广西梧州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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【详解】 sin150∘=sin180∘−30∘=sin30∘=12 .
故选: C
2. A
【分析】依据空间中点、直线、平面的位置关系及相关公理、判定定理, 逐一判断各命题的正误即可.
【详解】对选项A: 因直线 l 与平面 α 相交,则 l 不在平面 α 内,假设平面 α 内存在直线 a 与 l 平行,
则由线面平行的判定定理可得 l//α ,这与 l 和 α 相交矛盾,故 A 正确;
对选项 B:空间中直线 a,b 无公共点，则可以是平行或异面，故 B 错误；
对选项 C:根据平面确定公理, 只有直线和直线外一点才能确定唯一平面, 若点在直线上, 可存在无数个平面, 故 C 错误;
对选项 D: 根据平面确定公理, 只有不共线的三点才能确定唯一平面, 共线的三点可以有无数个平面, 故 D 错误.
3. A
【分析】由 a+b=a−b=5 两边平方可得 a⋅b=0,a2+b2=25 ,由此可求结论,
【详解】由 a+b=a−b=5 ,
所以 a2+2a⋅b+b2=a2−2a⋅b+b2=25 ,
所以 a⋅b=0,a2+b2=25 ,
所以 a2+b2=25 ,又 a=3 ,
所以 b=25−a2=25−32=4 .
4. A
【分析】根据角的终边过的点,求出角的三角函数值,利用弦函数化切函数,求得答案.
【详解】 ∵ 角 α 的终边经过点 P1,2,∴OP=12+22=5 ,
则 sinα=25=255,csα=15=55,tanα=2 ,
∴csα+2sinαcsα−3sinα=1+2tanα1−3tanα=1+2×21−3×2=5−5=−1 .
故选: A.
5. A
【详解】 CD=CA+AD=CA+13AB=CA+13CB−CA=13CB+23CA .
6. C
【分析】先展开 csα−π4 ,然后平方,最后用二倍角公式化简计算可得出答案.
【详解】解: csα−π4=csαcsπ4+sinαsinπ4=22sinα+csα=13
即 sinα+csα=23 ,
等式两边平方得 sinα+csα2=232 ,
继续展开 sin2α+2sinαcsα+cs2α=29 ,
化简得 1+sin2α=29
所以 sin2α=29−1=−79
故选: C
7. D
【分析】求出函数 fx 的图象对称轴方程,再结合已知列出不等式组求解.
【详解】函数 fx=csωx−π4 ,由 ωx−π4=kπ,k∈Z ,得 x=π4ω+kπω,k∈Z ,
由 ω>0 ,函数 fx 的图象在 0,2π 内恰有 3 条对称轴,得 π4ω+2πω≤2π 且 π4ω+3πω>2π ,
解得 98≤ω0 ,所以 fx=csx⋅sinx=csx⋅sinx=12sin2x ,
x∈−π4,π4 时, −π2≤2x≤π2 ,故 fx=12sin2x 单调递增,故正确;
设 fx 图象上任意一点 Mx,y ,则 Mx,y 关于点 −π2,0 的对称点 M′−π−x,−y ,因为
f−π−x=cs−π−xsin−π−x=csxsinx=fx≠−fx,
故函数 fx 的图象不关于点 −π2,0 成中心对称,错误.
故选: AC
12. 12
【详解】由题意得, 2π2ω=2π ,得 ω=12
13. −12##−0.5
【详解】由等边三角形 ABC 的边长为 1,得 BC⋅CA=BCCAcsπ−π3=−12 .
14. 1
【分析】法一: 根据台体的体积公式得三棱台的高 ℎ=433 ,作辅助线并结合正三棱台的结构特征求得 AM=433 ，进而根据线面夹角的定义分析求解；注二: 将正三棱台 ABC−A1B1C1 补成正三棱锥 P−ABC ， A1A 与平面 ABC 所成角即为 PA 与平面 ABC 所成角,根据比例关系得 VP−ABC=18 ,进而求正三棱锥 P−ABC 的高, 即得结果.
【详解】法一: 分别取 BC,B1C1 的中点 D,D1 ,则 AD=33,A1D1=3 , 可知 S△ABC=12×6×6×32=93,S△AB1C1=12×2×3=3 , 设正三棱台 ABC−A1B1C1 的为 ℎ ，则 VABC−A1B1C1=1393+3+93×3ℎ=523 ，解得 ℎ=433 ， 如图,分别过 A1,D1 作底面垂线,垂足为 M,N ,设 AM=x ,

