山东省淄博市淄川区2025-2026学年七年级下学期期末 数学试题（含解析）

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一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）．
1. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知与互补，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少．在这个变化过程中，自变量是（ ）
A. 温度B. 电池C. 新能源车D. 续航里程
4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．
A. B. C. D.
5. 若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（ ）
A. B. C. D.
7. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A. B.
C. D.
9. 刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程（米）与他行走的时间（分）（）之间的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（ ）
A. 制成笔管的短竹数量B. 制成笔斗的短竹数量
C. 制成笔管的个数D. 制成笔斗的个数
11. 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km；②甲、乙同学同时到达B地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③
12. 如图是小王早晨出门散步时，离家的距离s与时间t之间的函数图象．若用黑点表示小王家的位置，则小王散步行走的路线可能是（ ）
A. B. C. D.
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．
13. 方程的解是_________．
14. 如图，点A，C 分别在射线，上，不添加辅助线，请写出一个能判断的条件 _________________．
15. 在等式中，括号内表示的整式是_________．
16. 如图为一根弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与保持平行，则弯折后形成的________．
17. 宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置的数是________．
18. 某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：______．
19. 已知实数a，b，c满足，则的值为_____．
20. 如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则______度．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）．
21. 解答下列各题
（1）计算：．
（2）如图，，，，求的度数．
（3）先化简，再求值：，其中，．
（4）解方程：
①；
② ．
22. 解答下列各题
（1）如图，直线，相交于点，，垂足为．
①图中的对顶角是_________，的余角是_____________________，的补角是_________________；
②若，求的度数．
（2）“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们平方数的平均数”相等吗？若不等，相差多少？
23. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
（1）求计划种植草坪的面积；
（2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
24. 综合与实践
【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层．
【相关素材】素材1：假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表是整齐叠放的购物车列的车身总长y（米）与购物车数量（辆）之间的关系：
素材2：如图，该超市的扶梯米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．
【问题解决】
（1）根据表格中的数据，写出购物车列的车身总长（米）与购物车数量（辆）之间的关系式；
（2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由．
25. 甲、乙两地相距，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以、的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．
（1）______，______；
（2）求出发多长时间后，两车相遇？
（3）求出发多长时间后，两车相距？（直接写出答案）______
满分150分）
数学
一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）．
1. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，根据相关运算法则，逐一进行判断即可．
解答过程：解：A、，原选项计算错误，不符合题意；
B、，原选项计算正确，符合题意；
C、不能合并，原选项计算错误，不符合题意；
D、，原选项计算错误，不符合题意；
故选B．
2. 已知与互补，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题主要考查补角的概念，根据互补角之和为，结合，即可求．
解答过程：∵与互补，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
3. 新能源电动车的电池续航里程受温度影响，随着温度降低，电池中的化学物质活性降低，续航里程减少．在这个变化过程中，自变量是（ ）
A. 温度B. 电池C. 新能源车D. 续航里程
答案：A
解析：
思路：本题考查自变量与因变量的概念．自变量是主动变化的量，因变量是随其变化而变化的量．掌握这些是解题的关键．
根据题意，温度变化导致续航里程变化，因此温度是自变量．
解答过程：题目中明确描述“随着温度降低，续航里程减少”，说明温度是主动变化的量（自变量），而续航里程是受温度影响而变化的量（因变量）．选项A“温度”符合自变量的定义，选项D“续航里程”是因变量，选项B“电池”和选项C“新能源车”与变量关系无关．
故选：A．
4. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米．
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答过程：解：0.3纳米米米．
故选：D．
5. 若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：D
解析：
思路：由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解．
解答过程：解：∵是的中点，，
∴，
∵是的中点，，
∴，
分两种情况讨论：
情况1：点在的延长线上，即点在，之间，
∴；
情况2：点在线段上，即点在，之间，
