山东省淄博市博山区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题（含解析）

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注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在下列图形中，不是多边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形，熟练掌握由条线段首尾顺次连接而成的封闭图形是多边形是解题的关键．根据多边形的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、该图形是由4条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
B、该图形是由3条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
C、该图形是由线段、曲线首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它不是多边形．故本选项符合题意；
D、该图形是由5条线段首尾顺次连接而成的封闭图形，所以它是多边形．故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解．
【详解】解：是小于1的数，将小数点向右移动9位可得符合要求的，
．
3. 如图，剪刀开合时，当增大时，的度数（ ）
A. 增大B. 增大C. 减小D. 不变
【答案】B
【解析】
【详解】解：与是对顶角，
，
当增大时，的度数也增大．
4. 有一个方程的解为，则这个方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将依次代入各选项方程，验证方程左右两边是否相等，相等即为正确答案．
【详解】解：将代入选项A左边 ，右边， ，故A错误；
将代入选项B左边，右边，，故B错误；
将代入选项C左边 ，右边，左边右边，故C正确； 将代入选项D左边 ，右边，，故D错误．
5. 如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题．
一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断．
【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．
则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是：
．
故选：D．
6. 下列方程变形正确的是（ ）
A. 方程，系数化为1，得
B. 方程，移项，得
C. 方程，去括号，得
D. 方程，去分母，得
【答案】B
【解析】
【分析】根据等式的基本性质以及解一元一次方程逐项判断即可．
【详解】解∶A．方程，系数化为1，得，即A选项错误；
B．方程，移项，得，即B选项正确；
C．方程，去括号，得，即C选项错误；
D．方程，去分母，得，即D选项错误．
7. 将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴.
8. （ ）
A. 1B. C. mD.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据乘法和乘方的意义，分别化简分子和分母，再利用同底数幂的除法法则计算得到结果．
【详解】
．
9. 如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】正方形的边长为，表示出两个阴影部分的面积，然后利用整式的乘法以及加减运算求解．
【详解】解：令正方形的边长为，
∵，
∴，
则，，
令，
则，，
∴．
10. 如图，点是线段的中点，是线段上的一点，点是的中点，，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了线段的和差计算，线段中点的性质，先根据中点的性质得出，根据已知求得，则，进而根据线段中点的性质求得，根据，即可求解．
【详解】解：∵点是线段的中点，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．
11. 计算： __________°．
【答案】
【解析】
【分析】度分秒换算的核心是60 进制，从秒到分、分到度，依次除以 60，注意逐级换算，避免跳步出错．
度、分、秒的换算规则：，，将分、秒逐级转化为度即可．
【详解】
故答案为：．
12. 如图，一束光线从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中为入射光线，为折射光线，直线为法线，点，，在同一条直线上.若，，则的度数为__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据对顶角相等，以及角的和差关系进行计算即可.
【详解】解：由题意，，
∴.
13. 若是一个完全平方式，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方式的结构特征列式计算，即可确定出的值．
【详解】解：是一个完全平方式，且，
或 ，
解得或，
14. 如图，在长方形中，动点P从A出发，以相同的速度，沿方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 _____．
【答案】21
【解析】
【分析】利用数形结合的思想进行求解．
【详解】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，的面积不变，结合图象可知，
当点P从点B运动到点C时，的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知，
∴长方形的面积为：．
15. 定义新运算：，其中，，，为有理数，如：．如果，则的值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据新运算：，得到，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
解得．
16. 如图1是一张长方形纸条，把这一纸条先沿折叠并压平得到图2，再沿折叠并压平得到图3，若图3中，则的度数为________．
【答案】
##111度
【解析】
【分析】如解图，根据折叠的性质和平角的定义可推出，，从而得到的度数，进而根据两直线平行同旁内角互补求得，即可解答．
【详解】解：如图所示，
由折叠可知：，，
∵，
∴，
又∵，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
17. 已知方程是关于x的一元一次方程，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义，可得未知数的次数为1，且未知数的系数不为0，据此列出关于m的等式和不等式，求解即可得到m的值．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴，
∴，
，
∴．
18. 如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有______．（写出所有正确条件的序号）
【答案】②④##④②
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键．
根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】①若，无法判断；
②若，则；
③若，无法判断；
④若则；
⑤若，无法判断；
故答案为：②④
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算负整数指数幂、零次幂、绝对值和有理数的乘方，再计算加减即可；
（2）根据同底数幂的乘法，幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
20. 小亮在解关于x的方程，去分母时忘记将方程右边的乘10，从而求得方程的解为．
（1）求m的值；
（2）写出正确的求解过程．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）先根据小亮错误的去分母方法，得到错误的方程，再将代入该错误方程，求解得到的值；
（2）将求得的代入原方程，按照解一元一次方程的正确步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1），求出方程的正确解．
【小问1详解】
解：依题意，
是方程的解，
，
解得．
