2025--2026学年江苏省南通市如东县高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏省南通市如东县高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 5种B. 60种C. 120种D. 243种
2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是（ ）
A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组
3. 某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（ ）
A. B. C. D.
4. 某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（ ）
A. 1%B. 1.45%C. 2.45%D. 5%
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知随机变量分布，则其方差的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，则（ ）
A.
B. 该经验回归直线必过
C. 变量x，y呈正相关
D. 可预测当时，y约为
10. 已知随机事件，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. “算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中含项的系数是______.
13. 已知，，则___________．
14. 某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能地传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果列于下表．
（1）求；
（2）问：能否有90%的把握认为疫苗有效？
附：，其中．
16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列．
（1）求展开式中的所有项的二项式系数和；
（2）在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项（的指数为整数的项）的概率．
17. 假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为．
（1）求；
（2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率；
（3）求的概率分布和期望．
18. 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为．
（1）若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和；
（2）求使得最大的的值．
19. 为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立．
（1）若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列；
（2）一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望；
（3）现对两个相同的元件同时进行测试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求．
参考公式：若，则．
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（ ）
A. 5种B. 60种C. 120种D. 243种
答案：D
解析：
思路：根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得.
解答过程：5名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，
则每人有三种选择，则不同的报名方式有种.
2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，且，，则线性相关程度最强的是（ ）
A. 甲组B. 乙组C. 丙组D. 丁组
答案：A
解析：
解答过程：由题意可知，
所以，
因为，所以，则，
所以最大，根据相关系数概念可知，线性相关程度最强的是甲.
3. 某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由于任何两队间进行次主场比赛与次客场比赛，
所以一场比赛相当于从个不同元素中任取个元素的一个排列．
因此总共进行的比赛场次是．
4. 某厂用甲、乙两台机器生产同样的零件，它们的产量各占45%，55%．而各自的产品中废品率分别为3%，2%．则该厂这种零件的废品率是（ ）
A. 1%B. 1.45%C. 2.45%D. 5%
答案：C
解析：
解答过程：记事件为零件为废品，事件为甲机器生产的产品，事件为乙机器生产的产品．
则．
5. 设，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：令，得，
令，得，
所以
．
6. 已知随机变量分布，则其方差的最大值是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由随机变量分布，设，，
则此分布列的期望，
再由方差公式可得： ，
根据二次函数的性质可知：当时​，取到最大值，
即.
7. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：由正态分布的对称性即可求解.
解答过程：由，可知其对称轴为：，
又，由对称性可知：
8. 将一个各面都涂了油漆的正方体切割为27个同样大小的小正方体，经过充分搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题意得出的所有可能取值为，根据涂3面油漆，2面油漆，1面油漆，0面油漆的小正方体的个数，计算取每个值时的概率，从而求出的值．
解答过程：的所有可能取值为，
涂3面油漆的小正方体有8个；涂2面油漆的小正方体有12个；
涂1面油漆的小正方体有6个；涂0面油漆的小正方体有1个；
则，，，，
所以．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知x，y的取值如下表所示，由散点图分析可知y与x线性相关，且回归直线方程为，则（ ）
A.
B. 该经验回归直线必过
C. 变量x，y呈正相关
D. 可预测当时，y约为
答案：ACD
解析：
思路：根据回归直线必过样本中心点求解的值，结合回归直线方程的性质依次判断选项即可.
解答过程：由题可得：，，所以,
解得：,故A正确；
回归直线必过样本中心点为，故B错误；
由于,所以变量x，y呈正相关，故C正确；
当时，，故D正确
10. 已知随机事件，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：利用条件概率公式先求出，再结合概率加法公式、对立事件概率公式逐一计算各选项的概率，判断正误.
解答过程：对于A ：根据条件概率公式 ，得​，A正确；
对于B：根据概率加法公式 ，得：​，B正确；
对于C：​，C错误；
对于D： 根据对立事件概率，​，
因此 ​，D正确.
11. “算两次”是指将一个量用两种方法分别算一次，由结果相等得到等式，这是一种非常有用的思想方法．如由等式知左右两侧含项的系数相等．则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：对A，根据排列数的阶乘定义展开化简左边，整理后与右边对比，即可验证；对B，利用题目给出的算两次思想，对等式，比较两边的系数，即可验证；对C，对，比较两边的系数即可验证；对D，先利用组合数性质化简右侧求和式，再结合选项C结论对系数算两次，即可推导验证.
解答过程：对于A： 左边​， 右边，显然不相等，A错误；
对于B： 对等式，比较两边的系数：
右边的系数为​；左边的系数为，由组合性质，
因此系数可化为， 等式成立，B正确；
对于C：对，比较两边的系数：
右边系数为；左边系数为， 等式成立，C正确；
对于D：利用组合恒等式​化简右侧求和： (令 j=i−1,得)由选项C公式，，代入得： 等式成立，故D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 展开式中含项的系数是______.
答案：240
解析：
思路：先对二项式因式分解，分别写出展开式的通项，令的指数为 1 ，求出参数的值，代入通项即可得解.
解答过程：因为 ，
的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，其中 ，
所以 的展开式通项为 ，
由 ，可得 或 ，
因此，展开式中含 x 项的系数为 .
故
13. 已知，，则___________．
答案：
解析：
思路：本题考查线性回归方程，代入公式即可求解.
解答过程：由于，
所以
所以，
又
所以 ,故.
14. 某公司团建活动中，5人围成一圈进行击鼓传花游戏，规定先由甲将花传出，每次传花时传花者等可能地传给左右相邻的人，则经过10次传花后花在甲手中的概率是___________．
答案：
解析：
思路：设经过次传花后花在甲手中的概率是，则由题意可得，结合，，逐项计算即可得；也可求出通项公式，结合因式分解等计算技巧计算即可得.