∴．
综上，的长为或．
6. 三个连续偶数，中间一个数为，则这三个数的积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，，再求出之积即可．
解答过程：解：根据三个连续偶数，中间一个是，则另外两个分别为，；
∴．
故选：A．
7. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：将两边平方，展开后代入已知的值，即可计算出的值．
解答过程：，
，
，
，
，
．
8. 将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：分别计算出图1和图2中阴影部分的面积，根据面积相等列出等式即可．
解答过程：解：由图可得，图1中阴影部分的面积为，
图2中阴影部分的面积为，
．
9. 刘老师每天从家去学校上班行走的路程为1200米，某天他从家去学校上班时以每分钟40米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟50米的速度行走完了剩下的路程，那么刘老师距离学校的路程（米）与他行走的时间（分）（）之间的函数关系为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：由题意可得前半程所需时间为15分钟，则剩下路程所需时间为（t﹣15）分，再由1200﹣y＝600+50（t﹣15），可求函数关系式．
解答过程：解：∵以每分钟40米的速度行走了前半程，
∴以每分钟40米的速度行走了600米，
∴600÷40＝15（分），
∴剩下路程所需时间为（t﹣15）分，
∴1200﹣y＝600+50（t﹣15），
整理得y＝﹣50t+1350，
故选：A．
方法提示：本题考查函数关系式，能够通过题中条件获取信息，并能将所得信息转化为数学关系式是解题的关键．
10. 如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（ ）
A. 制成笔管的短竹数量B. 制成笔斗的短竹数量
C. 制成笔管的个数D. 制成笔斗的个数
答案：A
解析：
思路：根据方程的左右两边分别表示笔管和笔斗的数量，结合每根短竹的产量反推的含义即可．
解答过程：解：∵每根短竹可制成笔管个，
∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量，
∵短竹总数为根，
∴表示用于制作笔斗的短竹数量，
∵每根短竹可制成笔斗个，
∴表示笔斗的总个数，
∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数，
∴方程符合题意，
∴表示制成笔管的短竹数量．
11. 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km；②甲、乙同学同时到达B地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③
答案：B
解析：
思路：首先注意横纵坐标的表示意义，再观察图象可得甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然后又用0.5小时到达离出发地18千米的目的地；甲比乙早到0.5小时出发；乙用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．
解答过程：①根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了18km，故原说法正确；
②从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.5小时，故原说法错误；
③休息前直线上升得快，休息后直线上升得慢，故休息前的速度大于休息后的速度，故原说法错误；
④乙行完全程需用时2-0.5=1.5时，故其速度为：18÷1.5=12km/h，故原说法正确.
故选B.
方法提示：此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
12. 如图是小王早晨出门散步时，离家的距离s与时间t之间的函数图象．若用黑点表示小王家的位置，则小王散步行走的路线可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分析图象，可知该图象是路程与时间的关系，先离家逐渐变远，然后距离不变，在逐渐变近，据此进行判断即可得．
解答过程：解：通过分析图象和题意可知，行走规律是：离家逐渐远去，离家距离不变，离家距离逐渐近，所以小王散步行走的路线可能是
故D选项符合题意．
方法提示：本题考查了函数的图象，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论是解题的关键．
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．
13. 方程的解是_________．
答案：
解析：
解答过程：解：
方程两边同时乘以得．
14. 如图，点A，C 分别在射线，上，不添加辅助线，请写出一个能判断的条件 _________________．
答案：（答案不唯一）
解析：
思路：本题主要考查了平行线的判定，解答此类要围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养“执果索因”的思维方式与能力．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．
解答过程：解：添加利用同位角相等，两直线平行判定；
添加利用内错角相等，两直线平行判定；
添加利用同旁内角互补，两直线平行判定．
故答案为：（答案不唯一）．
15. 在等式中，括号内表示的整式是_________．
答案：
解析：
思路：利用多项式除以单项式即可得到结果．
解答过程：设括号内的整式为，
由题意得，
．
16. 如图为一根弯折的铁丝，，工人师傅对该铁丝进一步加工，在处进行第二次弯折．若要保证弯折后的部分与保持平行，则弯折后形成的________．
答案：或
解析：
思路：分两种情况讨论，当点D在点C的左侧时，当点D在点C的右侧时，再根据平行线的性质求解即可．
解答过程：解：当点D在点C的左侧时，如图所示：
，
；
当点D在点C的右侧时，如图所示：
，
，
综上，弯折后形成的或．
17. 宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置的数是________．
答案：7
解析：
思路：标记“”位置的数为x，左上角的数字为a，左下角的数字为b，中间的数字为m，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”，可得，，推出，，再根据左边一列的和等于右边一列的和，列方程，解方程求出x的值即可．
解答过程：解：如图，标记幻方中的相关数字，
由题意得：，，
解得，，
由，得：，
解得，
即“”位置的数是7．
18. 某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算：．请借鉴该同学的经验，计算：______．
答案：2
解析：
思路：此题考查了运用平方差公式计算．
把原式前面乘，进一步利用平方差公式计算即可．
解答过程：解：
=
．
故答案为：2．
19. 已知实数a，b，c满足，则的值为_____．
答案：4053
解析：
思路：本题考查同底数幂的除法运算，代数式求值，正确掌握运算法则是解题关键．
根据题意，利用同底数幂的除法运算法则，由已知条件求出与的值，然后将原代数式变形，代入所求值即可得到结果．
解答过程：解：
．
∵，，，
∴，，
∴，
原式．
故答案为：4053．