【小问2详解】
解：∵由（1）得，
∴原方程可化为：，
，
，
，
．
21. 如图，点F在上，．
（1）尺规作图：过点F作，交于点H；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，试说明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图（作一个角等于已知角），平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的尺规作图及平行线的判定与性质是关键．
（1）根据尺规作图（作一个角等于已知角），作，根据平行线的判定，可得；
（2）由，可得，所以，再根据，可得，即可证明结论．
【小问1详解】
解：如图，线段就是所求作的线段；
【小问2详解】
解：，
，
，
由（1）得，，
，
．
22. 用方程的方法求解下面的问题：
已知两地相距420千米，一辆慢车从A地出发，每小时行驶60千米；一辆快车从B地出发，每小时行驶90千米．
（1）若两车同时出发，相向而行，经过多长时间两车相遇？
（2）若两车同时出发，反向而行，经过多长时间两车相距560千米？
（3）若慢车出发1小时后快车从B地出发，两车同向而行，快车在慢车后面，那么快车追上慢车用了多长时间？
【答案】（1）经过2.8小时两车相遇
（2）经过小时两车相距560千米
（3）快车追上慢车用了16小时
【解析】
【分析】（1）设经过小时两车相遇， 由题意得，解方程即可得出答案．
（2）设经过小时两车相距560千米，由题意得，解方程即可得出答案．
（3）设快车追上慢车用了小时，由题意得，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：设经过小时两车相遇，由题意得，
解得，
因此，经过2.8小时两车相遇；
【小问2详解】
解：设经过小时两车相距560千米，
由题意得，
解得，
因此，经过小时两车相距560千米；
【小问3详解】
解：设快车追上慢车用了小时，
由题意得，
解得，
因此，快车追上慢车用了16小时．
23. 物体平移的速度常用单位时间内移动的矩离来表示，如汽车每小时行千米，物体旋转的速度常用单位时间内转动的圈数或角度 来表示，如钟面上的时针每天转2圈，或每小时转，分针每小时转圈或每分钟转，还有电风扇每秒转圈或（每秒转圈，圈是）．我们在科学课中研究过一些简单的机械，下面是一个传送系统，由主动轮、从动轮和传送带组成，可 以将货物从 传送到， 主动轮每秒转圈 ．
（1）观察该系统，如果主动轮顺时针转，那么从动轮就会逆时针转 ．
（2）这个系统把货物从 传送到， 大约要多少秒？（计算时，圆周率取）
【答案】（1）；
（2）秒．
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的周长公式，对于两个互相咬合的从动轮、主动轮，从动轮的齿数从动轮转的圈数主动轮的齿数主动轮转的圈数．
由图可知，主动轮有个齿,从动轮有个齿，根据主动轮与从动轮的齿数比，从而求出转动圈数比，根据比值求出从动轮转动的度数；
根据货物从点运动到点，经过的长度为米，从动轮的周长为米，计算出从动轮需要转动，则主动轮需要转动圈，又因为主动轮每秒转动圈，可以求出需要的时间．
【小问1详解】
解：从图中可以看出主动轮有个齿轮，从动轮有个齿轮，
，
当主动轮转动时，从动轮转动的度数应是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：从动轮的周长为：(米)，
要把货物从 传送到，从动轮需要转(圈)，
则主动轮需要转动(圈)，
主动轮每秒转圈 ，
需要(秒)．
24. 甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答：
（1）运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________；
（2）直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度：
（3）甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由．
【答案】（1）10，2，1
（2）点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度．
（3）不能，理由见详解
【解析】
【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值．
（2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可．
（3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，
∴乙位置坐标为：，
根据关系图可知，
当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，
设乙的速度为：v，
故，
解得：．
根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，
，
故答案为：10，2，1
【小问2详解】
解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，
，
解得：，
则，
即甲、乙第二次相距5个单位长度．
【小问3详解】
解：不能，理由如下：
甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走，
则甲到达乙的位置一共需要，
乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走，
则乙到达甲的位置一共需要，
则甲、乙不能同时到达对方最初的位置．
25. 推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示．
【探究】
（1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________．
【应用】
（2）根据（1）中的公式解决如下问题：
①若，，求的值．
②计算：．
【答案】（1），，；（2）①8，②
【解析】
【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键．
（1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式；
（2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算．
【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式．
故答案为：，，．
（2）①因为，，且，
所以，即．
②
．
26. 若，我们则称是的“绝美角”．例如：若，，则是的“绝美角”，请注意：此时不是的“绝美角”．
（1）如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝美角”，此时________；（直接填写答案）
（2）如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝美角”，，求大小；
（3）如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒，当时，若是的“绝美角”，求出此时的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）的值或
【解析】
【分析】本题主要考查了角的和差计算、角平分线的定义、一元一次方程在角度问题中的应用以及分类讨论的数学思想，熟练掌握“绝美角”的定义，并能根据图形位置进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据“绝美角”的定义，结合已知的度数，列出方程求解的度数．
（2）分在内部和外部两种情况，先利用“绝美角”定义求出，再结合与的互补关系，计算出的大小．
（3）先由“绝美角”定义求出的固定度数，再分旋转未超过和超过两种情况，用含的式子表示出相关角的度数，最后根据的度数列方程求解的值．
【小问1详解】
解：是的“绝美角”，
，
，
又，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①如图，当在内部时，
由（1）知，
，
，
，
；
②如图，当在外部时，
，
，
由题可知，
，
解得，
，
，
，
；
综上，为或；
【小问3详解】
解：，是的“绝美角”，
，
，
．
①由题意得：，，
平分，平分，
，，
当未转够，即时，
如图：．
，
，
；
②当旋转超过，即时．
由题意得：转了，．
平分，平分，
，．
如图：即．
．
，
，
，
；
所以的值或．