云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷含解析（word版）

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【详解】由题知, A=x∣x20⇒−1,1=m3,λ⇒−1=3m1=mλ , 因为 m>0 ,所以方程组无实数解,
因此选项 B 正确;
由 a//b ,所以有 a=nb⇒−1,1=n3,λ⇒−1=3n1=nλ⇒n=−13λ=−3 ,
所以选项 C 不正确;
因为 a=−12+12=2 ,所以与 a 共线的单位向量为 12−1,1,−12−1,1 ,
即 e=−22,22 或 e=22,−22 ,所以选项 D 不正确,
故选: AB
10. BC
【分析】根据题意, 由互斥事件的定义分析 A, 由相互独立事件的定义分析 B, 由古典概型的计算公式分析 C、D，综合可得答案.
【详解】根据题意, 从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球, 则
Ω={1,2、1,3、1,4、2,3、2,4、3,4},
A={1,3、1,4、2,3、2,4},B={1,2、1,4、2,3、3,4} ,
C={2,3、2,4、3,4}
AB={1,4、2,3},AC={2,3、2,4},BC={2,3、3,4} ,
ABC={2,3}
所以有 PA=46=23,PB=46=23,PC=36=12 ,
PAB=26=13, PAC=26=13, PABC=16,
对于 A,AB={1,4、2,3} ,事件 A、B 可以同时发生,则 A、B 不互斥, A 错误;
对于 B,PAPC=PAC,A、C 相互独立, B 正确;
对于 C,PAB+PAC=PA,C 正确;
对于 D,PABC≠PAPBPC,D 错误.
故选: BC.
11. BCD
【分析】A. 首先判断 MA1 和 MB 的关系,即可判断 A ; B. 将三角形 ABA1 和三角形 A1BC 展成一个平面,根据
PA+PC≥AC ，即可求解；C. 利用补体法，求四面体外接球的半径，即可判断 C；根据几何关系，判断 BD1⊥ 平面 A1C1D ,判断 D .
【详解】对于 A. 如图, MA1=A1C12+MC12=3,MB=BC2+CM2=5 ,
MA1≠MB ,所以当点 P 是 A1B 的中点时, MP 与 A1B 不垂直,故 A 错误;

对于 B. 如图,等腰直角三角形 ABA1 和直角三角形 A1BC 展成一个平面,当 A,P,C 三点共线时,此时 PA+PC 最小,为 AC ,
AB=BC=2,∠ABC=45∘+90∘=135∘,
AC=22+22+2×2×2×22=22+2 ,故 B 正确;

对于 C. 四面体 ABDM 的外接球和四棱锥 M−ABCD 是同一个外接球,
可以将四棱锥补成如图的长方体 ABCD−ENMF ,
所以外接球的直径 2R=22+22+12=3 ,即 R=32 ,
所以外接球的体积 V=43πR3=92π ,故 C 正确;

对于 D. 如图, AB⊥ 平面 ADD1A1,A1D⊂ 平面 ADD1A1 ,所以 AB⊥A1D ,
且 A1D⊥AD1 ,且 AB∩AD1=A ,且 AB,AD1⊂ 平面 ABD1 ,所以 A1D⊥ 平面 ABD1 ,
BD1⊂ 平面 ABD1 ,所以 A1D⊥BD1 ,
同理 A1C1⊥BD1 ,
且 A1D∩A1C1=A1 ,且 A1D,A1C1⊂ 平面 A1C1D ,
所以 BD1⊥ 平面 A1C1D,BD1⊂ 平面 BMD1 ,所以平面 BMD1⊥ 平面 A1C1D ,故 D 正确.

