山西省运城市夏县部分学校2025-2026学年七年级下学期6月期末 数学试题（含解析）

这是一份山西省运城市夏县部分学校2025-2026学年七年级下学期6月期末 数学试题（含解析），文件包含新高考化学一轮复习考点精讲精练第36讲电解池及其应用金属的腐蚀与防护讲义原卷版docx、新高考化学一轮复习考点精讲精练第36讲电解池及其应用金属的腐蚀与防护讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 近年来，我国科研工作者攻坚克难、勇攀高峰，在芯片领域不断突破技术封锁，成功研发出多款先进制程的国产自研芯片，有力推动了我国科技自立自强．已知某款国产高端芯片的关键工艺尺寸为7纳米，即0.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
3. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，直线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，，于点E，于点D．若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
8. 小美骑车从学校回家，中途在文具店停留了，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小美离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：）的对应关系如图所示，则从学校到文具店的路程是（ ）
A. B. C. D.
9. 木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲，乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度
B. 当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大
C. 将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液
D. 当温度高于时，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°．
12. 机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是__________．
13. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则_____．
14. 如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点；
③连接．
若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________．
15. 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一）
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）17. 如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为．
（1）证明：；
（2）如果，且，求的度数．
18. 如图，点E在上，与交于点F，．
（1）求证∶；
（2）若，求的度数．
19. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转 盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为____ ；( 结果保留小数点后一位数字)；
（2）铅笔每只元，饮料每瓶元，经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度．
20. 【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下：
已知，，求的值．
分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决．
解答：因为，所以，即．
因为，所以．
【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题
（1）若，．
①________；
②求的值；
（2）已知，，求与的值．
21. 著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．
（1）如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程；
（2）聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：．
22. 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内．
【任务】
（1）在图1中，若，求的度数；
（2）在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数；
（3）在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
23. 综合与探究：
问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．

