河南省南阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省南阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共10页。试卷主要包含了保持卷面清洁，不折叠、不破损，，在复平面内，复数对应的点位于等内容，欢迎下载使用。
2026年春期高中一年级期终质量评估 数 学 试 题
注意事项：
1.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效， 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或 碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损，
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1.cs 210°的值为
A B C. D
2.在复平面内，复数对应的点位于
A. 第 一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. (北师大版必修2 P217 T2)若一个水平放置的等边三角形的边长为2,则其斜二测直观图 的面积为
A.√3 B C D
4.在锐角△ABC 中 ，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知角 ,a=4 ,则 b= A B.2 C D.3
5.已知 l, m,n 为三条不同的直线，α,β为两个不同平面，则下列说法正确的是
A. 若 m//n,n Ca, 则m//α
B. 若 m ⊥n,m⊥ a,n//β, 则 a ⊥β
C. 若 llm,lln, 且 ICa,mβ , nCβ 则 a⊥β
D. 若 m ⊥a,n⊥β,且l//m,l//n, 则 a//β
6.已知点同时是函数y=tanux 与y=csax 的对称中心，则w 的最小正整数值为 A.5 B.4 C.3 D.2
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7.如图，在△ABC 中 ,F 为线段BC 上的一点，AF∩BD=E, 若 E 为 AF 的中
点，则
A B
C. D.
8. 已知 sin(a+2β)+2sina=0, 且 tan(a+β)=1, 则 tanβ 的值为
A.1 B.2 C.3 D.4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知向量a=(1, 0),b=(1,1), 则
A.|a|=|b| B. a 与b 夹角为
C.(2a-b)⊥b D.b 在 a 上的投影向量为a
10. (北师大版必修 2 P249 T8)如图所示的圆锥PO 中 ，PO=√3,0O 的直径AB=2, 点 C
在AB上 ，,点D 为 AC 中点，则 A.AC⊥平面 POD
B. 圆锥的侧面积为 π
C. 异面直线OD 与 PC 的夹角为60°
D.PD 与平面ABC 夹角的正弦值
11.在△ABC 中，内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c, 则下列说法正确的是
A. 若△ABC 是锐角三角形，则sinA+sinB+sinC>csA+csB+csC
B. 若△ABC 是直角三角形，则 sinA=csB
,则△ABC 是钝角三角形
D. 当 a= 2,sinB=2sinC,A=2C 时，若0为△ABC 的内心，则△BOC 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. (北师大版必修2 P129 T5)一个物体在大小为50N的力F 的作用下产生大小为20m 的 位移s, 且力F 与s 的夹角为60°,则力F 所做的功 W= J.
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13.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,√2, √3,则此球的体积为
14. 在△ABC 中，角A 为锐角，若2+cs2A+cs2B=2sin²C, 则 csA+2csB+3csC 的最 大值为_
四、解答题：本大题共5小题，共计77分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
已知复数 ,z=csθ+isinθ,θ∈[0,π]
(1)若z₁+z₂ 为纯虚数，求θ的值；
(2)求|z1z₂|.
16. (15分)
(北师大版必修2 P237 T4)已知正三棱柱ABC—A₁B₁C,AB=2,AA₁=3,D 为 BC 的
中点.
(1)求证：A₁ B// 平面AC₁D;
(2)求点 B 到平面AC₁D 的距离.
17. (15分)
在△ABC 中 ，内角A,B,C 的对边分别为a ,b,c, 向量 ,n=(a,1), 且m// n.
(1)求A;
(2)若a=2, △ABC 的面积为 √3,求△ABC 的周长，
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18. (17分)
已知f(x)=cs(wx+φ)(w>0,0 csA, 三式相加得sin A+sin B+sinC>cs A+cs B+csC. 故 A 正确；
对于B: 若A或B 是直角，则sin A≠csB. 故 B 错误；
对于C: 在△ABC中，对于 ,由正弦定理得：
所以csB=2sin A>0,csA=3sin B>0,所以角A 、B 均为锐角；
而cSC=-cs(A+B)=-cSAcsB+sin Asin B=-6sin Asin B+sin Asin B=-5sin Asin B0, 所以csA=cs(B-C).
