第八章　第39课时　机械振动2027届高三物理一轮复习习题

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第八章
机械振动与机械波
第39课时 机械振动
目标要求 1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。2.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
考点一 简谐运动的基本规律
1.简谐运动
(1)定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，这样的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力
①定义：使物体在平衡位置附近做往复运动的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力，还可以是一个力的某个分力。
(4)简谐运动的特点
2.弹簧振子
(1)模型：一个有质量的物块，连接在一根轻质弹簧上，在绝对光滑的桌面上来回振动。这个“弹簧+物块”的系统，就是弹簧振子。
(2)运动特征：简谐运动，x-t图像是正弦曲线。
(3)周期：T=2πmk，与振幅A无关。
(4)能量：动能和势能相互转化，总能量守恒。在最大位移处势能最大，在平衡位置动能最大。
例1 如图所示，一质点做简谐运动，O点为其平衡位置。
(1)质点由M点向右运动到O点的过程中加速度 ，速度 ，系统机械能 。(选填“增大”“减小”或“不变”)
(2)质点先后以相同的速度依次通过M、N两点，历时1 s，质点第一次通过N点后再经过1 s第二次通过N点，在这2 s内质点通过的总路程为12 cm。则质点的振动周期和振幅分别为 。
A.3 s、6 cmB.4 s、6 cm
C.4 s、9 cmD.2 s、8 cm
(3)质点动能变化的周期是 s。
答案 (1)减小 增大 不变 (2)B (3)2
解析 (2)简谐运动的质点，先后以相同的速度通过M、N两点，则可判定M、N两点关于平衡位置O点对称，所以质点由M到O的时间与由O到N的时间相等，那么从平衡位置O到N点的时间t1=0.5 s，因过N点后再经过t=1 s，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过N点，则有从N点到右侧最大位移处的时间t2=0.5 s，因此，质点振动的周期是T=4(t1+t2)=4 s。这2 s内质点通过的总路程的一半，即为振幅，所以振幅A=12cm2=6 cm，故选B。
(3)动能是标量，由振动的对称性，知变化周期为T2=2 s。
简谐运动的周期性与对称性
例2 (2025·江苏南通市期中)如图所示，一轻弹簧与质量为m的物体组成弹簧振子，物体在同一竖直线上的A、B间做简谐运动，O为平衡位置，C为AO的中点。已知C、O的高度差为h，弹簧的劲度系数为k，某时刻物体恰好以大小为v的速度经过C点并向上运动，重力加速度为g。则从此刻开始的半个周期内，物体( )
A.动量的变化量为0
B.回复力的冲量大小为2mv
C.重力做功为0
D.重力做功为mgh
答案 B
解析 根据简谐运动的对称性，经过半个周期时，物体恰好运动到OB的中间位置，即到达O点下方h处，且速度方向向下，速度大小仍为v，取向上为正方向，则动量的变化量为Δp=-mv-mv=-2mv，由动量定理可知回复力的冲量为I=Δp=-2mv，所以回复力的冲量大小为2mv，故A错误，B正确；经过半个周期时，物体到达O点下方h处，重力做功为W=mg·2h=2mgh，故C、D错误。
考点二 简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的表达式
x=Asin(ωt+φ)，ωt+φ为相位，φ为初相位，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω=2πT。
2.简谐运动的振动图像
表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。
(来自教材)如图为某物体做简谐运动的图像，在0~1.5 s范围内回答下列问题。
(1)哪些时刻物体的回复力与0.4 s时的回复力相同？
(2)哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
(3)哪些时刻的动能与0.4 s时的动能相同？
(4)哪段时间的加速度在减小？
(5)哪段时间的势能在增大？
答案 (1)0.6 s，1.2 s，1.4 s (2)0.2 s，1.0 s，1.2 s
(3)0，0.2 s，0.6 s，0.8 s，1.0 s，1.2 s，1.4 s
(4)0.1~0.3 s，0.5~0.7 s，0.9~1.1 s，1.3~1.5 s
(5)0~0.1 s，0.3~0.5 s，0.7~0.9 s，1.1~1.3 s
例3 (2025·江苏宿迁市期末)如图所示，弹簧振子在相距20 cm的B、C两点间做简谐运动，O点为平衡位置。小球经过O点向左运动开始计时，经过0.5 s第一次到达C点。取向左为正方向，则( )
A.周期为0.5 s
B.振幅为0.2 m
C.3 s末的位移为0.1 m
D.振动方程为x=0.1sin(πt) m
答案 D