特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由；
拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由；
（3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）．
数学
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1. “致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解答过程：解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故选：A．
2. 近年来，我国科研工作者攻坚克难、勇攀高峰，在芯片领域不断突破技术封锁，成功研发出多款先进制程的国产自研芯片，有力推动了我国科技自立自强．已知某款国产高端芯片的关键工艺尺寸为7纳米，即0.000000007米，那么7纳米用科学记数法可表示为（ ）米
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：绝对值小于1的数用科学记数法表示的形式为，其中，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）．
解答过程：解：．
3. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：解：把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是．
4. 如图，直线，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据两直线平行，同位角相等得到，即可求出答案．
解答过程：解：如图，
，，
，
．
5. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：已知条件是，，，
∴，
∴．
故选：B．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则逐一判断选项．
解答过程：解：选项A：∵合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，∴，A错误；
选项B：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，B错误；
选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，C错误；
选项D：∵积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘，∴，D正确．
7. 如图，，于点E，于点D．若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据垂直得出直角，根据余角定理得出，证明得出相等的边，最后利用线段的和差即可求解．
解答过程：解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8. 小美骑车从学校回家，中途在文具店停留了，然后继续骑车回家．若小美骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小美离家的路程s（单位：m）与时间t（单位：）的对应关系如图所示，则从学校到文具店的路程是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意得到行驶速度，由此得到路程．
解答过程：解：根据图示可得，小美行驶的速度为，
∴从学校到文具店的路程是．
9. 木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数．
解答过程：解：由轴对称可知，，
，，，
，
．
故选：D．
10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲，乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度
B. 当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大
C. 将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液
D. 当温度高于时，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多
答案：D
解析：
思路：通过图象获得信息，逐项判断即可．
解答过程：解：由图象可知，当温度小于时，乙物质的溶解度大于甲物质的溶解度，温度大于时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，则A说法错误；
在温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大，则B说法错误；
将时乙的饱和溶液降温至时，乙物质的溶解度会增大，乙从饱和溶液变为不饱和溶液，则C说法错误；
当温度高于时，甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度，用等质量的甲，乙物质分别配制成饱和溶液，乙物质需要的水的质量更多，则D说法正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，直线，在中，，点在直线上，若，，则___________°．
答案：56
解析：
思路：由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
解答过程：解：如图：
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵在中，，
∴．
12. 机器人甲要从幕后三个“身高”各异的机器人中选一个作为“舞伴”，其选择程序为：第一个从幕后走出的机器人不选，观察其“身高”，第二个机器人从幕后走出后，观察其“身高”，若比第一个机器人高，那么就选第二个机器人作为“舞伴”，否则就选第三个走出的机器人作为“舞伴”．按照这个程序，机器人甲选到幕后“身高”最高的机器人作为“舞伴”的概率是__________．
答案：##0.5
解析：
思路：对三个机器人按身高编号，列举出所有等可能的出场顺序，再找出按程序能选到最高身高机器人的结果数，利用概率公式计算即可．
解答过程：解：设三个机器人按身高从小到大记为，，，其中为身高最高的机器人.
三个机器人出场的所有等可能排列为：
，，，，，，共种等可能的结果.
根据选择程序判断符合条件的结果：
当排列为，，时，机器人甲可以选到最高的号机器人，共种符合条件的结果.
根据概率公式可得，所求概率为．
13. 如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则_____．
答案：
解析：
思路：此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线得出，进而利用三角形的周长解答即可．
解答过程：解：∵垂直平分交于点，
∴，
∵的周长为，
即．
故答案为：．
14. 如图，在中，．按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，与射线相交于点；
③连接．
若点到直线的距离为1，则点到直线的距离为__________．
答案：1
解析：
思路：根据角平分线的性质进行解答即可．
解答过程：解：由题意得：平分，
∴点P到的距离等于点P到的距离，
∵点到直线的距离为1，
∴点到直线的距离为1．
15. 小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点出发，沿箭头所示方向经过点跑到点，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为（单位：秒），他与教练的距离为（单位：米），表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的_____．（填四点之一）
答案：
Q
解析：
思路：观察函数图象，随的变化趋势是先增大，再减小，最后增大，且 时的函数值大于时的值，分别分析点、、、作为观察点时，小翔与观察点的距离变化情况，即可得出结论．
解答过程：解：由图2可知，与的函数图象大致分为三段：先上升，再下降，最后上升，且起始点的纵坐标大于终点的纵坐标，
若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离等于半圆的半径，保持不变，图象应有一段水平线，与图2不符，故排除点；
若观察点在点，点与点关于点中心对称，则小翔在点和点时与点的距离相等，即和时值应相等，与图2不符，故排除点；
若观察点在点，小翔从到的过程中，他与点的距离逐渐减小，图象应一直下降，而图2最后一段是上升的，与图2不符，故排除点；
若观察点在点，小翔从出发运动到点时，距离先增大，再减小，从最右端经点运动到中点（点正上方）的过程中，距离逐渐减小，从中点运动到的过程中，距离逐渐增大，且点离点的距离大于点离点的距离，故起点值大于终点值，符合图2特征，则这个固定位置可能是点．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 计算：
（1）；
（2）答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并同类项即可得到结果；
（2）根据平方差公式连续两次进行计算即可求解．
（1）解：原式；
（2）原式
17. 如图，在中，，垂足为，点在上，，垂足为．
（1）证明：；
（2）如果，且，求的度数．
答案：（1）证明：，，
，
；
（2）120°
解析：
思路：（1）根据同位角相等，两直线平行，进行证明即可；
（2）根据平行线的性质得出，再根据平行线的判定得出，最后根据平行线的性质得出，即可求出结果．
（1）略
（2）解：，
，
∵，
，
，
，
，
．
18. 如图，点E在上，与交于点F，．
（1）求证∶；
（2）若，求的度数．
答案：（1）
证明：∵，
∴，即．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解析：
思路：本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
（1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题．
（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
19. 某商场有一个可以自由转动的圆形转盘(如图).规定：顾客购物元以上可以获得一次转动转 盘的机会，当转盘停止时指针落在哪一个区域就获得相应的奖品 (指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为____ ；( 结果保留小数点后一位数字)；
（2）铅笔每只元，饮料每瓶元，经统计该商场每天约有名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用；
（3）在（2）的条件下，该商场想把每天支出的奖品费用控制在元左右，则转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为 度．
答案：(1)0.7；(2)该商场每天大致需要支出元奖品费用：(3)36
解析：
思路：（1）利用频率估计概率即可求解；
（2）根据扇形统计图，结合获得铅笔的概率为0.7，求出获得一瓶饮料的概率为0.3，列出算式40000×0.7×0.5+40000×0.3×3，计算即可求解；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°，则，解方程即可．
解答过程：解：（1）转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为0.7；
（2）1-0.7=0.3，40000×0.7×0.5+40000×0.3×3=14000+36000=50000元；
（3）设转盘上“一瓶饮料”区域的圆心角应调整为n°，
则，
解方程得：n=36．
方法提示：本题考查了利用频率估计概率，也考查了扇形统计图的意义．题目较长，但信息量不大，关键要认真审题，理清题意．
20. 【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下：
已知，，求的值．
分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决．
解答：因为，所以，即．
因为，所以．
【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题
（1）若，．
①________；
②求的值；
（2）已知，，求与的值．
答案：（1）①；②；
（2），．
解析：
思路：本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
（1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值．
②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求．
（2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出．
（1）解：①∵，，
∴
；
②∵，，
∴
；
（2）解：∵ ，
∴
，
∵
∴
．
21. 著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．
（1）如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程；
（2）聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：．
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
思路：（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可；
（2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可．
（1）解：∵
∴，
∴；
（2）解：∵
∴，
∵
∴，
∴
∴．
22. 在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
在学习“图形的认识”一章时，老师组织同学们通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．
【操作1】将长方形纸片的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点处，为折痕，如图1；
【操作2】在图1条件下，点F是线段上一点，角顶点B沿线段折叠，点B落在点处，且点在长方形内．
【任务】
（1）在图1中，若，求的度数；
（2）在操作2中，当点刚好落在线段上时，如图2，求的度数；
（3）在操作2中；当点不在线段上时，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
答案：（1）
（2） （3）或，详见解析
解析：
思路：本题主要考查折叠问题，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．
（1）由折叠的性质得，进而可得，再根据平角的定义求解；
（2）由折叠的性质得，，再根据，可得；
（3）分点在点的左侧、右侧两种情况，结合折叠的性质分别求解即可．
（1）解：由折叠性质可知：，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由折叠性质可知：，，
∵，
∴，
即；
（3）解：，，之间的数量关系为：或
理由：由折叠性质可知：，，
①当点在点的左侧时，如图3，
，
∴，
∴；
②当点在点的右侧时，如图4，
，
∴，
∴，
综上所述，，，之间的数量关系为：或．
23. 综合与探究：
问题情境：数学课上，同学们利用所学的平行线、三角形及轴对称的知识，探索图形变化中的数学问题．已知中，，点P是边的中点，点D是射线上的一个动点，过点D作直线，点P关于直线l的对称点为点Q．