则 AA1=AM2+A1M2=x2+163, DN=AD−AM−MN=23−x ,
可得 DD1=DN2+D1N2=23−x2+163 ,
结合等腰梯形 BCC1B1 可得 BB12=6−222+DD12 ,
即 x2+163=23−x2+163+4 ,解得 x=433 ,
所以 A1A 与平面 ABC 所成角的正切值为 tan∠A1AD=A1MAM=1 ;
法二: 将正三棱台 ABC−A1B1C1 补成正三棱锥 P−ABC ,

则 A1A 与平面 ABC 所成角即为 PA 与平面 ABC 所成角,
因为 PA1PA=A1B1AB=13 ,则 VP−A1B1C1VP−ABC=127 ,知 VABC−A1B1C1=2627VP−ABC=523 ,则 VP−ABC=18 ,
设正三棱锥 P−ABC 的高为 d ,则 VP−ABC=13d×12×6×6×32=18 ,解得 d=23 ,
取底面 ABC 的中心为 O ,则 PO⊥ 底面 ABC ,且 AO=23 ,
所以 PA 与平面 ABC 所成角的正切值 tan∠PAO=POAO=1 .
故答案为: 1
15. 1π4
(2) π3
【分析】根据异面直线所成角定义, 通过平移直线找到所求角, 进而根据长度关系得到结果.
【详解】(1) ∵CC1//BB1,∴ 直线 BA1 与 CC1 所成角即为 ∠A1BB1 ,
∵A1B1=BB1,A1B1⊥BB1,∴∠A1BB1=π4 ,即直线 BA1 与 CC1 所成角大小为 π4 .
(2)连接 AD1,CD1 ，

∵A1D1//BC,A1D1=BC,∴ 四边形 A1BCD1 为平行四边形, ∴BA1//CD1 ,
∴ 直线 BA1 与 AC 所成角即为 ∠ACD1 ,
∵AD1,CD1,AC 均为正方体的面对角线, ∴AD1=CD1=AC ,
∴∠ACD1=π3 ，即直线 BA1 与 AC 所成角大小为 π3 .
16. (1) csα=−35,tanα=43 .
(2) −57
【分析】(1)利用同角三角函数关系求解即可.
(2)利用诱导公式，结合三角函数正余弦齐次式求值即可.
【详解】(1) 已知 sinα=−45 ,且 α 在第三象限,所以 csα=−1−−452=−35 , tanα=sinαcsα=43.
(2) 2sinπ+α−csπ−αsinα+π2+csα−π2=−2sinα+csαcsα+sinα
=−2tanα+11+tanα=−83+11+43=−57.
17. ( I )见解析:( II )见解析:( III )见解析.
【分析】(1) 欲证 PE⊥BC ,只需证明 PE⊥AD 即可;
(2)先证 PD⊥ 平面 PAB ，再证平面 PAB⊥ 平面 PCD ；
(3)取 PC 中点 G ，连接 FG,DG ，证明 EF//DG ，则 EF// 平面 PCD .
【详解】(I) ∵PA=PD ,且 E 为 AD 的中点, ∴PE⊥AD .
∵ 底面 ABCD 为矩形, ∴BC//AD,∴PE⊥BC ;
(II) ∵ 底面 ABCD 为矩形, ∴AB⊥AD .
∵ 平面 PAD⊥ 平面 ABCD ,平面 PAD∩ 平面 ABCD=AD,AB⊂ 平面 ABCD ,
∴AB⊥ 平面 PAD ,又 PD⊂ 平面 PAD,∴AB⊥PD .
又 PA⊥PD,PA∩AB=A,PA、AB⊂ 平面 PAB,∴PD⊥ 平面 PAB ,
∵PD⊂ 平面 PCD,∴ 平面 PAB⊥ 平面 PCD ;
(III) 如图,取 PC 中点 G ,连接 FG,GD .

∵F,G 分别为 PB 和 PC 的中点, ∴FG//BC ,且 FG=12BC .
以四边形 ABCD 为矩形,且 E 为 AD 的中点, ∴ED//BC,DE=12BC ,
∴ED//FG ，且 ED=FG ， ∴ 四边形 EFGD 为平行四边形，
∴EF//GD ，又 EF⊄ 平面 PCD ， GD⊂ 平面 PCD ， ∴EF// 平面 PCD .
【点睛】证明面面关系的核心是证明线面关系, 证明线面关系的核心是证明线线关系. 证明线线平行的方法:
(1)线面平行的性质定理;(2)三角形中位线法;(3)平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法:(1)等腰三角形三线合一；(2)勾股定理逆定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)菱形对角线互相垂直.
18.(1) π3 ；(2) 32,32 ；(3) 123 .
【分析】(1) 由 m∥n ,可得 sinC−3csC=0 ,从而可求得角 C 的大小；
(2) AC⋅AB