云南省玉溪市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份云南省玉溪市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题：，则；命题：，则．下列说法正确的是（ ）
A．和都是真命题B．和都是真命题
C．和都是真命题D．和都是真命题
4．已知，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．6
5．设，是两个相互独立的随机事件，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知是周期为6的偶函数，当时，，则不等式在上的解集为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．设，，，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，为的共轭复数，则（ ）
A．B．C．D．
10．把函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数的图象关于点对称
11．（多选题）如图，在棱长为3的正方体中，是的中点，点在四边形的内部和边上运动，则下列说法正确的是（ ）

A．当为的中点时，平面
B．当点与点重合时，直线与所成角为
C．若二面角的平面角，则点的轨迹长度为3
D．若点满足，则三棱锥的体积为定值
三、填空题
12．幂函数在区间上单调递减，则实数__________．
13．当前全球粮食供需形势复杂，保障粮食安全是我国重要战略任务．如图，储粮筒仓由两个全等的圆台和一个圆柱拼接而成，上下进出料口（即圆台上底面）预留孔洞用于安装闸门，不计入仓体用料，其余侧面均需用料．已知圆柱底面周长为米，高为12米，圆台下底面半径与圆柱底面半径相等，上底面半径为2米，高为3米，则建造粮仓仓体所需材料总面积为__________平方米．（结果保留）

14．在中，，，若是的中点，则__________．
四、解答题
15．近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图，已知成绩在的频数是30．

(1)求图中，的值；
(2)该校计划给成绩排名前25%的学生颁发优秀奖，请根据样本数据，估计获奖学生的最低分数；
(3)学校计划从竞赛成绩在和两组学生中，按比例分层抽样抽取5人进行访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求至少有1人成绩在的概率．
16．某校中午下课就餐高峰期，食堂排队人数一开始增长很快，随后增速变慢（在就餐时间内）．经观测下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人．排队人数与下课时间（单位：分钟）的关系有两种函数模型可供选择：
①，②，其中，均为常数．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)若食堂排队人数上限为70人，预计最早在下课几分钟食堂排队人数达到上限？
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点，平面底面．
(1)证明：；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．
18．函数的部分图象如图所示，点的坐标为．
(1)求函数的解析式；
(2)讨论函数在的单调性；
(3)在中，角，，所对的边分别为，，，为上一点，为（锐角）的角平分线，，，且，求的面积．
19．对于函数，若存在实数，使得为上的偶函数，则称是位差值为的“位差偶函数”．
(1)判断函数和是否是位差偶函数，并说明理由；
(2)若是位差值为的位差偶函数，求的值；
(3)若对于，不是位差值为的位差偶函数，求实数的取值范围．
《云南玉溪市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案
1．D
解析:由，解得或，所以，
又，所以.
2．A
解析:由题意可知：.
3．B
解析:当时，，此时对任意，均有，不满足，
因此命题为假命题，故为真命题.
已知，对因式分解可得：.
由得，，因此，即，故命题为真命题，为假命题.
综上，和都是真命题.
4．D
解析: 已知，因此，将原式变形为： ，
根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立；
令，，二者均为正实数，代入得：
因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去），
符合取值要求， 故的最小值为6.
5．C
解析:因为，相互独立，所以，
所以.
6．C
解析:如下图，因为三棱锥中，，，，
，可以将三棱锥补成正方体，
三棱锥的外接球就是边长为2的正方体的外接球，
该三棱锥的外接球的半径为，
所以该三棱锥的外接球的体积为.
7．A
解析:当时，令，解得，即有，
若，则，故，
若，则，故；
由为偶函数，即，
若，则，故；
由周期为，故，
若，则，故，
；
若，则且或且，
故不等式的解集为.
8．B
解析:由题意可得，，则，
则.
9．BD
解析:由，得，A错误，B正确；
，C错误；
，D正确.
10．BC
解析:由平移规则得, ，
正弦函数的对称轴满足，对应函数值为，
对称中心满足，对应函数值为.
选项A，代入得，，不是对称轴.
选项B，代入得，为最小值，是对称轴.
选项C，代入得，，故是对称中心.
选项D，代入得，，不是对称中心.
11．ACD
解析:对于选项A，取的中点，连，则，因为平面，
平面，所以平面.
又是的中点，所以，平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，故选项A正确；