因为A,B,C 为三角形的内角，所以A=B-C 或 A=C-B.
由A+B+C=π, 所
以下略.
四、解答题
15. 解：(1)由 =2 =csθ+ isinθ, 得 ： . ……2 分 因为二+=2为纯虚数，所以 解得： ……6分
(2)(方法 一 )由 ,二 =csθ+isinθ, 得 ： . … 8分
……13分
……13分 (方法三) ……8分 因为=2=csθ+isinθ, 所以
……12分 所以 ……13分
16. 解：(1)证明：(方法一)连接A₁C交AC₁于E, 连接DE. ……1分
因为三棱柱ABC-A₁B₁C 为正三棱柱，所以AA₁C₁C为矩形，所以E 为AC 的中点.
因为点D 为BC 的中点，所以DE//AB. ……4分
因为DE C平面AC₁D,A₁B α 平面AC₁D, 所以A₁B// 平面AC₁D. ……6分
(方法二)取B₁C₁ 的中点F, 连接A₁F,BF, 可以证明平面A₁FB// 平面AC₁D, 即可得到A₁B// 平面AC₁D.
(2)(方法 一 )设点B 到平面AC₁ D 距离为h. 连接BC. ……7分
在正三棱柱ABC-AB₁C 中，由AB=2,AA=3, 点 D 为BC的中点，
因为AD⊥BC,AD⊥CC₁,BCnCC₁=C, 所以AD⊥平面BCC₁B₁, 则
因为AD=√3,C₁D=√CD²+CC²=√ 1²+3²=√ 10,
h
所以
又因为VA-BGD=VB-ADC, 所以 ,解得：
所以点B 到平面AC₁D的距离为
……9分
……11分
……13分
…… 15 分
(方法二)因为点D 为BC的中点，所以点B 到平面AC₁D 距离等于点C 到平面AC₁D 距离. ……7分
由正三棱柱ABC-AB₁C 中，点D 为BC 的中点，则AD⊥BC,A D⊥CC₁, 由
BCnCG=C, 可 得 ：AD⊥平面 BCC₁B₁ , 所以平面AC₁ D1 平面BCC₁B₁ .
过C 作CF⊥C₁D 于F, 则CF⊥ 平面AC₁D, 所以CF 即为C 到平面AC₁D 距离. ……10 分
在Rt△C₁CD 中 ，由CD=1,C₁C=3, 则CD= √CD²+CC²= √¹²+3²= √10.
又因为CF.C₁D=CD.C₁C , 所以,所以点B到平面AC₁D的距离为 ……15分
17. 解：(1)由 n =(a, 1), 且m// n 得：, … … 1分
(2)因为△ABC的面积为 √3,所以， 所以bc=4√3.……10 分 由余弦定理a²=b²+c²-2bc csA得：2²=b²+c²-√3bc, 所以b²+c²=16,……12 分
由正弦定理得：
……3分
因为A+B+C=π, 所以sinC=sin(A+B), 所以
整理化简得：csAsin B=√3 sin Asin B.
6分
……
因为B∈(0,π), 所以sin B≠0, 所以csA=√3sin A, 所以
7分
……
因为A∈(0,π), 所以
8分
……
所以b+c=√B²+c²+2bc=√ 16+83=√(2+2√3)=2+2√3……14 分 所以△ABC的周长为a+b+c=4+2√3.……15 分
(没有化成最简结果，答案是2+ √ 16+8 √ 3的扣1分)
18、解：(1) , 得 ：w=1, 即 f(x)=cs(x+4)……1 分
将代入f(x) 得： ,即,k∈Z,
因为0