D．设、、三星由图示位置到再次共线的时间为，则
【答案】D
【详解】A．若知道的轨道半径，根据
则可求出B的质量，C质量无法求得，故A错误；
B．在A、B组成的双星模型中，对A分析，有
解得
故B错误；
C．若也有一颗运动周期为的卫星，根据
解得
在A、B组成的双星模型中，有
，
则
则其轨道半径不一定等于的轨道半径，因为A、B恒星的质量不同，故C错误；
D．设、、三星由图示位置到再次共线的时间为，则
解得
故D正确；
故选D。
6．如图所示，火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动。为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时（地球位于太阳与火星之间，且三者共线）为最佳发射期。若下一个火星探测器的最佳发射期至少要经过n1年，则地球公转半径的立方和火星公转半径的立方的比值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】地球绕太阳运行周期为
设火星绕太阳运行周期为T2，由开普勒第三定律有
地球与火星再一次最近至少经过时间n1年，则有
由以上三式解得
故选B。
7．（多选）如图所示，北斗卫星导航系统中的一颗卫星a位于赤道上空，其对地张角为。已知地球的半径为R，自转周期为，表面的重力加速度为g，万有引力常量为G。根据题中条件，可求出（ ）
A．地球的平均密度为
B．静止卫星的轨道半径为
C．卫星a的周期为
D．a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为
【答案】BD
【详解】A．在地球表面有
地球密度
解得
A错误；
B．对静止卫星有
结合上述解得
B正确；
C．卫星a的轨道半径
根据
解得
由于不能确定地球静止卫星的轨道半径，故C错误；
D．对近地卫星有
解得
令a与近地卫星运行方向相反时，二者不能直接通讯的连续时间为，则有
解得
D正确。
故选BD。
8．（多选）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，当金星恰好运行到地球和太阳之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“金星凌日”。当太阳位于金星和地球之间，且三者排成一条直线的现象，天文学称为“金星合日”。已知金星与太阳间的距离约为地球和太阳间距的0.72倍。下列判定正确的有（ ）
A．金星绕太阳的周期约为0.6年
B．“金星凌日”的周期小于1年
C．从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间小于1年
D．从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间大于1年
【答案】AC
【详解】A．根据万有引力提供向心力，有
可得
有
所以
故A正确；
B．设“金星凌日”的周期为，有
解得
故B错误；
CD．设从某次“金星凌日”到最近的“金星合日”的时间为，有
解得
故C正确，D错误。
故选AC。
9．（多选）已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，卫星绕地球运动轨道为圆轨道，在某时刻地球的两颗卫星A和B处于如图所示的位置，设卫星A的轨道半径为，卫星B的轨道半径为，[已知]，则下列说法正确的是（ ）
A．两卫星的环绕速度之比
B．开始时，卫星A将在B的前面，只要B加速即可追上A
C．从此时刻开始再经大约时间再次相距最近
D．从此时刻开始再经大约时间第一次相距最远
【答案】AC
【详解】A．根据
解得
故两卫星的环绕速度之比为
A正确；
B．开始时卫星A在B的前面，但是B只要加速，就会做离心运动增加其运动轨道的半径，增加其运动周期，不可能追上卫星A，B错误；
C．对卫星A，由牛顿第二定律可得
联立解得
同理可得
从此时刻开始到下次相遇卫星A比卫星B多转一圈，即多转，所以
解得
C正确；
D．两卫星相距最远时
解得
D错误。
故选AC。
10．（多选）中国科学院紫金山天文台于2022年7月发现两颗小行星20220S1和20220N1。小行星20220S1预估直径约为230m，小行星20220N1预估直径约为45m。若两小行星在同一平面内绕太阳的运动可视为匀速圆周运动（仅考虑两小行星与太阳之间的引力），测得两小行星之间的距离△r随时间变化的关系如图所示，已知小行星20220S1距太阳的距离大于小行星20220N1距太阳的距离。则关于小行星20220S1和20220N1的说法正确的是（ ）
A．20220N1运动的周期为T
B．半径之比为2：1
C．线速度之比为1：
D．角速度分别为和
【答案】BD
【详解】B．因小行星20220S1距太阳的距离大于小行星20220N1距太阳的距离，可设小行星20220S1距太阳的距离为r1，小行星20220N1距太阳的距离为r2。根据图像可知
r1-r2=1.5r
