2025--2026学年江苏省东海高级中学高三下学期高考适应性考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省东海高级中学高三下学期高考适应性考试数学试题-含解析试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 某冷饮店日盈利（单位：百元）与当天气温（单位：℃）之间有如下数据：
已知与之间具有线性相关关系，则与的线性回归方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，已知，，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
5. 在中，，为斜边上一点，，则（ ）
A. B. 2C. D.
6. 某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（ ）
A. 36种B. 42种C. 48种D. 56种
7. 椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（ ）
A. B. C. 2D. 1
8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，点Q的轨迹方程为
B. 当，时，直线的方程为
C. 当，时，
D. 若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则
10. 对于曲线：，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线过原点
B. 曲线关于轴对称
C. 曲线上点的纵坐标的取值范围是
D. 若点为曲线上一动点，，，则的面积最大值为6
11. 已知函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 有6个零点
C. 在上单调递减D. ，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________．
13. 已知函数，若，且，则________．
14. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的数学期望为________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，，点在边上，，，．
（1）求；
（2）求．
16. 袋中有个白球和个黑球，从中任取一球，若取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为.
（1）求的数学期望；
（2）设，求，.
17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点．

（1）证明：平面平面；
（2）若，
（ⅰ）求四棱锥体积的最大值；
（ⅱ）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
18. 已知双曲线：（，）的右焦点到渐近线的距离为2，过右焦点垂直于实轴的弦长为4．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设双曲线的左顶点为，若斜率为2的直线与的右支相交于，两点，点关于原点的对称点为．
①证明：的垂心在上；
②证明：，，，四点共圆．
19. 已知正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，证明：；
（3）将数列的前项重新排列后得到新数列，，…，，该数列满足，，，…，是1，2，3，…，的一个排列，求的最小值．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为集合，，，
所以，即，解得.
2. 若复数满足（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题可得，
则的虚部为.
3. 某冷饮店日盈利（单位：百元）与当天气温（单位：℃）之间有如下数据：
已知与之间具有线性相关关系，则与的线性回归方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由题目可得，，
故这组数据的样本中心为，将代入每个选项的方程中，
对于A，，不经过样本中心；
对于B，，经过样本中心；
对于C，，不经过样本中心；
对于D，，不经过样本中心；
4. 在中，已知，，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：D
解析：
思路：根据及求出，同理求出，利用即可求出答案.
解答过程：，
因为，所以，
易知均不为，所以，
，
因为，所以，
即，
所以.
5. 在中，，为斜边上一点，，则（ ）
A. B. 2C. D.
答案：C
解析：
思路：根据平面向量基本定理得到，根据，代入计算即可求出答案.
解答过程：因为，所以，得，
由题意知，即，
所以.
6. 某单位7月1日至7月3日计划安排6个人值班，要求每人值班1天，每天安排两人，若小王不能值7月1日，小李不能值7月3日，则不同的值班方法有（ ）
A. 36种B. 42种C. 48种D. 56种
答案：B
解析：
思路：采用间接法求解，先计算无约束的总安排数，扣除小王值1日、小李值3日的不符合情况，再加回重复扣除的小王值1日且小李值3日的情况.
解答过程：计算无约束条件的总安排数：
从6人中选2人值7月1日，剩余4人选2人值7月2日，最后2人值7月3日，总方法数为
计算不符合要求的情况：
小王值7月1日：1号已确定小王，从剩余5人中选1人同值1号，剩余4人分两组值2、3日，方法数为
小李值7月3日：3号已确定小李，从剩余5人中选1人同值3号，剩余4人分两组值1、2日，方法数为
小王值7月1日且小李值7月3日：1号从剩余4人中选1人，3号从剩余3人中选1人，剩下2人值2号，方法数为
符合要求的安排数为，即不同的值班方法有42种.
7. 椭圆：与双曲线：有公共的焦点，，为与的交点，则的面积为（ ）
A. B. C. 2D. 1
答案：C
解析：
思路：先由椭圆与双曲线共焦点得到与的关系，再联立两曲线方程求出交点纵坐标，结合焦距计算三角形面积.
