第44讲 立体几何中的截面问题 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】

这是一份第44讲 立体几何中的截面问题 分类练习-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）【含解析】
考法2：四点共面与三线共点证明及截面作法 PAGEREF _Tc236389289 \h 3
考法3：正方体中截面相关的线面平行与垂直证明 PAGEREF _Tc236389290 \h 4
考点二：截面图形的形状与几何量计算 PAGEREF _Tc236389291 \h 5
考法4：结合线面垂直判断多面体截面形状 PAGEREF _Tc236389292 \h 5
考法5：多面体截面周长与面积的常规计算 PAGEREF _Tc236389293 \h 5
考法6：利用线面平行与几何体特征求解截面面积 PAGEREF _Tc236389294 \h 7
考法7：空间向量法求解截面面积与周长 PAGEREF _Tc236389295 \h 9
考法8：距离平方和定值推导正四面体截面位置及面积 PAGEREF _Tc236389296 \h 11
考法9：多面体截面相关空间角的综合计算 PAGEREF _Tc236389297 \h 11
考法10：等体积法求解截面相关的空间距离 PAGEREF _Tc236389298 \h 13
考法11：正方体中动点截面形状及面积周长的综合判断 PAGEREF _Tc236389299 \h 14
考点三：截面分割几何体的体积问题 PAGEREF _Tc236389300 \h 15
考法12：多面体被截面分割的体积及体积比计算 PAGEREF _Tc236389301 \h 15
考法13：截面面积比与体积比的综合运用 PAGEREF _Tc236389302 \h 16
考法14：截面分割多面体的体积比最值求解 PAGEREF _Tc236389303 \h 17
考点四：球的截面问题 PAGEREF _Tc236389304 \h 18
考法15：利用截面圆半径及球心距求解球表面积与体积 PAGEREF _Tc236389305 \h 18
考法16：球缺体积公式求解多面体与球的公共部分体积 PAGEREF _Tc236389306 \h 18
考法17：多面体外接球截面面积与距离的最值求解 PAGEREF _Tc236389307 \h 19
考法18：球的截面构成的多面体体积最值求解 PAGEREF _Tc236389308 \h 20
考法19：多面体截面与内切球截面圆面积最值求解 PAGEREF _Tc236389309 \h 21
考点五：圆柱、圆锥的截面问题 PAGEREF _Tc236389310 \h 21
考法20：圆锥截面曲线离心率与最值求解 PAGEREF _Tc236389311 \h 21
考点六：空间动点轨迹与截面个数问题 PAGEREF _Tc236389312 \h 24
考法21：结合截面或表面展开图求解动点轨迹长度与最短路径 PAGEREF _Tc236389313 \h 24
考法22：空间直角坐标系求解动点轨迹圆面积 PAGEREF _Tc236389314 \h 26
答案速查表
考点一：截面的作法与线面关系证明
考法1：利用平行与相交关系作多面体截面
1.（2026·广东汕头·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD//BC，PB⟂AD，AD=2BC=6，AB=PA=PB=4，CD=5，点E、F分别为棱PD、AD的中点.
（2）请作出四棱锥P−ABCD过B、E、F三点的截面，并求出截面图形周长；
【答案】12
【解析】连接AC交BF于点N，连接CF，取PC中点G，连接BG,GE，
∵AF//BC,AF=BC
∴四边形BCFA为平行四边形
∴点N为AC中点，
∴GN//PA,EF//PA,GN=12PA,EF=12PA，
∴GN//EF,GN=EF，∴四边形EFNG为平行四边形,则GE//BF，
∴点G∈平面BEF，故四边形BEFG即为所求截面，
∵BC⟂平面PAB
∴BC⟂PB,△PBC为直角三角形，BC//DF,BC=DF，故四边形BCFD为平行四边形，
所以，四边形BEFG周长为：BG+GE+EF+BF=12PC+12CD+12PA+CD=52+52+2+5=12；
【点拨】本题考查了利用平行与相交关系作多面体截面.通过寻找平行线和交点，逐步构建出截面多边形，再结合几何性质计算周长..
2.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，M是A1B1的中点，点N在棱CC1上，且CN=2NC1.作出过点D，M，N的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面，写出作法；
【答案】见解析
【解析】如图所示，五边形DQMFN即为所求截面.
作法如下：连接DN并延长交D1C1的延长线于点E，
连接ME交B1C1于点F，交D1A1的延长线于点H，
连接DH交AA1于点Q，连接QM,FN，
所以五边形DQMFN即为所求截面.
【点拨】本题考查了正方体截面的作法.利用延长线寻找交点，进而确定截面与各面的交线，是作截面的基本方法..
考法2：四点共面与三线共点证明及截面作法
3.（2026·湖北六校·联考）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BB1，BC，CD，DD1的中点.
（1）求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为α，在图中画出平面α与该正方体各面的交线（不必说明画法和理由）；
（2）求证：A1E，DF，AB三线共点.
【答案】见解析
【解析】（1）如图①，连接BD,EH,FG，
因为E,H分别是棱BB1,DD1的中点，所以EH//BD，
又F,G分别是棱BC,CD的中点，所以FG//BD，
故EH//FG，
所以E,F,G,H四点共面.
平面α与该正方体各面的交线如图①（多边形EFGHIJ）所示.
（2）如图②，易知EF//B1C//A1D，且EF≠A1D，所以A1E与DF必相交，设交点为P，
又由P∈DF,DF⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD，
同理P∈平面A1B1BA，
又因为平面A1B1BA∩平面ABCD=AB，所以P∈AB，
所以A1E,DF,AB三线共点.
【点拨】本题考查了四点共面与三线共点的证明.利用平行线传递性证明共面，利用两个平面的交线唯一性证明三线共点是常用策略..
考法3：正方体中截面相关的线面平行与垂直证明
4.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为棱CC1的中点.
（1）证明：AC1//平面BDE.
【答案】见解析
【解析】证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，
因为ABCD是正方形，所以O为AC的中点，又E为棱CC1的中点，
所以OE//AC1，OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，
所以AC1//平面BDE.
【点拨】本题考查了线面平行的证明.通过构造三角形中位线找到平行关系，进而利用线面平行的判定定理完成证明..
考点二：截面图形的形状与几何量计算
考法4：结合线面垂直判断多面体截面形状
5.（2026·江西九江·二模）（多选）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点P是棱AA1上的动点（不含端点），过点D1,B,P作长方体的截面，并将长方体分成上下两部分，体积分别为V1,V2，则
A. 截面是平行四边形
B. 若A1PPA=23，则V1V2=23
C. 存在点P，使得截面为长方形
D. 截面的面积存在最小值2305
【答案】AD
【解析】对于A，过点B作BQ//PD1，交棱CC1于Q，连接D1Q，
则四边形PBQD1为平行四边形，A正确；
对于B，因为截面分成的两部分几何体对应棱的棱长相等，所以两个几何体完全相同，体积相等，B错误；
对于C，设AP=x(0