r1+r2=4.5r
联立解得
r1=3r
r2=1.5r
即半径之比为2：1，选项B正确；
A．因经过时间T两星再次相距最近，设小行星20220S1与小行星20220N1绕太阳运动的周期分别为T1、T2，则
根据开普勒第三定律可知
解得
选项A错误；
CD．根据
可得角速度分别为
根据v=ωr可得线速度之比为
选项C错误D正确。
故选BD。
11．为简化“天问一号”探测器在火星软着陆的问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，如图1所示。火星探测器在火星附近的A点减速后，被火星捕获进入了1号椭圆轨道，紧接着在B点进行了一次“侧手翻”，即从与火星赤道平行的1号轨道，调整为经过火星两极的2号轨道，将探测器绕火星飞行的路线从“横着绕”变成“竖着绕”，从而实现对火星表面的全面扫描，如图2所示。以火星为参考系，质量为的探测器沿1号轨道到达B点时速度为，为了实现“侧手翻”，此时启动发动机，在极短的时间内喷出部分气体，假设气体为一次性喷出，喷气后探测器质量变为、速度变为与垂直的。已知地球的公转周期为，火星的公转周期为，地球公转轨道半径为，以下说法正确的是（ ）

A．火星公转轨道半径为
B．喷出气体速度u的大小为
C．假设实现“侧手翻”的能量全部来源于化学能，化学能向动能转化比例为k（），此次“侧手翻”消耗的化学能
D．考虑到飞行时间和节省燃料，地球和火星处于图1中相对位置时是在地球上发射火星探测器的最佳时机，则在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔为
【答案】D
【详解】A．根据开普勒第三定律有
可得
故A错误；
B．根据动量守恒定律，在方向上有
在与垂直的方向上有
解得
，
喷出气体速度u的大小为
故B错误；
C．以探测器和喷出气体组成的系统为研究对象，喷气前的总动能为
喷气后的总动能为
可得消耗的化学能为
故C错误；
D．在地球上相邻两次发射火星探测器最佳时机的时间间隔内，地球比火星多转一周，则有
解得
故D正确。
故选D。
12．某卫星在赤道上空飞行，轨道平面与赤道平面重合，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同。设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g。在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，已知该卫星轨道高度小于同步卫星高度。求∶
（1）该卫星运动的周期；
（2）它下次通过该建筑物正上方所需的时间。
【答案】(1) ；(2)
【详解】(1)在地球表面上有
对于卫星，有
解得
(2)下次通过该建筑物时，有
解得
13．当某一地外行星（火星、木星、土星、天王星、海王星）于绕日公转过程中运行到与地球、太阳成一直线的状态，且地球恰好位于太阳和外行星之间的这种天文现象叫“冲日”，冲日前后是观测地外行星的好时机。如图所示是土星冲日示意图，已知地球质量为，半径为，公转周期是1年，公转半径为，土星质量是地球的95倍，土星半径是地球的9.5倍，土星的公转半径是地球的9.5倍。求：
（1）地球和太阳间的万有引力是土星和太阳间的几倍？
（2）土星的第一宇宙速度是地球的几倍？
（3）土星冲日平均多长时间出现一次？

【答案】（1）0.95；（2）；（3）1.04年
【详解】（1）由万有引力公式
地球和太阳间的万有引力是土星和太阳间的n倍，有
（2）设行星的第一宇宙速度为v，有
得
土星的第一宇宙速度是地球的n倍，有
（3）设行星周期为T，有
得
所以土星的周期为
由题设每经t年出现土星冲日，有
得
14．我国天文学家通过FAST，在武仙座球状星团中发现一个脉冲双星系统。如图所示，假设在太空中有恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，运动周期为，它们的轨道半径分别为、，，C为B的卫星，绕B做逆时针匀速圆周运动，周期为。忽略A与C之间的引力，A与B之间的引力远大于C与B之间的引力。万有引力常量为G，求：
（1）恒星A的质量；
（2）A、B、C三星由图示位置到再次共线所用时间t；
（3）若A也有一颗周期为的卫星D，求卫星C、D的轨道半径之比。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）恒星A、B双星系统绕点O做顺时针匀速圆周运动，角速度和周期相同，由相互间的万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
对A有
对B有
联立可得
所以恒星A的质量为。
（2）由于A、B双星系统顺时针匀速圆周运动，C做逆时针匀速圆周运动，三个天体再次共线时，即C在B的外侧，根据
得
（3）C为B的卫星，绕B做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，有
得
同理有
得
联立得