解答过程： 由题意知，双曲线的焦点在轴，且与椭圆共焦点，因此椭圆的焦点也在轴，
对椭圆，半焦距满足；对双曲线，半焦距满足，故，即，
联立两曲线方程x2m+y22=1x2n−y22=1，两式相加得，解得，
将代入椭圆方程，整理得，代入得，
因为的底为，高为，因此面积，
由，得，即，
所以，所以，的面积为.
8. 已知正方体外接球的表面积为，点，分别是棱，的中点，动点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据正方体外接球的表面积为可得正方体棱长为，建立空间直角坐标系，根据点到直线距离、点到平面距离空间向量法结合计算求解.
解答过程：设正方体的棱长为，
由题意可得，解得，
以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，设，
因为，所以，所以，
设点到直线的距离为，
，，则，
设平面的法向量为，
则，取，则，
所以平面的法向量为，
设三棱锥的高为，则，
因为，
所以四面体的体积为.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 设a，b为实数，已知圆O：，点在圆O外，以线段为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点．下列说法中正确的是（ ）
A. 当时，点Q的轨迹方程为
B. 当，时，直线的方程为
C. 当，时，
D. 若圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，则
答案：BCD
解析：
思路：根据为的直径，所以，可求，得点轨迹，判断A的真假；根据两圆公共弦的直线方程的求法 ，判断B的真假；利用二倍角公式，求，判断C的真假；利用点与圆的位置关系，判断D的真假.
解答过程：对A：如图

时，，所以点Q的轨迹方程为，故A错误；
对B：如图：
当，时，的方程为：即，
所以直线的方程为.
故B正确；
对C：如图：
当，时，在中，，
所以.
故C正确；
对D：因为点在外，所以，又圆O上总存在两个点到点Q的距离为1，
所以，所以，即.
故D正确.
故选：BCD
10. 对于曲线：，下列说法中正确的是（ ）
A. 曲线过原点
B. 曲线关于轴对称
C. 曲线上点的纵坐标的取值范围是
D. 若点为曲线上一动点，，，则的面积最大值为6
答案：BC
解析：
思路：检验是否在曲线上后可判断A的正误，将方程中的换成后观察方程的变化情况后可判断B的正误，根据方程的形式可得，故可判断C的正误，根据C选项，可判断D的正误.
解答过程：记．
A，由于，于是点不在曲线C上，故A错误；
B，由于，于是曲线C关于x轴对称，故B正确；
C，根据题意，，
于是，等号当时取得，
结合连续性可知曲线C上的点的纵坐标的取值范围是，故C正确；
D，由C可知，
从而点P到的距离的最大值为2，，
从而面积取得最大值为，故D错误．
11. 已知函数，则（ ）
A. 是偶函数B. 有6个零点
C. 在上单调递减D. ，
答案：AC
解析：
思路：利用函数的奇偶性，零点，单调性及最值逐个选项分析即可.
解答过程：对于选项A，，
由诱导公式，可得
，
所以的定义域是显然关于原点对称.
，
化简得，，
由诱导公式，可得
，
故是偶函数，选项A正确.
对于选项B，，即
，等价于或，
当时，在内的解为和，共2个零点.
当时，由对数的运算性质有
，整理得
，由，可知该方程有两实根：
.
因为，所以，均在定义域内，共2个零点.
综上，函数共有4个零点，故选项B错误.
对于选项C，，
当时，.
,
考察二次函数在上单调递增，
故.
所以，.
而当时，显然，设函数，
则，
所以在上单调递减，
即，
因为，因为，
所以，所以，
所以，
所以，
而当时，，
所以，
所以，即函数在上单调递减，故选项C正确.
对于选项D，当趋近时，函数趋近于负无穷大，故不恒成立，故D错误.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________．
答案：
解析：
解答过程：，.
设曲线与曲线在点处有公切线，
所以，即，解得，.
所以，正数的值为5.
13. 已知函数，若，且，则________．
答案：##
解析：
解答过程：由函数， ，，
得，即，
即得，即，
则，即，
由，得，则，故，即，
则，则.
14. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打局数的数学期望为________．
答案：
解析：
思路：依题意，得到的所有可能值为2，4，6，求得每两局比赛为一轮，得到结束时比赛停止的概率为，进而求得相应的概率，利用期望的公式，即可求解.
解答过程：依题意，随机变量的所有可能值为2，4，6，
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，
此时该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，
可得，
所以.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，，点在边上，，，．
（1）求；
（2）求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）设、（），利用正弦定理结合互补角的正弦值相等求出；
（2）通过余弦定理求得，再用勾股定理计算.
（1）设，，，
在中，，故，
因为 ，所以，
在中，由正弦定理得，
代入，得：，化简得 ，结合，解得；
（2）在中，，，，
由余弦定理得：，故，
由，得，即，
在中，由勾股定理得：.
16. 袋中有个白球和个黑球，从中任取一球，若取出白球，则把它放回袋中；若取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中.在重复次这样的操作后，记袋中白球的个数为.
（1）求的数学期望；
（2）设，求，.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）当时，袋中白球的个数可能为或，得概率为或，求期望即可；
（2）当时，求出，再分别计算第次操作后袋中
有个白球和第次操作后袋中有个白球，求解计算即可.
（1）当时，袋中白球的个数可能为（即取出的是白球），概率为；
也可能为（即取出的是黑球），概率为.
故
（2）当时，
当时，第次操作后袋中有个白球的可能性有两种：
①第次操作后袋中有个白球，显然每次取球后，球的总数保持不变，
即个（此时黑球有个），第次取出来的也是白球，
这种情况发生的概率为；
②第次操作后袋中有个白球，第次取出来的是黑球，
由于球的总数保持不变，为个，故此时黑球的个数为，
这种情况发生的概率为，
故，
综上所述，
17. 如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点．

（1）证明：平面平面；
（2）若，
（ⅰ）求四棱锥体积的最大值；
（ⅱ）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．
答案：（1）因为 底面 ， 底面，所以；
又底面 是菱形，菱形对角线互相垂直，故，
平面，因此 平面，
又 平面，所以平面平面；
（2）（ⅰ）；（ii）
解析：
思路：（1）根据面面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）（i）设，结合题意可推出，继而推出，根据棱锥体积公式可得四棱锥体积的表达式，利用导数可求得其最大值；（ii）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
（1）略
（2）（i）设，则，而，
故，
又底面，底面，则，故，
即，故，
则菱形的面积为，
故四棱锥体积为，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故时，取最大值，最大值为，
故四棱锥体积的最大值为；
（ii）当四棱锥体积最大时，,
以O为坐标原点，以所在直线为轴，过点O作底面的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，
,
设平面的法向量为，则,
即，令，则；
设平面的法向量为，则,
即，令，则；
则，
由原图可知二面角为锐角，故其余弦值为.
18. 已知双曲线：（，）的右焦点到渐近线的距离为2，过右焦点垂直于实轴的弦长为4．
（1）求双曲线的离心率；
（2）设双曲线的左顶点为，若斜率为2的直线与的右支相交于，两点，点关于原点的对称点为．
①证明：的垂心在上；
②证明：，，，四点共圆．
答案：（1）
（2）①设斜率为2的直线与双曲线交于,,
联立得，则，，
，解得，
，
设的垂心为，因为的斜率为2，所以的斜率为，
所以的方程为，即，
因为，，所以，
所以的方程为,
代入得，
即，
即，
因为在上，所以，代入上式并使用韦达定理得
，
因为，所以，解得，代入得，
即，代入双曲线得，等式成立，
故的垂心在双曲线上.
②点关于原点的对称点为，
则四点为，
若四点共圆，圆心必在各弦的垂直平分线上，设线段与的垂直平分线交于点，
线段的中点为，
因为，其垂直平分线的斜率为2，
则的垂直平分线的方程为，整理得,
线段的中点为，其中，
则，即的中点为，
直线的斜率，
其垂直平分线的斜率为，
则的垂直平分线的方程为，整理得，
联立得
，
代入得，
，
由韦达定理得，
代入得，
，
，
则，
所以，即，
由点在线段与的垂直平分线上可知且，
综上所述，，
即点到定点的距离相等，故四点共圆得证.
