2024-2025学年河南省南阳市部分学校高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市部分学校高一（下）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数(4+i)−(1+5i)的虚部为( )
A. −4B. 4C. −4iD. 4i
2.已知A(−2,1)，B(4,−5)，点P满足AP=12AB，则点P的坐标是( )
A. (−3,3)B. (−8,7)C. (1,−2)D. (10,−11)
3.函数f(x)=tan(2x−π12)的定义域为( )
A. {x|x≠7π24+kπ,k∈Z}B. {x|x≠13π24+kπ,k∈Z}
C. {x|x≠7π24+kπ2,k∈Z}D. {x|x≠π24+kπ2,k∈Z}
4.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法画出的直观图，其中A′B′=1，B′C′=3，则原四边形ABCD的周长为( )
A. 2 35+6B. 2 5+6C. 12D. 2 33+6
5.为了得到函数y=5sin(2x+3π8)的图象，可以将函数y=5cs2x的图象( )
A. 向右平移π16个单位长度B. 向右平移π8个单位长度
C. 向左平移π16是个单位长度D. 向左平移π8个单位长度
6.在正四棱锥P−ABCD中，AB=2，PA=2 2，点E是棱PC的中点，则三棱锥P−ADE的体积为( )
A. 2 73B. 2 63C. 73D. 63
7.在平行四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠DAB=π3，点E满足AE=13AB，点F是DE的中点，则AF⋅DB=( )
A. −12B. 12C. −34D. 34
8.已知三棱锥P−ABC的所有顶点都在表面积为283π的球的球面上，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，则直线PC与AB所成角的余弦值为( )
A. 26B. 24C. 36D. 34
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,3)，b=(3,−1)，下列命题中正确的有( )
A. a= 10 B. a//b C. a⊥b D. |a+b|=|a|+|b|
10.已知z1，z2∈C，设z1=1+i，z2=a+bi(a,b∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 若z1+z2∈R，则z2=−1−iB. 若z12+z22=0，则|z2|= 2
C. 若z1=1z2，则z2−=12+12iD. 若|z2|=2，则|z2+4|的最大值为8
11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD= 2AD，点E为线段PB上的动点(不包括端点)，则下列结论正确的是( )
A. 该四棱锥的体积为 23
B. 一定存在点E，使AE//平面PCD
C. 一定存在点E，使PB⊥平面ACE
D. AE+CE的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面直径为______．
13.已知角θ的终边上有一点P(2, 3)，则tan(2θ−π3)= ______．
14.如图，为了测量一条大河两岸A，B之间的距离，无人机升至ℎ米的空中沿水平方向飞行至C点进行测量，A，B，C在同一铅垂平面内.在C点测得A，B的俯角为α，β(β0)．
(1)若f(x)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间；
(2)若g(x)=f(x)−1在区间[0,π]上恰有两个零点，求ω的取值范围．
18.(本小题17分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AC=60°，AC=BC=AA1=2，AB=2 2，A1B⊥AC1．
(1)求证：平面ACC1A1⊥平面ABC；
(2)求直线A1B与平面ABC1所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y1),n=(x2,y2).作：OM=m，ON=n，当m,n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2−x2y1|；当m,n共线时，规定S(m,n)=0．
(1)已知m=(1,2),n=(2,4)，求S(m,n)；
(2)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，求证：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(3)记OA=a,OB=b,OC=c，且满足c=λa+μb(λμ>0,λ,μ∈R),a⊥b,|a|=|b|=|c|=1，求S(c,a)+S(c,b)的最大值．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：复数(4+i)−(1+5i)=3−4i的虚部为−4．
故选：A．
利用复数的减法运算求解即可．
本题考查复数的基本概念，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：设P(x,y)，则AP=(x+2,y−1)，AB=(6,−6)，
∴由AP=12AB得：(x+2,y−1)=(3,−3)，
∴x+2=3y−1=−3，解得x=1y=−2，
∴P(1,−2)．
故选：C．
可设P(x,y)，然后根据AP=12AB即可求出x，y的值，从而得出点P的坐标．
本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的数乘运算，是基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由f(x)=tan(2x−π12)，得2x−π12≠π2+kπ，k∈Z，
解得x≠7π24+kπ2，k∈Z，所以f(x)的定义域为{x|x≠7π24+kπ2,k∈Z}．
故选：C．
根据函数的解析式列出函数有意义时需满足的不等式，即可求得答案．
本题考查了正切函数的定义域应用问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解，根据题意，直观图中，A′B′=1，B′C′=3，∠A′O′B′=45°，
则O′A′= 2，
将直观图还原为原图，如图，
则OA=2O′A′=2 2,OB=1,BC=3，
所以AB=CD= OA2+OB2=3，
所以原四边形ABCD的周长为12．
故选：C．
由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解．
本题考查平面图形的直观图，涉及斜二测画法，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：将函数y=5cs2x的图象向右平移π16个单位长度，可得函数y=cs(2x−π8)的图象，
又y=5sin(2x+3π8)=2sin(2x−π8+π2)=2cs(2x−π8)=2cs2(x−π16)=2cs(2x−π8).