解析 O点为平衡位置，小球经过O点向左运动开始计时，经过0.5 s第一次到达C点，则经历的时间为14T，故有14T=0.5 s，得T=2.0 s，A错误；由弹簧振子在相距20 cm的B、C两点间做简谐运动，可得振幅A=12×20 cm=0.1 m，B错误；由周期T=2.0 s，则经过时间t=3 s=32T，根据简谐运动的规律可知小球又回到平衡位置，故位移为零，C错误；由T=2.0 s，A=0.1 m且从平衡位置开始计时向正方向振动，可得振动方程为x=Asin2πTt=0.1sin(πt) m，D正确。
针对训练 (2024·福建卷·2)如图(a)，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图(b)所示，则试管( )
A.振幅为2.0 cm
B.频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
答案 B
解析 根据题图(b)可知，振幅为1.0 cm，周期为T=0.4 s，则频率为f=1T=10.4 Hz=2.5 Hz，故A错误，B正确；
根据题图(b)可知，0.1 s时试管处于平衡位置，此时速度最大，故C错误；
根据题图(b)可知，0.2 s时试管处于负向最大位移处，则此时加速度方向竖直向上，故D错误。
例4 (2025·江苏常州市调研)忽略水对浮漂的阻力，浮漂在水中的上下振动可以视为简谐运动，如图(a)所示。以竖直向上为正方向，从t=0时刻开始计时，浮漂振动图像如图(b)所示，到达最高点的时刻为t1=0.5 s，重力加速度g取9.8 m/s2。
(1)写出浮漂简谐运动的振动方程，并求出简谐运动的周期。
(2)已知浮漂和铅坠的总质量为m=25 g，浮漂横截面积S=10-5 m2，水的密度ρ=1×103 kg/m3，求浮漂运动到最低点时的加速度大小。
答案 (1)y=5sin(2π3t+π6) cm 3 s (2)0.196 m/s2
解析 (1)由题图(b)可知浮漂振动振幅A=5 cm
浮漂(含铅坠)的位移满足关系式：
y=Asin(ωt+φ0)
t=0时刻有y=2.5 cm，
结合之后的振动方向可得φ0=π6
t=0.5 s时刻有y=5 cm，可得ω=2π3 rad/s
则浮漂简谐运动的振动方程为
y=5sin(2π3t+π6) cm
简谐运动的周期T=2πω=3 s
(2)在平衡位置时，浮力等于重力，在最低点时，浮漂所受合外力大小等于最低点相对于平衡位置时浮力的增加量。
由牛顿第二定律有ASρg=ma
可得a=0.196 m/s2
从振动图像可获取的信息
1.振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)。
2.某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
3.某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的绝对值和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
4.某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同。
5.某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
考点三 受迫振动和共振
1.受迫振动
(1)概念：系统在驱动力作用下的振动。
(2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
2.共振
(1)概念：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。
(2)共振的条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。
(3)共振的特征：共振时振幅最大。
(4)共振曲线(如图所示)。
f=f0时，A=Am，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅越小。
3.阻尼振动
(1)阻尼振动：振动系统受到阻碍作用时，振幅随时间逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，能量向四周辐射出去，从而自身的机械能减少。
(2025·江苏盐城市三模)如图所示，三根轻质弹性细杆上端分别固定相同的小球、下端固定在一平板上。当平板固定时，杆越长，小球振动周期越大。若平板在周期性外力作用下左右振动并带动小球振动，在振动过程中小球B的振动幅度最大。则在周期性外力作用下( )
A.小球B振动周期最大
B.小球C振动周期最大
C.只有小球B的振动周期与平板振动周期相同
D.三个小球的振动周期均与平板振动周期相同
答案 D
解析 平板的往复振动对三个小球均施加周期性驱动力，所有被迫振动的小球的振动频率(周期)都最终等于驱动力的频率(周期)。当驱动力接近某个小球的固有频率时，该小球出现共振，振幅最大。小球B的固有频率与平板振动频率最接近，故振幅最大；但三个小球的实际振动周期都与平板的振动周期相同。故选D。
简谐运动、受迫振动和共振的比较

课时精练
[分值：46分]
[1~6题，每题4分]
1.(2025·广东卷·1)关于受迫振动和多普勒效应，下列说法正确的是
A.系统的固有频率与驱动力频率有关
B.只要驱动力足够大，共振就能发生
C.应用多普勒效应可以测量车辆的速度
D.观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率大
答案 C
