河南省南阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版）

这是一份河南省南阳市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案（word版），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题 12，解答题等内容，欢迎下载使用。
本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评 分标准制定相应的评分细则.
一、选择题:
11. 【详解】对于 A: 由 △ABC 是锐角三角形知任意两角之和都大于 π2 ,所以 A+B>π2 ,即 A>π2−B . 而 A,π2−B∈0,π2 ,正弦函数在 0,π2 单调递增,所以 sinA>sinπ2−B=csB . 同理: sinB>csC , sinC>csA ,三式相加得 sinA+sinB+sinC>csA+csB+csC . 故 A 正确;
对于 B : 若 A 或 B 是直角,则 sinA≠csB . 故 B 错误;
对于 C : 在 △ABC 中,对于 csB2a=sinCc=csA3b ,由正弦定理得: csB2sinA=sinCsinC=csA3sinB . 所以 csB=2sinA>0,csA=3sinB>0 ,所以角 A、B 均为锐角; 而 csC=−csA+B=−csAcsB+sinAsinB=−6sinAsinB+sinAsinB=−5sinAsinB0 ,所以 csA=csB−C .
因为 A,B,C 为三角形的内角,所以 A=B−C 或 A=C−B .
由 A+B+C=π ,所以 B=π2 或 C=π2 .
以下略.
四、解答题
15. 解: (1) 由 z1=1+i2,z2=csθ+isinθ ,得: z1+z2=12+csθ+12+sinθi.⋯ 2 分
因为 z1+z2 为纯虚数,所以 12+csθ=012+sinθ≠0θ∈0,π ,解得: θ=2π3 . 6 分
(2)(方法一)由 z1=1+i2,z2=csθ+isinθ ，得: z1z2=12csθ−12sinθ+12csθ+12sinθi.⋯8 分
所以 z1z2=12csθ−12sinθ2+12csθ+12sinθ2=12=22 . 13 分
(方法二) z1z2=z1×z2=122+122×cs2θ+sin2θ=22 . 13 分
(方法三) z1=1+i2=22csπ4+isinπ4 . 8 分
因为 z2=csθ+isinθ ,所以
z1z2=22csπ4+isinπ4csθ+isinθ=22csπ4+θ+isinπ4+θ, 12 分
所以 z1z2=22 . 13 分
16. 解:(1)证明:(方法一)连接 A1C 交 AC1 于 E ，连接 DE . 1 分
因为三棱柱 ABC−A1B1C1 为正三棱柱,所以 AA1C1C 为矩形,所以 E 为 A1C 的中点.
因为点 D 为 BC 的中点,所以 DE//A1B . 4 分
因为 DE⊂ 平面 AC1D,A1B⊄ 平面 AC1D ,所以 A1B// 平面 AC1D . 6 分
(方法二) 取 B1C1 的中点 F ,连接 A1F,BF ,可以证明平面 A1FB// 平面 AC1D ,即可得到 A1B// 平面 AC1D .
(2)(方法一)设点 B 到平面 AC1D 距离为 h . 连接 BC1 . 7 分
在正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，由 AB=2,AA1=3, 点 D 为 BC 的中点，
则 S△BC1D=12⋅BD⋅CC1=12⋅12BC⋅AA1=32 . 9 分
因为 AD⊥BC,AD⊥CC1,BC∩CC1=C ,所以 AD⊥ 平面 BCC1B1 ,则
VA−BC1D=13⋅AD⋅S△BC1D=13×3×32=32 . 11 分
因为 AD=3,C1D=CD2+CC12=12+32=10 ,
所以 VB−ADC1=13⋅h⋅S△AC1D=13h×12⋅AD⋅C1D=306h . 13 分
又因为 VA−BC1D=VB−ADC1 ,所以 306h=32 ,解得: h=31010 ,
所以点 B 到平面 AC1D 的距离为 31010 . 15 分
(方法二) 因为点 D 为 BC 的中点,所以点 B 到平面 AC1D 距离等于点 C 到平面 AC1D 距离. 7 分

由正三棱柱 ABC−A1B1C1 中，点 D 为 BC 的中点，则 AD⊥BC ， AD⊥CC1 ，
由 BC∩CC1=C ,可得: AD⊥ 平面 BCC1B1 ,所以平面 AC1D⊥ 平面 BCC1B1 .
过 C 作 CF⊥C1D 于 F ,则 CF⊥ 平面 AC1D ,所以 CF 即为 C 到平面 AC1D 距离. 分
在 Rt△C1CD 中,由 CD=1,C1C=3 ,则 C1D=CD2+CC12=12+32=10 .
又因为 CF⋅C1D=CD⋅C1C ,所以 CF=31010 ,所以点 B 到平面 AC1D 的距离为 31010 . 15 分
17. 解: (1) 由 m=c,2sinB+π6,n=a,1 ,且 m//n 得: c=2asinB+π6 , 1 分
由正弦定理得: sinC=2sinAsinB+π6 . 3 分
因为 A+B+C=π ,所以 sinC=sinA+B ,所以 sinA+B=2sinAsinB+π6 ,
整理化简得: csAsinB=3sinAsinB . 6 分
因为 B∈0,π ,所以 sinB≠0 ,所以 csA=3sinA ,所以 tanA=33 . 7 分
因为 A∈0,π ,所以 A=π6 . 8 分
(2)因为 △ABC 的面积为 3 ，所以 S△ABC=12bcsinA=14bc=3 ，所以 bc=43 . 10 分
由余弦定理 a2=b2+c2−2bccsA 得: 22=b2+c2−3bc ,所以 b2+c2=16 , 12 分
所以 b+c=b2+c2+2bc=16+83=2+232=2+23 . 14 分
所以 △ABC 的周长为 a+b+c=4+23 . 15 分
(没有化成最简结果,答案是 2+16+83 的扣 1 分)
18、解:(1)由图知 −π6−−2π3=14T=14⋅2πω ，得: ω=1 ，即 fx=csx+φ . ... 1 分
将 −π6,1 代入 fx 得: cs−π6+φ=1 ，即 −π6+φ=2kπ，k∈Z ，
因为 0