辽宁省大连市第八中学2023−2024学年高二下学期6月阶段测试 数学试题（含解析）

这是一份辽宁省大连市第八中学2023−2024学年高二下学期6月阶段测试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．若集合，，则（ ）
A．或B．或
C．或D．或
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
4．根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数．现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则（ ）
A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8
5．已知随机变量，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足：，，且，则数列前n项的和为（ ）
A．B．C．D．
7．甲､乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．的定义域为
B．在上单调递减
C．
D．的值域是
10．已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有两个零点
C．点是曲线的对称中心D．过点可作曲线的两条切线
11．已知数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．是单调递增数列D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知随机变量 服从正态分布，若，则 ．
13．已知等比数列满足，则的最小值是 ．
14．已知函数，过点可作条与曲线相切的直线，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知公差为正的等差数列中，，.
(1)求的通项公式；
(2)若是等比数列，且，求数列的前项和．
16．2024龙年春节期间哈尔滨旅游火出圈，“小土豆”等更成为流行词，旅游过节已成为一种新时尚.某旅行社为了解某市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关，从该市随机抽取了200位市民，通过调查得到如下表格：
单位：人
(1)根据小概率值的独立性检验，判断该市市民的春节旅游意愿与年龄层次是否有关联.
(2)从样本中按比例分配选取10人，再随机从中抽取4人做某项调查，记这4人中青年人愿意出游的人数为，试求的分布列和数学期望.
附：，其中.
17．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.
18．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
19．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足：.求证：数列为“数列”；
(2)已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前n项和.
①求数列的通项公式；
②已知是“数列”，且对任意正整数k，都有成立，求数列公比的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为集合，，
则或，所以或．
故选：B．
2．【答案】A
【详解】，
或，即或，
，
是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．【答案】D
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：若，则，故C错误；
对于D：因为，则，
令可得，解得，故D正确.
故选：D
4．【答案】C
【详解】因为原来的经验回归方程为，且平均数，
所以，
因为去除的两个样本点和，并且，，
所以去除两个样本点后，样本点的中心仍为，
代入重新求得的经验回归方程，可得，
解得．
故选：C．
5．【答案】C
【详解】因为，，
所以，所以，
所以，所以，
所以．
故选：C
6．【答案】B
【详解】由得，，，…，，，
叠加得，
由题可知也适合上式，故；
所以，
则数列前n项的和.
故选：B.
7．【答案】B
【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，
则有：，
所以，
故选：B
8．【答案】B
【详解】由题意可得，即，
所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B
9．【答案】ABC
【详解】对于选项A：令，解得，
所以的定义域为，则A正确；
对于选项B：若，则，
因为在上单调递增，且，
可知在上单调递减，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C正确；
对于选项D：因为，则，且，可得，
当时，；
当时，；
所以的值域是，故D错误；
故选：ABC．
10．【答案】AC
【详解】由题意，
在中，．
令，得或，
令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是极值点，A正确．
由的单调性且极大值，极小值，
又，，
所以函数在定义域上有3个零点，B错误．
令，
因为，则是奇函数，
所以是图象的对称中心，
将的图象向上移动1个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，C正确．
设切点为，
则切线的方程为，
代入，可得，解得．
所以过点的切线有1条，D错误．
故选：AC．
11．【答案】AC
【详解】对于A选项，由得，故，A正确；
对于B选项，将，两式相减得，
即，又令，得，
，所以从第二项开始成等比数列，公比为，
故时，，即，所以，，
故B选项错误；
对于C选项，因为.当时，，
当时，.
所以，，令，
则时，，
即，而，所以数列单调递增，C选项正确；
对于D选项，当时，，
显然成立，故恒成立，D选项错误.
故选：AC.
12．【答案】0.2
【详解】因为，所以.
故答案为：0.2.
13．【答案】27
【详解】因为数列是等比数列，则，可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值是27.
故答案为：27.
14．【答案】
【详解】依题意可设切点为，
由，可得，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
因为点在切线上，故，
即，令，则，
当或时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则的极小值为，极大值为；
且当或时，，当时，，
当x趋向于负无穷时，无限接近于0，当x趋向于正无穷时，趋向于负无穷，
由此可作出图象如图：
由题意可知过点可作条与曲线相切的直线，
即需直线与的图象有三个不同的交点，
结合图象可知需，即实数的取值范围是
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在等差数列中，则，
又，解得或，
又的公差，所以，则，
所以，所以.
（2）由（1）可知，，又，，
所以，，
因为是等比数列，所以公比为，
所以，所以.
所以
.
16．【答案】(1)有关联
(2)分布列见解析，
【详解】（1）零假设：该市市民的春节旅游意愿与年龄层次无关.
依题意，得列联表如下：
所以.
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该市市民的春节旅游意愿与年龄层次有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.
（2）从样本中按比例分配选取10人，
则青年人愿意出游､青年人不愿意出游､老年人愿意出游､老年人不愿意出游的人数分别为，
再随机从中抽取4人，青年人愿意出游的人数的所有可能取值为，
且，
，
，
则的分布列为
数学期望为.
17．【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）.
【解析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；
（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；
（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.
【详解】（1）因为函数，
所以，.
又因为，则切点坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）函数定义域为，
由（1）可知，.
令解得.
与在区间上的情况如下：
所以，的单调递增区间是；
的单调递减区间是.
（3）当时，“”等价于“”.
令，，，.
令解得，
当时，，所以在区间单调递减.
当时，，所以在区间单调递增.
而，.
所以在区间上的最大值为.
所以当时，对于任意，都有.
18．【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【详解】（1）当时，R），所以，
令，则，
所以，
所以的极小值为，无极大值.
（2）函数在上仅有两个零点，
令，则问题等价于在上仅有两个零点，
易知，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为.
因为在上有两个零点，所以，所以.
因为，
令，则，
所以在上，，在上，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，
即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)①；②
【详解】（1）设等比数列的公比为，且，
由，得，解得，
所以数列为“数列”；
（2）①因为，则，则，
当时，由，得，整理得，
所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以；
②由①知，，
因为数列为“数列”，设公比为，所以，
因为，所以，其中，
即恒成立，
设，则，
当，，单调递增；当，，单调递减，
因为，所以，
故，所以.
市民
春节旅游意愿
愿意
不愿意
青年人
80
20
老年人
40
60
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
市民
春节旅游意愿
合计
愿意
不愿意
青年人
80
20
100
老年人
40
60
100
合计
120
80
200
0
1
2
3
4
－
0
＋
↘
极小值
↗
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增