云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的虚部为（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．已知向量=（1，2），=（2，x），若⊥，则|2+|=（ ）
A．B．4C．5D．
4．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（ ）
A．180B．216C．326D．415
5．如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（ ）

A．B．C．D．
6．已知中心在原点,焦点在轴上,焦距为4的椭圆被直线：截得的弦的中点的横坐标为-2,则此椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则的值为
A．B．C．D．
8．设函数，，若存在，，使得，则的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．
二、多选题
9．已知满足，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是等差数列
C．D．设的前项和为，则
10．已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则下列结论中正确的是（ ）
A．双曲线的离心率
B．双曲线的方程为
C．
D．双曲线的渐近线方程为y=±3x
11．某中药材盒中共有包装相同的7袋中药材，其中党参有4袋，黄芪有3袋，从中取出2袋，下列说法正确的是（ ）
A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄芪的概率为
B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取到党参的概率为
C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率为
D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为
三、填空题
12．若方程表示圆，则实数的取值范围是__________．
13．已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.
14．三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________．
四、解答题
15．近年来，儿童近视问题日益严重，已成为影响儿童健康的重要问题之一，教育部提出了一系列措施，旨在通过学校、家庭和社会的共同努力，减少儿童近视的发生率．多项研究表明，每天增加户外活动时间可以显著降低儿童近视的发生率．为研究近视是否与户外活动时长有关，某学校数学兴趣小组采用简单随机抽样的方法调查了六年级的100名学生，其中有55名同学的户外活动时间超过2小时；100名同学中近视的学生有60人，这60人中每天户外活动时间不足2小时的有35人．
(1)根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，完成以下列联表，依据小概率值的独立性检验，分析学生患近视与户外活动时间长短是否有关．
(2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理十药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对每天户外活动时间超过2小时的学生的治愈率为，对每天户外活动时间不足2小时治愈率为，求近视学生被治愈的概率．
参考公式与数据：，其中．
16．在中，已知.
(1)若为锐角三角形，求角的值，并求的取值范围;
(2)若，线段的中垂线交边于点，且，求A的值.
17．如图，直三棱柱中，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，求与平面所成角的正弦值．
18．如图，已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧.记的面积为.
（1）求的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点的坐标.
19．已知函数．
(1)若，讨论的零点的个数；
(2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明：
（i）数列是递增数列；
（ii）．
近视人数
未近视人数
合计
户外活动时间不足2小时
35
户外活动时间超过2小时
55
合计
60
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
《云南省玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题》参考答案
1．C
解析：方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．B
解析：，
得，故的虚部为3.
3．C
解析：因为，所以 解得，
所以，因此，故选C．
4．A
解析：∵ 5名同学分配到4个社团，每个社团至少1人，每人仅参加1个社团，故人数分布为1个社团2人，其余3个社团各1人.
采用排除法计算：
无甲的约束时，总分配方法数为 .
当甲参加“围棋苑”时，需安排剩余4名同学到4个社团，满足所有社团至少1人，分两类计数：
剩余4人中无人加入围棋苑：4人分配到其余3个社团，方法数为 .
剩余4人中有1人加入围棋苑：剩余3人分别加入其余3个社团，方法数为 .
∴ 甲参加围棋苑的合法方法数为 .
故满足甲不参加“围棋苑”的总方法数为 .
综上，本题选A.
5．D
解析：设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则，
