2025-2026学年江苏省东海高级中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年江苏省东海高级中学高二（下）期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.不等式的解集为（ ）
A. [2，8]B. （7，12）
C. {x|7＜x＜12，x∈N}D. {8}
2.从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ）
A. 12种B. 7种C. 4种D. 3种
3.已知随机变量X～B（n,p），若，，则=（ ）
A. 15B. C. D.
4.展开式中含的项是（ ）
A. 第8项B. 第9项C. 第10项D. 第11项
5.由1，2，3，4，5组成没有重复数字的5位数，其中大于21300的正整数个数为（ ）
A. 81B. 87C. 96D. 105
6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()
A.
B.
C.
D. ​
7.广西壮族自治区桂林市荔浦市，被称为“中国衣架之都”，是全国最大的木衣架生产和出口基地，已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，甲、乙车间的优品率分别为95%，90%.现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（ ）
A. 93%B. 93.5%C. 94%D. 94.5%
8.某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为Y，则有（ ）
A. E（X）=E（Y），D（X）=D（Y）B. E（X）＞E（Y），D（X）＜D（Y）
C. E（X）⟨E（Y），D（X）⟩D（Y）D. E（X）=E（Y），D（X）＜D（Y）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则下列结论中正确的是（ ）
A. a1+a2+a3+a4+a5+a6=1B. a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=12
C. 当x=-4时，（1-2x）6除以8的余数是1D. 展开式中二项式系数最大项为第3项
10.某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数A=a1a2a3a4⋯an，其中ai（i=1，2，3，⋯，n）∈{0，1}，若在A的各数位上出现0和1的概率均为，记X=a1+a2+a3+⋯+an，则当程序运行一次时（ ）
A.
B. P（X=k）=P（X=n-k）（0≤k≤n,k∈N*）
C. X的数学期望
D. X的方差
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，则（ ）
A.
B. 异面直线DE与PC所成角的余弦值为
C.
D. 点E到平面PCD的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.对于事件A，B，，，P（A∪B）=1，则= .
13.已知二面角α-1-β的棱上有A，B两点，AC⊂α，AC⊥l,BD⊂β，BD⊥l,若二面角α-1-β的大小为，且AC=3，AB=6，BD=4，则CD= .
14.已知，若a1=27，则的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知在（-）n（n∈N*）的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56：3.求：
（1）展开式中的所有有理项；
（2）展开式中系数绝对值最大的项.
16.(本小题15分)
（1）如图，要给地图上A，B，C，D四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？
（2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法.
17.(本小题15分)
某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在n=5和n=6之中选其一，则应选择哪个？
18.(本小题17分)
如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，侧面DCC1D1为等腰梯形，AB=2A1B1=4，，E为AD的中点.
（1）证明：平面DCC1D1⊥平面ABCD；
（2）求平面BDC1和平面ADD1A1夹角的余弦值.
（3）在AD上是否存在一点G，使G-BDC1的体积为，若存在，求BG与平面BDC1所成角的正弦值，若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
在某歌手大赛中，每位参赛选手均必须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为；在第二轮比赛中，甲、乙通过的概率分别为p,q.假设甲、乙两人在每轮比赛中是否通过互不影响.
（1）若，求乙恰好有一轮通过的概率.
（2）若甲、乙都恰好有一轮通过的概率为，甲、乙两轮都通过的概率为.
（i）求p,q的值；
（ii）求甲、乙两人至少有一人两轮都通过的概率.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】ABC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】7
14.【答案】43
15.【答案】和T7=13440
16.【答案】48 42
17.【答案】解：（1）根据题意，设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件A1，A2，A3，
所选的题目回答正确为事件B，
则P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）=，
所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为；
（2）当n=5时，X为甲答对题目的数量，则X∼B（10，p），
故当n=5时，甲获奖励的概率P1=P（X=5）+P（X≥6），
当n=6时，甲获奖励的情况可以分为如下情况：
①前10题答对题目的数量大于等于6，
②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题，
③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对，
故当n=6时，甲获奖励的概率

=，
，即P2＜P1，
所以甲应选n=5．
18.【答案】易知，则，
故，则ED⊥D1D，即AD⊥D1D，
由题易知AD⊥DC，
又因为D1D∩DC=D，DC，D1D⊂面DCC1D1，则AD⊥面DCC1D1，
又因为AD⊂面ABCD，故面DCC1D1⊥面ABCD 存在，
19.【答案】 （i）；（ii）