2025--2026学年江苏扬州市新华中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏扬州市新华中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知，，则为（ ）
A. B. C. D.
2. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
3. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，已知为中点，则（ ）
A. B. C. D. 7
7. 记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（ ）
A. B. 3C. D.
8. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分）
9. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若、可以作为基底，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与的夹角为，则
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，且时，满足条件的三角形有两解，则
C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是
D. 若，，则该三角形内切圆面积的最大值是
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知，，则______．
13. 在四边形中，，则的值为__________.
14. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____.
四、解答题（本题共5小题，共77分.）
15. 已知，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
16. 已知分别是的内角的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
17. 如图，在中，已知分别为上的点，且.

（1）求；
（2）求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答，
问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______．
（1）求角B；
（2）已知，D为线段AC上的一点．
①若BD是边AC上的高，求BD的最大值；
②若，求BD的最大值．
19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）设向量的“积函数”为，若且，求的值；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，且，设，且的“积函数”为，其最大值为，证明.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，，则为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：依题意，.
2. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ）
A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里
答案：D
解析：
思路：根据题意利用正弦定理求解即可.
解答过程：如题图，，，
由正弦定理，得，解得，
故选：D．
3. 中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定
答案：C
解析：
解答过程：由正弦定理可知，为外接圆半径.
所以，所以余弦定理可知，
所以，所以的形状为钝角三角形.
4. 已知向量，满足，，且，则与的夹角（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由题意可得，解得，
因为，，
所以.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据三角函数的诱导公式和二倍角公式即可求解.
解答过程.
故选.
6. 如图，在中，已知为中点，则（ ）
A. B. C. D. 7
答案：C
解析：
思路：根据给定条件，利用表示，再利用数量积的运算律计算得解.
解答过程：在中，由为中点，得，
所以.
故选：C
7. 记的内角，，的对边分别为，，，若的外接圆半径为，且，则面积的最大值为（ ）
A. B. 3C. D.
答案：C
解析：
思路：由余弦定理求解，由正弦定理求解边长，再由化简，再由基本不等式求解即可.
解答过程：因为，
则由余弦定理得，
因为，则，
设的外接圆半径为，则，
由正弦定理得，，
则即为，
因为，则，
当且仅当时，等号成立，
则，
则面积的最大值为.
8. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用三角函数的两角和公式将展开化简，得到关于的表达式，再根据均值不等式求出取得最大值时的值，进而求出.
解答过程：已知，可得：，，
可得：，得：，
因为，所以，，等式两边同时除以和可得：
，上式可化为：，
又因为，代入上式可得： ，
令，则，，代入可得：
，
因为，所以，则.
根据均值不等式对于有：，
当且仅当，即，时等号成立.
所以，即当时，取得最大值.
因为，且，所以.
当取得最大值时，角.
故选：D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分.有选错的得0分）
9. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
思路：逆用和差角公式及二倍角公式逐项化简判断.
解答过程：对于A，，A正确；
对于B，，B错误
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若、可以作为基底，则
B. 若，则
C. 若在上的投影向量为，则
D. 若与的夹角为，则
答案：AC
解析：
思路：利用平面向量基底的定义可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的坐标运算和定义可判断D选项.
解答过程：已知向量，，易知、均为非零向量，
对于A选项，若、可以作为基底，
则、不共线，可得，解得，故A正确；
对于B选项，，
则，解得或2，故B错误；
对于C选项，在上的投影向量为
，
即，解得，故C正确；
对于D选项，因为与的夹角为，则，
即，整理可得，
解得或9，故D错误.
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，且时，满足条件的三角形有两解，则
C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围是
D. 若，，则该三角形内切圆面积的最大值是
答案：BCD
解析：
思路：由正弦定理及比例的性质判断A；由正弦定理及大边对大角，判断B；由三角形的内角和及两角和差的余弦、正弦公式化简，并利用正弦函数的单调性求得其取值范围，判断C；根据直角三角形内切圆半径的特征及辅助角公式求得内切圆半径的最大值，即可求得内切圆面积的最大值，判断D.
解答过程：对于A，若，，则由正弦定理知，，
所以，所以A不正确；
对于B，若，且，且满足条件的三角形有两解，则，为锐角或钝角.
由正弦定理，得.
因为，所以，所以B正确；
对于C，若为锐角三角形，且，则，
所以
.
因为，所以，所以.
令，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，
所以，即的取值范围是，所以C正确；
对于D，若，
则由正弦定理得.
因为，
，
所以，即.