特例分析：（1）如图1，当直线l经过点A时，点Q恰好落在边上，连接，交直线l于点O．猜想此时与的位置关系，并说明理由；
拓展探究：（2）如图2，当直线l与线段交于点E（不与A，P重合）时，点Q落在内部，连接并延长交线段于点G，连接并延长，交直线l于点O，交线段于点F，连接．猜想此时与的数量关系，并说明理由；
（3）若直线l与线段的延长线交于点E，连接并延长交射线于点G，连接交线段于点F．请借助备用图探究线段之间的数量关系（直接写出结论即可）．
答案：
（1），理由如下：
由轴对称的性质可得，
∵直线，即，
∴；
（2），理由如下：
同理可证明，
∴，，
如图所示，过点A作于H，
∴，
∵，
∴，
∴；
由轴对称的性质可得，
∴，
又∵，
∴，
∴；

（3）如图所示，当点D在线段上时，

同理可证明，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
如图所示，当点D在线段的延长上时，

同理可证明，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，或．
解析：
思路：本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，轴对称图形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）由轴对称的性质可得，再由可得；
（2）同理可证明，则，；过点A作于H，证明，得到；由轴对称的性质可得，则可证明，再证明，可得；
（3）分点D在线段上和点D在线段的延长上两种情况， 通过证明，得到，再根据线段的和差关系可得结论．
解答过程：（1）略
（2）略
（3）略转动转盘的次数
落在“铅笔"的次数
落在“铅笔"的频率， (结果保留小数点后两位)
转动转盘的次数
落在“铅笔"的次数
落在“铅笔"的频率， (结果保留小数点后两位)