20. 如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则______度．
答案：155
解析：
思路：首先根据平行线的性质，可设，再根据折叠的性质可得，，，再根据平行线的性质，可得，即可求得x的值，据此即可求得．
解答过程：解：四边形ABCD是矩形，
，
，
设，
，，
，
由沿AD折叠可知：，
，
由沿EF折叠可知：，
，
，
即，
解得，
，
，
故答案为：155．
方法提示：本题考查了矩形中的折叠问题，折叠的性质，平行线的性质，找准相等的角是解决本题的关键．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）．
21. 解答下列各题
（1）计算：．
（2）如图，，，，求的度数．
（3）先化简，再求值：，其中，．
（4）解方程：
①；
② ．
答案：（1）
（2） （3），
（4）①；②
解析：
思路：（1）先计算单项式乘以单项式和幂的乘方，再计算同底数幂除法，最后合并同类项即可得到答案；
（2）根据平行线的性质求解即可；
（3）根据多项式除以单项式的运算法则和完全平方公式去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可；
（4）①按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；②按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
（1）解：
；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：
，
当，时，原式；
（4）解：①
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得；
②
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得．
22. 解答下列各题
（1）如图，直线，相交于点，，垂足为．
①图中的对顶角是_________，的余角是_____________________，的补角是_________________；
②若，求的度数．
（2）“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们平方数的平均数”相等吗？若不等，相差多少？
答案：（1）①；；；②
（2）“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们平方数的平均数”不相等，“两个相邻整数的平均数的平方”比“它们平方数的平均数”小
解析：
思路：（1）①根据对顶角，余角和补角的定义求解即可；②根据邻补角互补求出的度数，再由垂线的定义求出的度数，据此可得答案；
（2）设（k为整数），求出的结果即可得到结论．
（1）①略；
②解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴；
（2）解：设（k为整数），
∴
，
∴“两个相邻整数的平均数的平方”与“它们平方数的平均数”不相等，它们相差．
23. 如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
（1）求计划种植草坪的面积；
（2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
答案：（1）计划种植草坪的面积为
（2）种植草坪应投入的资金是243000元
解析：
思路：本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．
（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；
（2）将a与b的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．
（1）解：（1）两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
（2），，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
24. 综合与实践
【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将70辆购物车从一层转运到负一层．
【相关素材】素材1：假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表是整齐叠放的购物车列的车身总长y（米）与购物车数量（辆）之间的关系：
素材2：如图，该超市的扶梯米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内．
【问题解决】
（1）根据表格中的数据，写出购物车列的车身总长（米）与购物车数量（辆）之间的关系式；
（2）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由．
答案：（1）（，且x为整数）
（2）解：该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．理由如下：
当时，，
∵，
∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕．
解析：
思路：（1）根据表格增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，据此结合已知列关系式即可；
（2）求出当时的y值，和比较大小即可得出结论．
（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，
则，
∴车身总长y与购物车数量x之间的关系式为（，且x为整数）；
（2）略
25. 甲、乙两地相距，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以、的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．
（1）______，______；
（2）求出发多长时间后，两车相遇？
（3）求出发多长时间后，两车相距？（直接写出答案）______
答案：（1），
（2）出发小时后两车相遇
（3）出发小时或小时或小时，两车相距．
解析：
思路：本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键．
（1）根据速度路程时间，进行列式求解即可；
（2）设出发x小时后两车相遇，根据两车相遇时，两车所走的路程之和为甲乙距离的两倍，列出方程求解即可；
（3）设出发t小时后两车相距，然后分在工程车还未到达乙地时，在工程车在乙地停留时，在工程车返回甲地的途中未相遇时，在工程车返回甲地的途中相遇后，四种情况建立方程求解即可．
（1）解：由题意得，，，
故答案为：，；
（2）解：设出发x小时后两车相遇，
根据题意得：，
解得，
答：出发小时后两车相遇；
（3）解：设出发t小时后两车相距，
①在工程车还未到达乙地，即当时，则，解得；
②在工程车在乙地停留，即当时，则，解得；
③在工程车返回甲地的途中，即当时，未相遇时：，解得（不合题意，舍去），
相遇后：，解得；
答：出发小时或小时或小时，两车相距．
购物车数量/辆
1
2
3
4
5
…
车身总长/米
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
…
a
3
1
m
17
b
x
购物车数量/辆
1
2
3
4
5
…
车身总长/米
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
…