2025--2026学年江苏南京师范大学附属中学秦淮科技高中高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年江苏南京师范大学附属中学秦淮科技高中高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每题给出的四个选项中只有一项是正确的．
1. 计算（ ）
A. 42B. 36C. 21D. 20
2. 若展开式中的常数项为60，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
3. 已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
5. 现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 150B. 180C. 360D. 540
6. 已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（ ）
A. B.
C. D. 的图象关于对称
7. 已知存在使不等式成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在四棱锥中，面，，，，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 与面交于点，则
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥与的外接球体积之比为
11. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个盒中装有12张刮开前外表相同的，其中奖金为500元的一等奖有2张，奖金为300元的二等奖有3张，奖金为100元的三等奖有7张，从中随机抽出3张，则抽出的3张的奖金总额不高于700元的概率是____________．
13. 已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________．
14. 在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________．
四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
16. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥．
（1）证明：面平面；
（2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值．
17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码．
（1）求的概率分布列，并求出数学期望；
（2）小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？
（其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．）
18. 吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计数或逻辑运算，其核心形式是，其中与都是正整数，且．
（1）证明：，；
（2）化简：；
（3）证明：当时，.
19. 已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若对恒成立，求整数的最小值；
（3）当，证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点．
数学
（考试时间为120分钟，试卷满分150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每题给出的四个选项中只有一项是正确的．
1. 计算（ ）
A. 42B. 36C. 21D. 20
答案：B
解析：
解答过程.
2. 若展开式中的常数项为60，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
答案：B
解析：
思路：写出二项展开式的通项，整理后令的指数为0，得到常数项相应的项数，由常数项的值求的值.
解答过程：展开式的通项为，
令，得，
当时，，则有，解得.
故选：B.
3. 已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：由空间向量共面的推论，判断是否成立即可.
解答过程：对于A：根据给定线性关系式有，A错误；
对于B：根据给定线性关系式有，B错误；
对于C：根据给定线性关系式有，C错误；
对于D：根据给定线性关系式有，D正确.
4. 已知甲箱中有3个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：由题意，条件概率及全概率公式可得答案.
解答过程：记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，
根据题意可得，
，
所以
.
5. 现将《西游记》《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《史记》《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，则不同的分发方式种数是（ ）
A. 150B. 180C. 360D. 540
答案：D
解析：
思路：根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将组分发，由分步计数原理计算可得答案．
解答过程：根据题意，分2步进行分析：
将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
若分为3，2，1的三组，有种分组方法，
若分为2，2，2的三组，有种分组方法，
共有种分组方法，
最后将这三组分发，则有种分发方式．
6. 已知服从正态分布，记函数，，则正确的是（注：若，则，（ ）
A. B.
C. D. 的图象关于对称
答案：D
解析：
思路：利用正态分布的性质结合函数对称性的定义进行判断即可.
解答过程：因为，所以均值，标准差，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，
则，，
因为，而区间与不关于直线对称，
所以，故C错误；
对于D，因为，所以，，
所以，又，
所以，即，
所以，即的图象关于对称，故D正确.
7. 已知存在使不等式成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据题干条件，可将不等式转化为，令，，得，设，利用导数求得在上为递增函数，且在上只有一个零点，设为，得到，进而得到函数的单调性，求得取得最小值，结合题意，即可求解.
解答过程：
令，，
则，
设，可得，函数在上为单调递增函数，
又由，
所以函数在上只有一个零点，设为，即，即，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
其中最小值为，
要使得存在成立，所以，
所以.
8. 为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解deepseek的学生的人数为，则当取得最大值时的值为（ ）
A. 11B. 10C. 9D. 8
答案：C
解析：
思路：根据条件概率求出单个学生了解deepseek的概率，进而确定服从二项分布，利用二项分布的性质，通过比较与1的大小关系来确定最值.
解答过程：已知抽取男生、女生各50名，总样本100名，因此.
根据条件概率公式，代入得：
，
由，得：，
即随机抽取一名学生了解deepseek的概率.
由题意，（二项分布），则，
代入得：，
令，解得.
即当时，；
当时，，
因此最大时.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：利用赋值法即可判断．
解答过程：对于A，令，则，解得，故A正确；
对于B，令，则，所以，故B正确；
对于C，展开式的通项为，
则，即，故C错误；
对于D，令，则，
所以，故D正确．
10. 在四棱锥中，面，，，，，点为的中点，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 与面交于点，则
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥与的外接球体积之比为
答案：ABC
解析：
思路：建立如图所示空间直角坐标系，由向量的数量积 判断A；求出平面的法向量，再由空间点到平面的距离公式判断C；由几何关系找到各外接球圆心位置求出半径判断D；设，求出平面的法向量，再由判断B.
