2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟测试基础卷

这是一份2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中模拟测试基础卷，共78页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1．河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图2-1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物.将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2-2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（ ）
A．三角形B．矩形C．半圆D．菱形
2．如图所示的几何体由六块相同的小正方体搭成，若移走一块小正方体，几何体的左视图发生了改变，则移走的小正方体是 （ ）
A．①B．②C．③D．④
3．四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（ ）
A．12x（x-1）=72B．x（x-1）=72
C．x（x+1）=72D．12x（x+1）=72
4．一元二次方程x2−2x=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
5．若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O(0,0)，A(2,1)，B(1,2)，以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为2:1，则点A的对应点A'的坐标为（ ）
A．(−2,−1)B．(−4,−2)C．(−1,−2)D．(−2,−4)
7．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（ )
A．6B．8C．9D．12
8．下列说法正确的是 ( )
A．对角线互相垂直的四边形是矩形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．菱形的对角线相等
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
9．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM.若AC=6，BD=8，则OM的长为（ ）
A．52B．4C．5D．32
10．如图，在▱ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A．当AB=BC时，▱ABCD是菱形
B．当OA=OB时，▱ABCD是矩形
C．当AC平分∠BAD时，▱ABCD是菱形
D．当AC=BD时，▱ABCD是正方形
二、填空题（每题3分，共18分）
11．如图，l1∥l2∥l3，DEEF=23，且AB=3，则AC的长为 。
12．已知xy=52，那么x+yy= ．
13．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC=90°，若BC=12，AC=8，则DF的长为 ．
14． 如图， 在 △ABC中， DE‖BC,且 AD=3,DB=2,3， DB=2， 则 AEAC的值是 .
15． 已知a、b是方程x2+2x-3＝0的两根，则1a+1b的值为 ．
16．如图，BD是矩形ABCD的对角线，BE平分∠ABC交CD于点E．若∠DBE=10°，则∠ADB= ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．解方程：
（1）2x2−x−1=0；
（2）2x+12=x−12．
18．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．
19．在如图的方格纸中，△O1A1B1与 △OAB是以点P为位似中心的位似图形.
（1）在图中标出位似中心 P 的位置.
（2）以原点O为位似中心，在第三象限画出一个与 △OAB的位似比为2：1的△OA2B2.
（3）分别写出A，B的对应点A2,B2的坐标：A2 ，B2 ．
20．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：△ABF∽△ECF；
（2）如果AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，求CE的长．
21．如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，点E是DC边上的任一点(不包括端点D，C)，过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点 F.
（1）求证： △ADE∽△ABF；
（2）连接BD， 若BD=AF， 求DE的长.
22．根据以下素材，探索完成任务
23．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE=DC，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若∠ACB=60°，BC=4，求DE的长．
24．如图，D、E、F分别是△ABC三边中点．
（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；
（2）若四边形AFDE是矩形，AE=3，AF=4，求BC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图象可得：
这个几何体的主视图中没有出现的图形是菱形
故答案为：D
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：先看左视图：从左面看，这个几何体是两层，左右两列.移走①：左视图不变移走②：左视图会变.
故答案为：B
【分析】分别移走①、②，判断左视图是否会发生改变即可.
3．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵共有x 支球队，每支球队需要和除自身外的(x−1)支球队比赛，
又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数
∴总比赛场数为x(x−1)，已知总比赛场数为72 场，
∴可列方程x(x−1)=72．
故答案为：B .
【分析】设共有x 支球队，根据“ 每两队之间都进行两场比赛， 共比赛72场 ”列方程即可．
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解： ∵∆=−22−4×1×0=4>0
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：A.
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有根的判别式∆=b2−4ac，当∆>0时，方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，方程有两个相等的实数根；当∆0，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝1-2k ，x1•x2＝k2，再整体代入方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：图见解析，点 P 即为所求；
（2）解：如图，△OA2B2即为所求；
（3）(-4，-2)；(-2，-6)
【知识点】作图﹣位似变换；图形位似变换的点的坐标特征；位似中心的判断
【解析】【解答】解：(3)由图知点A2(-4，-2)，点B2(-2，-6)；
【分析】(1)分别连接OO1和BB1，并延长交点P即为位似中心；
(2)分别延长OA、OB到A2、B2，使A、B分别为OA2、OB2的中点即可；
(3)直接由图可得点A2和B2的坐标.