解答过程：假设与甲左右相邻的人分别为乙、丙，不相邻的两人分别为丁、戊，
设经过次传花后花在甲手中的概率是，
经过次传花后花在乙或丙手中的概率是，
则经过次传花后花在丁或戊手中的概率是，
则有，，
由，则，
故，整理得，
法一：由题意可得，，则，
，，
，，
，，
，，
故经过10次传花后花在甲手中的概率是.
法二：由，则，
令，解得，，
则可设，
又，，则，
解得，故，
即，
则，
由，，则，，
则，
，
，
则
，
故，故经过10次传花后花在甲手中的概率是.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病原菌，其结果列于下表．
（1）求；
（2）问：能否有90%的把握认为疫苗有效？
附：，其中．
答案：（1），；
（2）有90%的把握．
解析：
思路：（1）根据列联表已知数据分析可得；
（2）根据题设列联表求卡方值，将其与小概率对应的临界值比较，即可判断是否有的把握认为疫苗有效.
（1），．
（2）零假设：接种疫苗与发病相互独立，即接种疫苗对预防发病无效，
由列联表知：，
根据小概率的独立性检验，有充分证据推断出不成立，故有90%的把握认为疫苗有效．
16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列．
（1）求展开式中的所有项的二项式系数和；
（2）在展开式中所有项中任取2项，求这2项均为有理项（的指数为整数的项）的概率．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先利用二项式通项写出前三项系数，根据等差数列中项性质列方程求出的值，再由二项式系数和公式直接算出结果，完成第一问求解.
（2）先根据写出通项,由有理项要求的指数为整数筛选出偶数得到有理项个数，再用组合数分别求出总取法数和有理项取两项的方法数，作比值即可得到概率.
（1）展开式通项为：，其中.
展开式前3项系数分别为：
时，系数为；
时，系数为；
时，系数为.
由前3项系数成等差数列，得，整理得.
解得或（舍去），二项式系数和为.
（2）时，通项为，.
有理项要求为整数，即为偶数，故，共5项有理项；
展开式总项数为项.
从9项中任取2项的总组合数：；
从5项有理项中任取2项的组合数：；
所求概率.
17. 假设某射手每次射击命中目标的概率为．现有5发子弹，该射手射中目标2次就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为．
（1）求；
（2）在的条件下，求该射手第2次射击射中目标的概率；
（3）求的概率分布和期望．
答案：（1）
（2） （3）分布列见解析，
解析：
思路：（1）利用独立事件乘法公式求概率即可；
（2）利用条件概率公式求解即可；
（3）利用分布列来求解期望.
（1）前2次命中目标1次，第3次命中目标，则
（2）前3次命中目标1次，第4次命中目标，则．
记该射手第2次射击射中目标为事件，耗用子弹数为4为事件，
则．
所以．
（3），，，
．
所以．
18. 为了估计某自然保护区中一种珍稀鸟类的种群数量，生态学家采用了标记重捕法．具体操作如下：假设该鸟类的种群数量为，首先，从保护区中随机捕捉20只该种鸟类，对它们进行标记后放回保护区．经过足够长的时间，使得标记鸟与未标记鸟在种群中充分混合．然后，再次从保护区中随机捕捉50只该种鸟类，记其中被标记的鸟的数量为．
（1）若，求被捕捉的50只中至少1只被标记的概率（用组合数表示）和；
（2）求使得最大的的值．
答案：（1），
（2）在时取得最大值．
解析：
思路：（1）根据超几何分布进行直接求解即可；
（2）易知，再根据函数单调性解不等式可得当时，，当时，，所以在时取得最大值.
（1）因为，所以服从超几何分布，
其中，，．
，．
（2）当时，．
当时，．
设，则．
由，解得，
即时，，
即时，，
所以在时取得最大值．
19. 为了研究一种新型电子元件的稳定性，工程师对其进行压力测试．已知该元件在单次测试中正常工作的概率是，且每次测试的结果相互独立．
（1）若，现对该元件进行3次测试，记正常工作的次数为，求的分布列；
（2）一个测试序列由连续测试组成，直到元件首次出现故障为止．设为该序列中元件正常工作的次数，定义“稳定指数”为且，求的期望；
（3）现对两个相同的元件同时进行测试，每轮对各进行一次测试．记为首次出现“恰好一个元件正常工作”总共进行的测试轮数，若，求．
参考公式：若，则．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）依据二项分布概率公式，代入组合数与对应概率，依次算出随机变量取不同值时的概率，列出分布列.
（2）先依据题意列出随机变量期望的无穷项表达式，提取公因式转化为无穷等比数列，利用题干给出的参考公式化简求出期望.
（3）先求出单次试验对应事件的概率，将随机变量判定为几何分布，分别用错位相减、拆项变形两种方法推导期望公式，再结合已知期望数值列方程，求解并根据题意舍去不合理的解.
（1）由题意得服从二项分布，所以
，
，
，
．
（2）因为，所以，
所以，
所以
（3）记“恰好一个元件正常工作”为事件，则．
设，则，
所以．
方法一：
因为，
所以，
所以，所以．
方法二：
所以
，
所以．
因为，所以或（舍去）
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
m
发病
没发病
合计
接种
a
27
30
没接种
17
b
30
合计
20
40
60
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
x
0
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
m
发病
没发病
合计
接种
a
27
30
没接种
17
b
30
合计
20
40
60
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
0
1
2
3
​
​
​
​
0
1
2
3
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