辽宁省大连市第八中学2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题与解析版

这是一份辽宁省大连市第八中学2026-2027学年高三上学期8月阶段检测数学试题与解析版，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 若集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故.
2. 已知命题，；命题不等式恒成立，那么命题
A. 且是真命题B. 或是假命题
C. 是真命题D. 是假命题
【答案】B
【解析】对于命题，，即，命题为假命题；
对于命题，当时，，命题为假命题.
所以，且是假命题，或是假命题，是真命题.
3.已知角的顶点位于平面直角坐标系的原点，始边在轴的非负半轴上，终边与单位圆相交于点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为终边与单位圆交于点，则终边落在第二象限，
所以，， .
4.函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则
A. 0B. -1C. 2D. 1
【答案】C
【解析】函数是R上的奇函数，则
设，则，则函数的图像关于点对称
函数图像与函数关于对称，
所以函数的图像关于对称，所以.
5.已知复数，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，，
∴.
6.已知函数下列区间中包含零点的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数，
对于选项A：因为，，
所以在内存在零点，故A正确；
对于选项B：因为，则，，
可得，可得，可知在内无零点，故B错误；
对于选项C：因为，则，，
可得，可得，可知在内无零点，故C错误；
对于选项D：因为，则，，
可得，可得，可知在内无零点，故D错误.
7.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,,M为椭圆上一点,若,,则C的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故点位于线段的中点，设，则，
，又，，化简得，
又M为椭圆上一点，，联立得，即，
此方程有解，则，化简得，即恒成立，
方程的两个根为和，
又，，，解得.
则C的离心率的取值范围是.
8.若不等式恒成立，则实数a的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，即，
令，则恒成立，
则恒成立，令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故a的取值范围为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列各式中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，，A错误;
对于B，，由于函数在上单调递增，
故，B正确；
对于C，，
，故，C正确；
对于D,函数在上是增函数，而，
所以，D不正确.
10.设点在圆上，圆方程为，直线方程为.则
A. 对任意实数和点，直线和圆有公共点
B. 对任意点，必存在实数，使得直线与圆相切
C. 对任意实数，必存在点，使得直线与圆相切
D. 对任意实数和点，圆和圆上到直线距离为1的点的个数相等
【答案】ACD
【解析】由题意，因此圆一定过原点，而直线总是过原点，A正确；
当圆方程为时，过原点且与圆相切的直线是轴，不存在，B错误；
对任意实数，作直线的平行线与圆相切，切点为，此时到直线的距离为1，即直线与圆相切，C正确；
易知对任意实数，圆上到直线距离为1的点有两个，作与直线平行且距离为1的两条直线和，（注意：和与圆恒相切），
当直线过点时，直线和都与圆相切，两个切点到直线的距离为1，
当直线不过点时，直线和中一条与圆相交，一条相离，两个交点与直线距离为1，即只有2 个点，D正确．
11.已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】因为，即，所以，，解得，故A正确；
由此可得，，，，
……
所以当为奇数时，为偶数，为奇数，
所以，，所以，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，
所以，故B错误；
当为偶数时，为奇数，为偶数，
则，，
所以，
所以数列是等比数列，首项为，公比为2，
所以，所以，所以，故C正确；
对于D，
=，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.写出同时满足下面两个条件的数列的一个通项公式__________.
①是递增的等差数列；②
【答案】（答案不唯一）
【解析】设等差数列的公差为，由①可知，取，
由，得，则，
所以数列的一个通项公式 .
13.已知函数且在区间上单调递减，则实数a的取值范围是_______.
【答案】或
【解析】由题意可知且可看作由函数复合而成，
当时，为R上的增函数，
若函数且在区间上单调递减，
需满足在上单调递减，即；
当时，为R上的递减函数，
若函数且在区间上单调递减，
需满足在上单调递增，即，则，
故实数a的取值范围是或 .
14.若函数有两个不同的零点，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为函数有两个不同的零点，
所以有两个不等实根，即有两个不等实根，
所以有两个不等实根，即有两个不等实根，
令函数，则即为有两个不等实根，
因为在R上单调递增，所以函数在R上单调递增，
所以，即，
令，所以，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，所以，
因此在的值域为；当
若有两个根，必有，解得，
所以的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知函数.从下面的两个条件中任选其中一个：①；②若，且的最小值为，，求解下列问题：
（1）化简的表达式并求的单调递增区间；
（2）已知，求的值 .
【解析】(1)若选择条件①；
，
由，，得，
所以的单调递增区间为，
若选择条件②，若，即是的最大值点，是的零点且的最小值为，设的周期为T，由此可得，即有，∴
由，可得，即有
可得或，再结合，可得，
综上可得： .
(2)，可得，
∵，∴，
从而可得，即有，
∵，∴，
由，可得，
故 .
16.已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）画出函数的大致图象，并说明理由；
（3）求函数的零点的个数.
【解析】（1）函数的定义域为R，且，
令得，则，的变化情况如下表示：
∴得单调递减区间是，单调递增区间是.
当，有极小值为，无极大值.
（2）令有：当时，；当时，，且经过，，.
当，与一次函数相比，指数函数增长更快，从而；
当时，，，
根据以上信息，画出大致图象：
（3）函数的零点的个数为与的交点个数.
由（1）及（2）的图象，当时，有极小值.
∴关于函数的零点个数有如下结论：
当时，零点的个数为0个；
当或，零点的个数为1个；
当时，零点的个数为2个 .
17.如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点．
（1）当时，证明：平面；
（2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
【解析】
(1) 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
则由题意得，
，
由，可得
证明：设平面的法向量为，
则，解得，
令，得.
因为，
所以
又平面，所以平面 .
(2)，
设，，
则
设平面的法向量为，
则，
取，则，
则，
化简得：，解得，
所以 .
18.甲、乙两名同学进行乒乓球比赛，规定每一局比赛获胜方记1分，失败方记0分，谁先获得5分就获胜，比赛结束，假设每局比赛甲获胜的概率都是．
（1）求比赛结束时恰好打了7局的概率；
（2）若现在的比分是3比1甲领先，记表示结束比赛还需打的局数，求的分布列及期望.
【解析】（1）恰好打了7局甲获胜的概率是，
恰好打了7局乙获胜的概率是，
故比赛结束时恰好打了7局的概率．
（2）的可能取值为，
，，
，，
故的分布列为
则.
19.记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【解析】 (1) 当时，相减得，
即，各项均为正数，所以，
故是以首项为1，公差以1的等差数列，
所以.
(2)，故，
，
.
x
0
单调递减
单调递增
2
3
4
5