20．【答案】（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，
∴△ABF∽△ECF．
（2）解：∵AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，
∴BF=3cm．
由（1）知，△ABF∽△ECF，
∴BACE=BFCF，即8CE=32，
∴CE=163cm．
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟知相似三角形的性质和与判定是解题关键.（1）根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，再根据相似三角形的判定定理：两组角相等的两个三角形相似可知：△ABF∽△ECF，由此可证得结论；
（2）根据线段的和差运算可知：BF=BC-CF=3cm，由(1)知：△ABF∽△ECF，根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例可知：BACE=BFCF，代入数据可解得：CE=163cm，由此可得出答案.
（1）证明：∵DC∥AB，
∴∠B=∠ECF，∠BAF=∠E，
∴△ABF∽△ECF．
（2）解：∵AD=BC，AD=5cm，AB=8cm，CF=2cm，
∴BF=3cm．
由（1）知，△ABF∽△ECF，
∴BACE=BFCF，即8CE=32，
∴CE=163cm．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°，
∴∠DAE+∠EAB=90°.
∵AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=90°，
∴∠DAE=∠BAF.
∴△ADE∽△ABF.
（2）解：在Rt△ABD中，根据勾股定理得，
BD=AD2+AB2=42+82=45,
∴AF=BD=45.
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，
BF=AF2−AB2=4,
由(1)知△ADE∽△ABF，
∴ADAB=DEBF,
即 48=DE4,
∴DE=2.
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得∠ADE=∠ABF=∠BAD=90°，然后可证△ADE∽△ABF；
(2)由勾股定理得，BD，BF、由(1)△ADE∽△ABF，则ADAB=DFBF，可得DE.
22．【答案】解：任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为x，
由题意得：10001+x2=1440，
解得：x1=0.2,x2=−2.2（舍）
答：7月份到9月份的月平均增长率为20%.
任务2：设该泥塑的售价应定为y元/件，
由题意得：400−10×y−40y−30=6000，
解得：y1=50,y2=60
∵要尽可能让顾客得到实惠，则y=50，
答：该泥塑的售价应定为50元/件
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设7月份到9月份的月平均增长率为x，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设该泥塑的售价应定为y元/件，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）证明：∵BE∥DC，BE=DC，
∴ 四边形BDCE为平行四边形．
∵∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，
∴BD=CD=12AC ，
∴ 四边形BDCE为菱形．
（2）解：连接DE交BC于O点，如图
∵ 四边形BDCE为菱形，BC=4，∴OC=12BC=2，∠COD=90°，DE=2DO．
∵∠ACB=60°，
∴∠EDC=90°−∠ACB=30°．
∴DC=2OC=4．
∴DO=DC2−OC2=23．
∴DE=2DO=43．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的判定；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）首先利用“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出BD=CD，即可完成判定。
（2）连接DE后，结合菱形的性质，再用勾股定理计算即可得到结果。
24．【答案】（1）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边中点，
∴DE、DF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接EF，
∵若四边形AFDE是矩形，
∴∠A=90°，
∵AE=3，AF=4，
∴EF=AE2+AF2=5，
∵E、F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=10．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，可推出DE∥AB，DF∥AC，再依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，即可证明四边形AFDE是平行四边形；
（2）若四边形AFDE为矩形，根据矩形的性质可得∠A=90°，再通过勾股定理计算可得EF=5，最后结合三角形中位线定理，即可得到BC=2EF=10．
（1）证明：∵D、E、F分别是△ABC三边中点，
∴DE、DF分别是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（2）解：如图所示，连接EF，
∵若四边形AFDE是矩形，
∴∠A=90°，
∵AE=3，AF=4，
∴EF=AE2+AF2=5，
∵E、F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC=2EF=10．素材1
泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件．
素材2
泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件．
问题解决
任务1
求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率；
任务2
为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件?