因为，所以，所以，
所以.
因为，所以.
的内切圆半径为，
当时，取得最大值，此时的内切圆半径取得最大值，
所以该三角形内切圆面积的最大值是，所以D正确
三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）
12. 已知，，则______．
答案：
解析：
思路：利用辅助角公式将进行化简，根据角度范围求得．
解答过程：根据辅助角公式：，
可得：；则，即；
因为，故时，．
13. 在四边形中，，则的值为__________.
答案：##
解析：
思路：根据已知有，利用余弦定理求边长即可.
解答过程：由题设，且，
由.
故
14. 在边长为1的正方形中，，为线段上的动点，且，则的最小值为_____；若是正方形的内切圆的一条弦，当弦的长度最大时，则的最大值为_____.
答案： ①. 16 ②. ##0.25
解析：
思路：根据平面向量共线的性质以及基本不等式即可求得的最小值；结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围.
解答过程：根据题意由为线段上的动点，可知，，三点共线，
又，可得，
因此，且，，
所以
；
当且仅当时，等号成立，即的最小值为16；
取内切圆的圆心为，连接，如图所示：
易知弦的长度最大时，为直径，此时；
又
；
显然当最大时，即在点处时，此时，取得最大值，
即.
四、解答题（本题共5小题，共77分.）
15. 已知，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用同角的三角函数关系求出，代入二倍角正弦公式求解即可.
（2）利用同角的三角函数关系求出，代入两角差的正切公式求解即可.
（1）因为，且，
所以，
所以；
（2）由（1）知，，，所以，
.
16. 已知分别是的内角的对边，.
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
答案：（1）
（2），.
解析：
思路：（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到，从而有，即可求解；
（2）根据条件，利用平方关系得到，由三角形面积公式得，再结合（1）中结果，由余弦定理得到，即可求解.
（1）因为，由正弦定理得，
整理得到，即，
即，由正弦定理得，即.
（2）由，得，
又，得，
由余弦定理，且由（1）知
所以，整理得，
即，解得或（舍），
所以，.
17. 如图，在中，已知分别为上的点，且.

（1）求；
（2）求证：；
（3）若线段上一动点满足，试确定点的位置.
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）是线段的中点
解析：
思路：（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解；
（2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证；
（3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解.
（1）依题意，记，
因为，所以，，
因为，
所以，
则，
故.
（2）因为，所以，
所以，
则，即.
（3）因为，所以是的中点，故，
因为，所以，即，
所以是线段的中点.
18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答，
问题：在中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且______．
（1）求角B；
（2）已知，D为线段AC上的一点．
①若BD是边AC上的高，求BD的最大值；
②若，求BD的最大值．
答案：（1）
（2）①；②
解析：
思路：（1）选①时，用正弦定理把边化为角，约去不为的，得到与关系，进而求出，确定的值.
选②时，根据三角形面积公式化简条件，同样得到与关系，求出确定.
选③时，利用三角函数的两角和正切公式，结合已知条件求出，从而得到的值.
（2）①通过三角形面积公式得出BD与ac的关系，再利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，进而得到BD的最大值；
②先根据正弦定理求出外接圆半径，再利用向量关系得到的表达式，通过三角函数的恒等变换化简，最后根据的取值范围求出的最大值，从而得到BD的最大值.
（1）选择①：条件即，
由正弦定理可知，，
在中，，所以，，
所以，且，即，所以
选择②：条件即，
即，
在中，，所以，则，所以，所以
选择③：条件即，
所以，
在中，，所以．
（2）①因为的面积，所以
在中，由余弦定理得：
所以，从而
当且仅当取等．所以BD的最大值为
②由正弦定理得：，R为外接圆半径，
因为，
则
因为，故当，即时，取得最大值
则BD的最大值为
19. 定义函数的“积向量”为，向量的“积函数”为.
（1）设向量的“积函数”为，若且，求的值；
（2）若向量的“积函数”满足，求的值；
（3）已知，且，设，且的“积函数”为，其最大值为，证明.
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）由已知可得，根据三角函数的性质求解即可；
（2）令，由已知根据三角恒等变换求解即可；
（3）由已知可得，根据三角函数的有界性可得最大值和与的关系，从而可证得.
（1）依题意，，
则，由，得，则，
所以.
（2）向量的“积函数”为，
令，则
，
于是，，即，，
所以.
（3）设，，
则
于是
，
而，
当且仅当存在使得时取等号，，，
两式相减得，则，，即，
因此，
所以.