故选：A．
利用诱导公式化简y=5sin(2x+3π8)，再根据平移变换的规律即得．
本题主要考查了正弦函数图象的平移变换，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：记AC∩BD=O，连接PO，
则PO即为棱锥的高，
又AB=2，PA=2 2，
所以AO=12AC=12 22+22=12 8= 2，PO= (2 2)2−( 2)2= 6，
因为点E是棱PC的中点，
所以VP−ADE=VE−PAD=12VC−PAD=12VP−ADC=12×13S△ADC⋅PO
=12×13×12×2×2× 6= 63．
故选：D．
根据棱锥的体积公式求解即可．
本题考查锥体的体积计算，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB=3, AD=2, ∠DAB=π3，点E满足AE=13AB，点F是DE的中点，
因为AE=13AB且点F是DE的中点，
所以根据中点向量可得AF=12(AD+AE)=12(AD+13AB)=12AD+16AB，
根据平面向量的减法法则可得DB=AB−AD，
所以AF⋅DB=(12AD+16AB)⋅(AB−AD)
=−12AD2+13AD⋅AB+16AB2
=−12|AD|2+13|AD|⋅|AB|csπ3+16|AB|2=−12×22+13×2×3×12+16×32=12．
故选：B．
用AD、AB作为基底表示出AF、BD，再由数量积的运算律及定义计算可得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设球的半径为R，所以4πR2=283π，解得R= 213，
设△ABC的外接圆的半径为r，所以2r=ABsin∠ACB=2sin60∘，
解得r=2 33，
根据球心的性质，假设底面△ABC的外接圆的圆心为O1，
则外接球的球心O一定满足OO1⊥平面ABC，
又由于OA=OP，取PA的中点为D，连接OD，则OD⊥PA，
又因为PA⊥平面ABC，所以OO1//PA，
而AO1⊂平面ABC，所以PA⊥AO1，则OD//AO1，
即四边形ODAO1是矩形，所以OO1=12PA，
则由勾股定理得：R= r2+(PA2)2，即 213= (2 33)2+(PA2)2，
解得PA=2，
再取PB，BC的中点E，F，连接DE，EF，DF，AF，
因为PA⊥平面ABC，又AC，AF⊂平面ABC，
所以PA⊥AC，PA⊥AF，
在等边△ABC中，AB+BC+AC=2，
所以AF=ABsin60°= 3，
所以DF= AD2+AF2=2，PC= 22+22=2 2，
又D，E，F分别为PA，PB，BC的中点，
所以DE=12AB=1，EF=12PC= 2，
又因为DE/​/AB，EF/​/PC，
所以∠DEF为直线PC与AB所成的角或其补角，
由余弦定理得cs∠DEF=ED2+EF2−DF22ED⋅EF=1+2−42 2=− 24，
即直线PC与AB所成角的余弦值为 24．
故选：B．
利用外接球的体积公式和球心的几何性质，可利用球的半径来求出AP的长，再利用中位线平移思想来计算异面直线所成角的余弦值．
本题考查球的性质的应用及直线与直线所成的角的余弦值的求法，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，向量线性运算的坐标表示，向量模的坐标表示，向量平行(共线)关系的坐标表示，属于基础题．
根据向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示求得结果．
【解答】
解：对于A，向量a=(1,3)，
所以|a|= 32+1= 10，故A正确；
对于B，a=(1,3)，b=(3,−1)，
因为1×(−1)−3×3=−10≠0，故B错误；
对于C，a=(1,3)，b=(3,−1)，
因为a⋅b=1×3+3×(−1)=0，
所以a⊥b，故C正确；
对于D，a+b=(4,2)，
|a+b|= 42+22=2 5，
|a|= 10，|b|= 10，
|a+b|≠|a|+|b|，故D错误．
故选：AC．
10.【答案】BC
【解析】解：A选项，设z2=2−i，显然满足z1+z2∈R，但z2≠−1−i，A选项错误；
B选项，由z12+z22=0，得(1+i)2+(a+bi)2=0，所以a2−b2+2(1+ab)i=0，
则a2−b2=0,1+ab=0,解得a=1b=−1或a=−1b=1，所以|z2|= 2，B选项正确；
C选项，由z1=1z2，得z2=1z1=11+i=12−12i，所以z2−=12+12i，C选项正确；
D选项，若|z2|=2，则复数z2对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
|z2+4|表示圆上的点与点(−4,0)的距离，则距离的最大值为4+2=6，D选项错误．
故选：BC．
对于A，举反例即可；对于B，根据条件求出a，b即可得解；对于C，先求出z2，进一步得z2−即可判断；对于D，由复数的几何意义即可判断．