对于选项B，当点与点重合时，连接，则，
则（或补角）为异面直线与所成角，因为，
所以为等边三角形，所以，故选项B错误；

对于选项C，连接，因为底面，所以，
所以为二面角的平面角，且，
因为点在四边形内部及边界，且二面角的平面角，
所以点在边上，所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为3，故选项C正确；
对于选项D，连，可以证明平面，
因为点满足，所以点在垂直平分的平面内，记该平面为，
则平面平面，又点在平面内，所以点在平面与平面的交线上，设平面平面，
则平面，所以直线上任意一点到平面的距离相等，
又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项D正确.

12．
解析: 根据幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，其的系数必须为，因此有： ，
整理得一元二次方程，因式分解得，解得或；
幂函数在上单调递减的充要条件是指数，即，
当时，，此时在上单调递增，不符合题意，舍去；
当时，，此时在上单调递减，符合题意，
综上，实数.
13．
解析:设圆柱的底面半径为，则圆台的下底面半径为，则，解得，
圆柱的侧面积为，
圆台的母线长为，故圆台的侧面积为，
所以建造粮仓仓体所需材料总面积为.
14．0
解析:因为表示方向上的单位向量，表示方向上的单位向量，
所以可化为，即，
因为，
取边的中点为，
则，所以，
即，所以，
所以为等边三角形，
若是的中点，则，所以.

15．(1)
(2)82.5
(3)
解析:（1）由题意可知，样本容量为100，成绩在的频数是30，
所以成绩在的频率为，由频率分布直方图可知，组距为10，所以
由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，得
，解得.
（2）成绩排名前25%的学生，即成绩位于第75百分位数及以上的学生.
由（1）可知，因为成绩在的频率为，成绩在的频率为，
而，所以获奖学生的最低分数在内.
设获奖学生的最低分数为，则，解得.
所以估计获奖学生的最低分数为分.
（3）成绩在和两组的频率分别为和，比例为
按分层抽样抽取5人，则成绩在组抽取人，记为；
成绩在组抽取人，记为.
从这5人中随机抽取2人，样本空间，共10个样本点.
设事件为“至少有1人成绩在”， 则事件的对立事件为“2人成绩都在”，
包含的样本点只有，共1个. 所以，故
16．(1)选择模型②更合适，解析式为；
(2)预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限
解析:（1）下课2分钟时，排队人数为30人；下课4分钟时，排队人数为50人，
随着下课时间的增长，人数也在增长，且增长速度减慢，
故对数型函数模型更合适，
将数据代入可得，解得，
故解析式为；
（2）中，令得，
预计最早在下课8分钟时排队人数达到上限.
17．(1)取中点，连接，
因为，为的中点，所以，平面，
平面底面，平面底面，
所以底面，又底面，则，
因为底面为菱形，则，又，
所以，平面，
所以平面，平面，
所以；
(2)
解析:（1）略.
（2）连接，由于底面，则为直线与平面所成角，
因为，则，
由余弦定理，，
在中，，
所以.
18．(1)
(2)函数在上单调递增，在上单调递减
(3)
解析:（1）
，
因为函数过点的坐标为，则为函数减区间上的零点，
所以，则，又，
又因为，则，
所以当时，，则；
（2）因为函数，
当时，，
令，得，此时函数单调递增，
令，得，此时函数单调递减，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
（3）由于，即，
又，所以，
因为为（锐角）的角平分线，，
则，，所以，则，
根据余弦定理，
所以，
则.
19．(1)不是，是 ，理由如下：
由，为奇函数．
故不存在使为位差偶函数；
又，设.
此时，
假设存在，为偶函数，则恒成立，即恒成立，得，
故存在使为位差偶函数.
(2)
(3)
解析:（1）略
（2）由是位差值为的位差偶函数，
可得为上的偶函数．
因为偶函数．
则，解得；
（3）．
由题意不存在使得对恒成立，
此时，
即对任意的均不恒成立，
故在无解．
又，故．故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
C
C
A
B
BD
BC
题号
11









答案
ACD