解析 系统的固有频率只与系统本身有关，与驱动力频率无关，A错误；只有驱动力频率与系统固有频率相同时，共振才能发生，B错误；根据多普勒效应可知观察者与波源相互远离时，接收到的波的频率比波源的频率小，观察者与波源相互靠近时，接收到的波的频率比波源的频率大，所以应用多普勒效应可以测量车辆的速度，C正确，D错误。
2.(2026·江苏宿迁市检测)如图，是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息可知
A.质点在任意1 s内运动的路程为10 cm
B.质点相对于平衡位置的位移方向在1~2 s内跟瞬时速度的方向相同
C.质点在t=2 s时的速度为0
D.t=1.5 s时，质点的位移大小为52 cm
答案 D
解析 由题图可知，质点做简谐运动的周期为4 s，在任意1 s的时间内，如果初位置不是从最大位移处或平衡位置开始，则质点经过的路程不等于10 cm，故A错误；由题图可知，1~2 s内质点相对于平衡位置的位移方向沿纵轴正方向，瞬时速度的方向指向平衡位置，即沿纵轴负方向，二者方向相反，故B错误；由题图可知，质点在t=2 s时处于平衡位置，速度最大，故C错误；由题图可知，质点的振动方程为x=10sin(2πTt) cm=10sin(π2t) cm，则t=1.5 s时，质点的位移大小为52 cm，故D正确。
3.(2026·江苏省六合高级中学检测)图甲所示为上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器，其重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图乙所示。关于阻尼器的说法正确的是
A.振动周期越来越小
B.t=4 s时的动能为零
C.t=8 s时沿x轴负方向运动
D.t=10 s时加速度沿x轴负方向
答案 D
解析 由题图可知，振动周期不变，故A错误；t=4 s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误；t=8 s 时图线切线的斜率为正，则沿x轴正方向运动，故C错误；阻尼器振动的加速度方向指向平衡位置，由题图可知，t=10 s时加速度方向沿x轴负方向，故D正确。
4.(2025·江苏镇江市期中)如图所示，由轻弹簧和小球组成的弹簧振子，第一次放在光滑水平地面上，第二次竖直放置，O1、O2为两次的平衡位置。小球分别从A、B位置由静止释放，O1A=O2B，忽略空气阻力。经过相等的时间，下列物理量一定相同的是
A.加速度大小B.弹力大小
C.弹簧长度D.弹性势能
答案 A
解析 根据弹簧振子周期公式T=2πmk 可知两振子周期相等。根据题意知O1A=O2B，所以振幅相等，经过相等的时间，小球所受的回复力大小相等，根据F回=-kx=ma，可知加速度大小相等，A正确；因为在平衡位置时弹簧伸长量不相等，经过相等的时间，弹簧的形变量不相等，弹性势能不相同，弹簧的长度也不相同，根据胡克定律可知弹力的大小不相同，B、C、D错误。
5.质点A做简谐运动的位移—时间关系式为xA=4sin(50t-0.5π) m，质点B做简谐运动的位移—时间关系式为xB=4sin(50t+0.3π) m，下列说法正确的是
A.A的相位比B的相位总滞后0.2π
B.A、B的振动频率均为50π Hz
C.t=0时，A的加速度沿负方向最大
D.t=7π500 s时，B的加速度最小
答案 D
解析 A、B的振动频率相同，相位差恒定且为-0.8π，故A的相位比B的相位总滞后0.8π，故A错误；A、B的振动频率均为502π Hz=25π Hz，故B错误；t=0时，A的位移为负向最大，故加速度沿正向最大，故C错误；t=7π500 s时，B的位移为0，处在平衡位置，故B的加速度最小，故D正确。
6.(2024·北京卷·9)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2
答案 D
解析 由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，由牛顿第二定律得弹簧弹力大小为F=mg，A错误；由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，B错误；由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；由题图乙知T=0.8 s，则ω=2πT=2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin (2.5πt) m/s2，D正确。
[7、8题，每题4分]
7.(2025·甘肃卷·8改编)如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大
B.剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为g
C.小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为mgk
D.小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为2mgk
答案 C
解析 剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误；剪断细线之前F弹=3mg，剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律F弹-2mg=2ma，解得A的加速度a=g2，选项B错误；剪断细线之前弹簧伸长量x1=3mgk，剪断细线后A做简谐运动，在平衡位置时弹簧伸长量x2=2mgk，即振幅为A=x1-x2=mgk，由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为mgk，选项C正确；由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为3mgk，选项D错误。