本题考查了复数的几何意义，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，PD= 2AD，
所以该四棱锥的体积为V=13S▱ABCD⋅PD=13×1× 2= 23，故A正确；
假设AE/​/平面PCD，则过点E作BC的平行线，交PC于点F，连接DF，
由于平面ADFE∩平面PCD=DF，所以AE/​/DF，
又因为EF/​/BC，AD//BC，所以EF/​/AD，从而可得四边形ADFE是平行四边形，
即EF=AD，又因为BC=AD，所以EF=BC，
由于点E为线段PB上的动点，则E与点B重合，
而点E为线段PB上的动点(不包括端点)，则假设不成立，故B错误；
根据PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，
可知直角三角形PAB与直角三角形PCB全等，
若AE⊥PB，则必有CE⊥PB，由CE∩AE=E，CE，AE⊂平面ACE，
所以必有PB⊥平面ACE，故C正确；
根据PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，
可知直角三角形PAB与直角三角形PCB全等，且PA=PC= 3,PB=2，
则cs∠ABP=12⇒∠ABP=π3，
然后把直角三角形PAB与直角三角形PCB展开成一个平面，则如下图：
所以有AC2=1+1−2cs2π3=3，
即AE+CE的最小值为AC= 3，故D错误．
故选：AC．
利用锥体体积公式判断A，利用线面平行的性质定理可判断B，利用线线垂直可证明线面垂直可判断C，利用侧面展开图来计算长度可判断D．
本题考查立体几何的综合运用，属中档题．
12.【答案】83
【解析】解：由题意圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为120°的扇形，
可得扇形的弧长L=|α|R=2π3×4=8π3，
设该圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=L，
即2πr=8π3，得2r=83，即该圆锥的底面圆的直径为83．
故答案为：83．
根据扇形的弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，建立方程，解之即可求解．
本题考查了圆锥的结构性质，是基础题．
13.【答案】3 313
【解析】解：由三角函数的定义，可得tanθ= 32，
所以tan(θ−π6)=tanθ−tanπ61+tanθtanπ6= 32− 331+ 32× 33= 39，
可得tan(2θ−π3)=2tan(θ−π6)1−tan2(θ−π6)=3 313．
故答案为：3 313．
根据三角函数的定义求得tanθ= 32，结合两角差的正切公式与二倍角公式求得tan(2θ−π3)的值．
本题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式与二倍角公式等知识，考属于基础题．
14.【答案】ℎsin(α−β)sinαsinβ
【解析】解：由条件知∠ABC=β，∠ACB=α−β，过C作CD垂直于直线AB，垂足为D，
在Rt△ACD中，AC=ℎsinα，
在△ABC中，ABsin∠BCA=ACsin∠ABC，
所以AB=ACsin(α−β)sinβ=ℎsin(α−β)sinαsinβ．
故答案为：ℎsin(α−β)sinαsinβ．
根据已知及正弦定理有AC=ℎsinα、ABsin(α−β)=ACsinβ，即可求AB．
本题考查正弦定理的应用，直角三角形性质的应用，属于中档题．
15.【答案】csα=− 55，sinα=2 55；
− 55．
【解析】解：(1)因为α为第二象限角，且tanα=−2，
所以csα=− 11+tan2α=− 15=− 55，
sinα=tanαcsα=2 55；
(2)sin(3π−α)cs(5π+α)cs(7π2−α)=sinα(−csα)−sinα=csα=− 55．
(1)结合同角基本关系即可求解；
(2)结合诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】2π3；
2 7．
【解析】解：(1)因为c2+ab=(a+b)2，所以c2+ab=a2+2ab+b2，
整理得：a2+b2−c2=−ab，
所以由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=−ab2ab=−12．
又因为00，所以2π2ω=π，
解得ω=1，所以f(x)=2sin(2x−π6)，
令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ, π3+kπ](k∈Z)．
(2)令g(x)=0，得sin(2ωx−π6)=12，
当x∈[0,π]时，−π6≤2ωx−π6≤2πω−π6，
又g(x)在区间[0,π]上恰有两个零点，即sin(2ωx−π6)=12有两解，
所以5π6≤2πω−π6