山东省淄博市淄川区2025-2026学年七年级下学期期末考试 数学试题（含解析）

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一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）．
1. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 同位角相等
B. 若，，则
C. 全等三角形的对应角相等
D. 等腰三角形的两个底角相等
2. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
4. 不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（ ）
A. 第6次摸取到的一定是黄球
B. 第6次摸取到的可能还是黄球
C. 第6次摸取到的一定是红球
D. 第6次摸取到红球的可能性更大
5. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，平分，是上的一点，过点作交于点，过点作于点．若，，则线段的长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
8. 若一元一次不等式组的解集是，则“”表示的不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
9. 若关于的不等式有两个正整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 某地政府批了一块面积为的地块，准备建造若干幢楼房，每幢楼5层，共300套公租房．要求只建的两室两厅和的两室一厅两种户型，且建楼的土地面积不超过总土地面积的．求的户型最多可以建多少套？设的户型可以建套，则可列不等式为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
12. 如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（ ）
A. B. C. 2D.
二、细心填一填（本题共8小题，满分32分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）．
13. “四边形是多边形”的逆命题是______．
14. “煮熟的鸭子飞了”这个事件是_______________．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
15. 若一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是_______________．
16. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图的“风车”图案（阴影部分）．若图中的四个直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，现随机向图大正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______．
17. 如图，在中，，点P在的三边上运动，当成为等腰三角形时，其顶角的度数是__________．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是_____．

19. 若关于x的一元一次不等式组无解，则在允许取值范围内a取最小值时，a的平方根是______．
20. 如图，在中，，，，角平分线，相交于点，则点到的距离为_______________．
三、耐心做一做，相信你能写出正确的解答过程（共70分，注意审题要细心，书写要规范和解答要完整）．
21. 解方程组：
（1）（2）
解不等式（组）：
（3）（4）
22. 证明题
（1）求证：等腰三角形两底角的平分线相等．（要求：自己写出已知、求证、画出图形，并写出证明过程）
（2）已知：如图，，，．求证：．
23. 某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的发展，学校准备到体育用品店购买甲、乙两种型号乒乓球共200个．已知甲种乒乓球的单价为5元/个，乙种乒乓球的单价为7元/个．设购买甲种乒乓球个，这批乒乓球的总费用为元．
（1）请求出与的函数表达式；
（2）若要求甲种乒乓球的数量不超过乙种乒乓球数量的3倍，该校购进甲，乙两种型号乒乓球各多少个，才能使购买费用最低？最低费用为多少？
24. 手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示：
第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？
25. 如图1，点P、Q分别是等边边上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同．连接交于点M．

（1）求证：；
（2）当点P、Q分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交于点M，则和还全等吗？说明理由；
满分150分）
数学
一、精心选一选（本题共12小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出你认为唯一正确的选项，涂到答题卡上，每小题4分，计48分）．
1. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 同位角相等
B. 若，，则
C. 全等三角形的对应角相等
D. 等腰三角形的两个底角相等
答案：A
解析：
解答过程：解：选项A，只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的同位角才相等，原命题缺少“两直线平行”的前提，因此“同位角相等”是假命题；
选项B，根据有理数乘法法则，两个正数相乘，积一定是正数，若，，则，该命题是真命题；
选项C，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，该命题是真命题；
选项D，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，该命题是真命题．
2. 如图是一架婴儿车的示意图，其中，，，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据，，易求，由可求，则利用三角形内角和定理可求．
解答过程：解：如图，
，，
，
，
．
故选：D．
3. 若，则下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三个基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．首先由已知条件推导得出，再根据不等式的性质逐一分析各选项即可判断对错．
解答过程：解：，
．
对于选项A：取特殊值，，满足，但，与矛盾，故A选项错误；
对于选项B：根据不等式性质1，两边同时减去9，不等号方向不变，
，故B选项错误；
对于选项C：根据不等式性质1，两边同时加上，不等号方向不变，
，即，故C选项正确；
对于选项D：根据不等式性质3，两边同时乘以(负数)，不等号方向改变，
，故D选项错误．
故选：C．
4. 不透明的袋子中有2个红球、个黄球，这些小球除颜色外无其他差别．随机摸取1个小球后放回，连续摸取次，每次摸取到的都是黄球，下列说法正确的是（ ）
A. 第6次摸取到的一定是黄球
B. 第6次摸取到的可能还是黄球
C. 第6次摸取到的一定是红球
D. 第6次摸取到红球的可能性更大
答案：B
解析：
思路：本题考查了随机事件以及事件发生可能性的大小，理解事件可能性大小是解题的关键；
根据不同颜色的球的数量确定摸到哪种球的可能性的大小后即可确定正确的选项，即可求解；
解答过程：解：∵不透明的袋子中有2个红球、个黄球，
∴每次摸球摸到红球概率为，每次摸球摸到黄球概率为；
A、第6次摸取到的一定是黄球，错误，第6次摸取到的不一定是黄球，也有可能是红球；
B、第6次摸取到的可能还是黄球，正确；
C、第6次摸取到的一定是红球，错误，第6次摸取到的不一定是红球，也有可能是黄球；
D、第6次摸取到红球的可能性更大，错误，第6次摸取到黄球的可能性更大；
故选：B；
5. 若点在第二象限，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标符号，根据点在第二象限列出关于a的不等式组成为解题的关键．
根据点第二象限，列出关于a的不等式组求解即可．
解答过程：解：∵点在第二象限，
∴，解得：．
故选：A．
6. 如图，，垂足为，，点在上，，，依据上述条件可以判定．这种判定三角形全等的依据是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：首先根据垂直定义和平行线性质得出，再由得出，最后结合利用定理即可判定．
解答过程：解：，
，
，
，
和都是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
．
7. 如图，平分，是上的一点，过点作交于点，过点作于点．若，，则线段的长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
答案：C
解析：
思路：在上截取，连接，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，由等角对等边可得，通过证明得出，最后在中利用勾股定理即可求解．
解答过程：解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴在中，．
8. 若一元一次不等式组的解集是，则“”表示的不等式可以是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用一元一次不等式的解法，求出各选项的解集，再结合题中所给的解集，即可得出答案．
解答过程：解：解不等式x-10，得x>-3，则“”表示的不等式可以是选项A；
解不等式x- 3