因为、分别为，靠近点的三等分点，所以，
则，所以，
所以.
故选：D.
6．C
解析：解:由题设,若椭圆方程为,
令直线与椭圆交点分别为,,
则有①,②,
两式作差可得：,
即,
易知,弦的中点,所以,,
因为直线：,所以,
故,所以,
又,,
解得,,
故的方程为.
故选:C
7．D
解析：
所以 ，选D.
8．B
解析：由题意可得，即，
所以，
又，所以在上单调递增，
即，所以，
且，
令，，
则，其中，
令，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
所以，，
所以.
故选：B
9．ABD
解析：由，可得，
所以，所以是以为首项，为公差的等差数列，
则，所以，则，故AB正确,C错误；
又，
则，故D正确.
故选：ABD.
10．BD
解析：∵ 分别是双曲线的左、右焦点，，
∴ ，即.
设点，，
∵的面积为，
∴ ，即，解得.
∵ 直线的斜率为，
∴ ，代入，得，解得，即.
∵ 在双曲线上，由双曲线定义得，
计算得，，
∴，即.
又，
对于A选项，双曲线离心率，故A错误.
对于B选项，双曲线C的方程为，故B正确.
对于C选项，，故C错误.
对于D选项，双曲线渐近线方程为，故D正确.
11．BCD
解析：A，因为是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为，
所以取出一袋党参一袋黄芪的概率为，故选项A的错误；
B，第二次抽到党参的概率为，至少抽到一袋党参的概率为，
所以所求概率为，故选项B正确；
C，因为不放回抽取，抽两次有种取法，第二次抽到党参的取法为，
所以第2次取到党参的概率为，故选项C正确；
D，至少取出一袋党参的概率为，取到一袋党参一袋黄芪的概率为，
所以在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为概率为，故选项D正确.
故选：BCD.
12．
解析：∵ 方程表示圆.
将方程两边同除以2，化为圆的一般方程标准形式：.
∵ 二元二次方程表示圆的充要条件为，
此处，，，代入得，
展开计算得，解得或，
即实数的取值范围是.
13．
解析：函数在上单调递增，
又，故为奇函数，
若对任意的，不等式恒成立，
对任意的，不等式恒成立，
对任意的，恒成立，
，
，当且仅当时取等号，
所以
故答案为：
14．/1.5
解析：
点为的重心，
，
为的中点，
，
，，，
，
四点共面，
，
，
，当且仅当时取等号．
故答案为：．
15．(1)列联表如下：
有关
(2)
解析：（1）列联表如下：
零假设为：学生患近视与户外活动时间长短无关．
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生患近视与户外活动时间长短有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005．
（2）设事件“使用“物理+药物”治疗方案并且治愈”，事件“该近视同学每天户外活动时间超过2小时”，“该近视同学每天户外活动时间不足2小时”，则
，，且，，
则，
所以该近视学生使用“物理+药物”治疗方案被治愈的概率为．
16．(1)；；
(2)
解析：（1）由题意，
所以，
所以，所以，
易知，所以，则，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以
，
由知，所以，
即的取值范围为；
（2）
设中点为，则，
在中，由正弦定理得，即，
所以，
因为线段的中垂线交边于点，可知，所以，
则，解之得，此时，正切不存在，舍去；
或，解之得；
综上.
17．(1)证明：取的中点为，连接，
因为，，故，
由直三棱柱的性质可得，故，
故四边形为平行四边形，故，
而平面，平面，故平面．
(2)
解析：（1）略
（2）因为，故，故 ，设 ．
由直三棱柱可得平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，且 ．
因为 ，故 即 ，故舍去，
故，，又．
设平面 的法向量为，则
所以，取 ，
故与平面 所成角的正弦值为|n→·CA→1|n→|⋅|CA→1||=67×23=217.
18．（1）2，；（2），.
解析：(1)由题意可得，则，抛物线方程为，准线方程为.
(2)设，，，重心，令，，则.
由于直线过，故直线方程为，代入，得，
故，即，所以.
又由于，， 重心在轴上，故，
得， .所以，直线方程为，得.
由于在焦点的右侧，故.从而
.
令，则，.
当时，取得最小值，此时.
19．(1)当时，无零点；
当或时，仅有一个零点；
当时，有两个零点；
(2)（i）由（1）知，当时，仅有一个零点；
由的唯一零点为，则，
两边取自然对数得：，
即，两式相减得：，
可得，
设，则，因为，所以，
即是在上单调递增，
所以有，即数列是递增数列；
（ii）先证明：时，，
构造，求导得，
当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
即，所以，即，
又因为，结合上面不等式有，
所以，又因为，
所以有，
即
再由可得：，当且仅当时取等号；
再由，得，
结合上式可得：，整理得：，
当且仅当时取等号，
当时，，
再由，得：，
所以有，
则，
当且仅当时等号成立.
解析：（1）令，可得，设，
因为，
所以当时，，则在单调递减；
当时，，则在单调递增；
即，
又因为，，，
所以当时，无零点；
当或时，仅有一个零点；
当时，有两个零点；
（2）（i）略题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
A
D
C
D
B
ABD
BD
题号
11









答案
BCD









近视人数
未近视人数
合计
户外活动时间不足2小时
35
10
45
户外活动时间超过2小时
25
30
55
合计
60
40
100
近视人数
未近视人数
合计
户外活动时间不足2小时
35
10
45
户外活动时间超过2小时
25
30
55
合计
60
40
100