12. −4,8
【分析】利用倍角公式化简后换元求值域
【详解】利用 cs2x=2cs2x−1 ,代入原函数: fx=2cs2x−1−6csx+1=2cs2x−6csx .
令 t=csx,t∈−1,1 ,则原函数转化为: y=2t2−6t,y 为开口向上的二次函数,对称轴 t=−b2a=−−62×2=32 ;
对称轴 t=32 在区间 −1,1 的右边,即 y=2t2−6t 在 −1,1 单调递减.
当 t=1 (即 csx=1 )时, ymin=−4 ; 当 t=−1 (即 csx=−1 )时, ymax=8 ,
所以函数 fx 的值域为 −4,8
13. 1
【分析】设正 △SAB 的边长为 2,求出圆锥底面圆半径、高、母线及球的半径,再利用体积、表面积公式计算即得.
【详解】依题意,设正 △SAB 的边长为 2,则圆锥 SO1 的底面圆半径为 1,高为 3 ，母线长为 2, 因此 V1=13π×12×3=33π,S1=π×12+π×1×2=3π , 球 O2 半径即为正 △SAB 的边心距 33 ，因此 V2=43π×333=4327π,S2=4π×332=43π ， 所以 V1V2⋅S2S1=94×49=1 .
故答案为: 1
14. 2,+∞
【分析】由题可得 fxmin=0 ,故原问题转化为存在 x2∈12,3 ,使得 ℎx22 ,
综上可得实数 m 的取值范围为 2,+∞ .
故答案为: 2,+∞ .
15. (1)0.3
(2)121
(3) 35 .
【分析】(1)频率分布直方图中各小长方形面积为概率, 其和为 1 , 由此可求解;
(2)利用组中值根据求均值的计算方法可求平均分:
(3)先按分层抽样确定 [110,120) 分数段与 [120,130) 分数段的人数各为 2 人和 4 人，从中任取 2 人共有 15 种基本事件, 其中 2 人皆在分数段 [120,130) 内包含 6 种基本事件, 因此至多有 1 人在分数段 [120,130) 包含 15-6=9 种基本事件, 从而可求概率
【详解】(1)分数在 [120,130) 内的频率为
1−0.1+0.15+0.15+0.25+0.05=1−0.7=0.3 .
(2)估计平均分为
x=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121 .
(3)由题意， [110,120) 分数段的人数为 60×0.15=9 (人)
在 [120,130) 分数段的人数为 60×0.3=18 (人).
不用分层抽样的方法在分数段为 [110,130) 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,
∴ 需在 [110,120) 分数段内抽取 2 人，并分别记为 m,n ；
在 [120,130) 分数段内抽取 4 人，并分别记为 a,b,c,d ；
设“从样本中任取 2 人，至多有 1 人在分数段 [120,130) 内”为事件 A ，
则基本事件共有 {m,n},{m,a},⋯{m,d},{n,a},⋯{n,d},{a,b},⋯{c,d} ,共 15 个.
则事件 A 包含的基本事件有 {m,n},{m,a},{m,b},{m,c},{m,d},{n,a},{n,b},{n,c},{n,d} ,共 9 个.
∴PA=915=35 .
16. 1334
(2) AD=212
【分析】(1) 利用正弦定理求出 ∠BAC=π6 ，从而得到 B=π6 ，最后利用三角形面积公式即可:
(2)首先求得 CD=12BC=32 ，再利用余弦定理即可.
【详解】(1)在 △ABC 中，由正弦定理得 ABsinC=BCsin∠BAC ，
所以 3sin2π3=3sin∠BAC .
解得 sin∠BAC=12 .
因为 C=2π3 ,所以 ∠BAC∈0,π3 ,
所以 ∠BAC=π6 ,
所以 B=π6 .
又 AB=3,BC=3 ,
所以 △ABC 的面积 S=12AB×BC×sinB=334 .
(2)在 △ADC 中， AC=BC=3,C=2π3 ，因为 D 是 BC 中点，
所以 CD=12BC=32 ,由余弦定理,得
AD2=AC2+CD2−2AC⋅CD⋅csC
=3+34−2×3×32×−12=214 .
所以 AD=212 .
17. (1)
由菱形 AA1C1C 可得 AC1⊥A1C ,
∵ 平面 AA1C1C⊥ 平面 ABB1A1 ,平面 AA1C1C∩ 平面 ABB1A1=AA1 ,
又正方形 ABB1A1 中 A1B1⊥AA1 ,
∴A1B1⊥ 平面 AA1C1C ,又 AC1⊂ 平面 AA1C1C,∴A1B1⊥AC1,∵A1B1∩A1C=A1,A1B1,A1C⊂ 平面 CA1B1 , ∴AC1⊥ 平面 CA1B1 .
(2) 277
【分析】(1) 利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.
(2)过 C 作 CH⊥AA1 于 H ，过 H 作 HK⊥BB1 于 K ，连接 CK ，利用线面垂直的性质定理得出 ∠CKH 为二面角 C−BB1−A 的平面角，在 Rt△CHK 中直接求解即可.
【详解】(1)略
(2)过 C 作 CH⊥AA1 于 H ，则 CH⊥ 平面 ABB1A1 .
过 H 作 HK⊥BB1 于 K ,连接 CK ,
因 BB1⊂ 平面 ABB1A1 ,则 CH⊥BB1 ,
又 CH,HK⊂ 平面 CHK,CH∩HK=H ,故 BB1⊥ 平面 CHK ,
又 CK⊂ 平面 CHK ,所以 BB1⊥CK ,
故 ∠CKH 为二面角 C−BB1−A 的平面角,
在 Rt △CHK 中,设 AC=a,AA1=AB=a,∠CAA1=60∘ ,
∴CH=3a2,HK=AB=a,CK=CH2+HK2=7a2,∴cs∠CKH=a7a2=277 .
即二面角 C−BB1−A 的余弦值为 277 .

18. (1) a=−3,b=2
(2)①9; ② 3−22,3+22
【分析】(1)利用不等式的解集结合一元二次方程根和系数的关系求解即可;
(2)①利用基本不等式中“1”的应用求解即可; ②把 fx>1 转化为 ax2+b−2x+2>0 在 R 上恒成立，利用判别式求解即可.
【详解】(1)若不等式 fx>0 的解集 −1,1 ,
则 a0,b>0 ，则 1a+4b=1a+4ba+b=5+ba+4ab≥5+24=9 ，
当且仅当 ba=4ab ,即 b=23,a=13 时,等号成立.
故 1a+4b 的最小值为 9,
② fx=ax2+b−2x+3>1 在 R 上恒成立,
即 ax2+b−2x+2>0 在 R 上恒成立,
故 Δ=b−22−8a=1−a−22−8a0 ,
解得: 3−22