解析：
思路：（1）结合焦点到渐近线的距离公式与通径长公式直接解出双曲线的参数a和b，从而求得离心率.
（2）①设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理求出两条高线的交点即垂心的坐标，最后将坐标代入验证其满足双曲线方程;②分别求出线段和的中垂线交点作为假定圆心，再利用韦达定理推导证明该交点到等点的距离平方相等，以此证明四点共圆.
（1）由题意得右焦点为，其中一条渐近线为，即，
则点到渐近线的距离为，
且通径长为，解得，
则，
则，则双曲线的方程为.
（2）略
19. 已知正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，证明：；
（3）将数列的前项重新排列后得到新数列，，…，，该数列满足，，，…，是1，2，3，…，的一个排列，求的最小值．
答案：（1）；
（2）由（1）知，所以是的一个排列．
令，则是的一个排列，并且．
因此，只需研究排列的相邻两项之差的绝对值之和．
对于每个，在与之间画一条“分界线”，即把分成和．
记为相邻项对中，一项不大于、另一项大于的相邻项对数，也就是相邻项跨过第条分界线的次数．
下面说明“跨分界线的次数”为什么等于相邻差的绝对值．
若某一对相邻项为，且，那么从到依次跨过，，，这条分界线．
因此，这一对相邻项在中各被计算一次，总共被计算次．
把所有相邻项对的贡献相加，得到.
接下来估计每个的最大值．
当时，集合中有个数．
每个数在排列中最多与两个数相邻，所以由这些数产生的跨界相邻项对最多有对，即．
当时，整个排列一共只有对相邻项，所以．
当时，集合中有个数．
同理，每个数最多与两个数相邻，所以．
于是.
.
下面构造一个排列，使相邻差绝对值之和恰好等于．
当时，．
当时，取排列满足，；（）；（）．
也就是说，该排列为k, k+2, 1, k+3, 2, …, 2k, k−1, k+1 ．
其中，、、以及都恰好出现一次，所以它确实是的一个排列．
在这个排列中，首、尾两个相邻差均为；有个相邻差等于；有个相邻差等于．
因此．
结合前面的上界，得．
下面证明所给不等式．当时，．
当时，对，有，所以．
于是．
．
．
．
故原不等式成立． （3）
解析：
思路：（1）由时，将关于与的两个等式相减，得到相邻两项的递推关系，再由正项条件确定公差和首项．
（2）先将各项同时减去，把问题化为排列的相邻差绝对值之和的最大值问题．通过统计相邻项跨越各整数分界线的次数求出上界，再构造一个排列达到该上界，得到的准确值，最后进行放缩与裂项相消．
（3）仍统计相邻项跨越各整数分界线的次数，并利用数列首、尾两项在相邻关系中只出现一次，得到首、尾两项到中间数的距离之和的上界，从而求出的下界；再构造排列说明下界可以取到．
（1）由题可知，，所以有，
即
因为数列是正项数列，所以.
即数列是以1为公差的等差数列
令，有
，所以解得，（负舍）.
所以.
（2）略
（3）由（1）知，所以是的一个排列．
记
对于，记为相邻两项中一项不大于、另一项大于的相邻项对数．
若相邻两项为，且，那么这对相邻项恰好跨越这个分界线，
因此它对的贡献为．
由题意得，
又因为这些相邻差的绝对值是的一个排列，
所以
当时，考虑这个数．
其中不在数列首、尾位置的数有两个相邻项，位于首、尾位置的数只有一个相邻项．
设中不大于的数有个，则
当时，考虑，这个数．
设中大于的数有个，同理可得
将这些不等式相加，
得
计算前两项，得
对于首、尾两项中的任意一项，若，它在中各被计算一次，
共计算次；若，它在中各被计算一次，共计算次．
所以，
结合前面的等式与不等式，得
所以
又因为
所以
下面说明可以取到．取
此时相邻两项之差的绝对值依次为恰好是的一个排列，
并且
因此的最小值为．
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
15
20
25
30
35
y/百元
1
2
2
4
5
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
15
20
25
30
35
y/百元
1
2
2
4
5