8.(2025·江苏苏州市期末)简谐运动是一种简单、协调、自洽的运动，拥有完美的对称性，它的速度随位移变化图线应为
A B
C D
答案 B
解析 简谐运动过程中，根据能量守恒有12mv2+12kx2=C(常数)，整理得v22Cm+x22Ck=1，即满足v2a2+x2b2=C，则它的速度随位移变化图线为椭圆。故选B。
9.(10分)(2026·江苏省南京外国语学校一模)如图甲所示，光滑水平面上有一处于原长状态的轻质弹簧，其左端与一固定立柱相连，右侧与一静止的小球相连。现将小球向右拉至M点后，由静止释放小球。以O点为坐标原点，水平向右为x轴的正方向，小球向左经过O点时为t=0时刻，小球的运动图像如图乙所示。求：
(1)(2分)O、M两点间的距离；
(2)(3分)小球在0~2 024 s内的总路程；
(3)(5分)小球简谐运动的位移与时间的关系式。
答案 (1)5 cm (2)50.6 m (3)x=5sin(π4t+π) cm
解析 (1)O、M两点间的距离即为弹簧振子的振幅A，由题图乙可知
A=5 cm
(2)小球的振动周期为T=8 s
0~2 024 s内的总路程为
s=tT×4A=2 024s8s×4×5 cm
=5 060 cm=50.6 m
(3)根据ω=2πT=π4 rad/s
简谐运动的位移与时间的关系式为
x=Asin(ωt+φ)
由题图乙可知，t=2 s时x=-5 cm
代入位移与时间的关系式得
sin(π2+φ)=-1
故φ=π，
小球简谐运动的位移与时间的关系式
x=5sin(π4t+π) cm。
[4分]
10.(2025·江苏卷·10)如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则
A.释放瞬间，物块加速度为零
B.物块和木箱最终仍有相对运动
C.木箱第一次到达最右端时，物块速度为零
D.物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变
答案 D
解析 根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，物块受到向右的摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误；由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以系统的机械能会减少，直到物块与木箱不发生相对滑动，此时设物块与木箱之间的最大静摩擦力为Ff，物块质量为m，木箱质量为M，对物块根据牛顿第二定律Ff=ma，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律F=(m+M)a，可得F=(m+M)Ffm，即弹簧的最大弹力减小到F=(m+M)Ffm后，二者一起做简谐运动，故B错误；在二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次运动到最右端时物块速度不为零，故C错误；开始时木箱的加速度向右，物块与木箱第一次共速前，物块相对木箱向左运动，受到向右的滑动摩擦力，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。
考
情
分
析
试题情境
生活实践类
共振筛、摆钟、地震波、多普勒彩超等
学习探究类
简谐运动的特征、单摆的周期与摆长的定量关系、用单摆测量重力加速度、受迫振动的特点、共振的条件及其应用、波的干涉与衍射现象、多普勒效应
受力
特点
回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动
特点
靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小(填“增大”或“减小”)
能量
特点
对同一个振动系统，振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周
期
性
做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T2
对
称
性
(1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O点对称的两点P、P'(OP=OP')时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用的时间，即tPO=tOP'
(3)物体往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP=tPO
(4)相隔T2或(2n+1)T2(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
振动
项目
简谐运动
受迫振动
共振
受力情况
受回复力
受驱动力作用
受驱动力作用
振动周期、频率
由系统本身性质决定，即固有周期T0和固有频率f0
由驱动力的周期和频率决定，即T=T驱，f=f驱
T驱=T0，f驱=f0
振动能量
振动系统的机械能不变
由产生驱动力的物体提供
振动物体获得的能量最大
常见例子
弹簧振子或单摆(θ