解答过程：
因为平面
以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
又，，点为的中点，点为的中点，
则，
由中点坐标公式可得，
A，，，
所以，即，故A正确；
B，设，，则，，
设平面的法向量为，，
由，可得，令，则，
因为 ，解得，
所以，故B正确；
C，设平面的法向量为，
由，可得，令，可得，
又，所以点到平面的距离为，故C正确；
D，因为平面，所以三棱锥的外接球的球心为中点，
又，所以其外接球半径为；
因为，，，所以，
又平面所以三棱锥的外接球的球心为的中点，
，所以其外接球半径为，
所以外接球半径之比为，即外接球体积之比为，故D错误；
11. 甲、乙、丙3人进行传球游戏，每次抛一枚均匀的硬币，若正面朝上，则持球者不传球；若反面朝上，则持球者等可能地将球传给其余2人之一，初始时球在甲手中，记第次抛硬币后球在甲手中的概率为，球在乙手中的概率为，在前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数为，则（ ）
A. B. C. D.
答案：BD
解析：
思路：根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，通过分类讨论列出概率的递推式，借助于等比数列求出概率解析式，运用二项分布的方差公式计算即可逐一判断.
解答过程：对于A，初始时球在甲手中，即，第一次抛硬币：若正面朝上（概率为）球在甲手里，则；
若反面朝上（概率为），球传给乙或丙，各占，所以，即满足，故A错误；
对于B，因为表示前次抛硬币的过程中3人之间传球的次数，每次传球的概率为，且各次独立，
则，故其方差为，故B正确；
对于C，设第次抛硬币后，球在丙手中的概率为，由对称性知，故，故C错误；
对于D，第次抛硬币后，球在甲手中的概率为，
所以，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，即；
同理，可得，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
，即；
所以，故D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 一个盒中装有12张刮开前外表相同的，其中奖金为500元的一等奖有2张，奖金为300元的二等奖有3张，奖金为100元的三等奖有7张，从中随机抽出3张，则抽出的3张的奖金总额不高于700元的概率是____________．
答案：
解析：
思路：利用组合数求出样本空间中样本点的总数和随机事件中含有的样本点的个数，根据古典概型的概率公式可求抽出的3张的奖金总额不高于700元的概率.
解答过程：设为“抽出的 3 张的奖金总额不高于 700 元”，
则.
13. 已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________．
答案：
解析：
思路：不妨设，将不等式化成，构造函数，可得其为上的增函数，即对所有恒成立，利用判别式即可求得参数范围.
解答过程：因为，且，都有，
不妨设，则可得，即，
因此可得在上单调递增，
所以对所有恒成立，
由，解得，
故实数m的取值范围为．
14. 在三棱锥中，且，点为中点，则直线与直线所成角的余弦值为____________．
答案：
解析：
思路：根据空间向量基本定理和向量数量积、向量的模的公式进行计算即可.
解答过程：因为点为中点，所以.
所以.
因为，
所以
.
由于
所以直线与直线所成角的余弦值为.
四、解答题：本题共5 小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
答案：（1）
（2）当时，在区间单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
解析：
思路：（1）当时，求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合已知点坐标求出切线方程；
（2）求导，结合函数定义域，按进行分情况讨论，并结合导数判定函数的单调性．
（1）当时，，求导得，
，，
在点处的切线方程为，化简得．
（2）由，得
，
的定义域为，
当时：，在区间单调递增；
当时：
当时，；当时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，当时，在区间单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
16. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥．
（1）证明：面平面；
（2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）利用等边三角形的中线性质与翻折前后的垂直不变性，证明垂直于平面，再由面面垂直的判定定理证得平面平面；
（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点与向量的坐标，通过求解平面的法向量，利用线面角的向量公式计算出直线和平面所成角的正弦值.
（1）由题意得，为等边三角形，
又为中点，所以，，由翻折性质，翻折至，垂直关系不变，故 ，
又因为，所以平面.又因为平面，所以平面平面.
（2）如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
由（1）知，，又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，.
，，，设平面的法向量，
则，即，令，则，所以 ，
设直线与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．如图所示，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡着一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为1，2，3，4，5，6，7，用表示小球最后落入格子的号码．
（1）求的概率分布列，并求出数学期望；
（2）小明同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，若3元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，你觉得小明同学能盈利吗？
（其中当或7时，；当或6时，；当或5时，；时，．）
答案：（1）
（2）小明同学不能盈利.
解析：
思路：（1）根据题意，确定服从二项分布并求解分布列，利用分布列的期望计算方法求；
（2）根据与的对应关系，结合的分布列求出的分布列，再计算的数学期望，再比较大小即可.
（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7.
，
，
，
则的概率分布列为：
数学期望 ；
（2）因为当或7时，；当或6时，；当或5时，；当时，.
利用（1）得的概率分布列为：
，
所以小明同学不能盈利.
18. 吸收恒等式是组合数学和逻辑代数中的重要恒等式，用于简化组合计数或逻辑运算，其核心形式是，其中与都是正整数，且．
（1）证明：，；
（2）化简：；
（3）证明：当时，.
答案：（1）证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
解析：
（1）当，，即得证.
（2）（3）
当时，
等式左边第一部分：

等式左边第二部分：

综上得，
19. 已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若对恒成立，求整数的最小值；
（3）当，证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点．
答案：（1）证明见解析
（2）3 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）时，，构造函数并求导，分析的单调性，进而得出，进而证明结论；
（2）根据函数的性质结合对恒成立得出的范围，再根据是整数，用赋值法求出的最小值；
（3）求导，构造新函数，再求导，利用导数分析函数单调性，分析函数的极值，并利用零点存在定理分析函数的零点情况．
（1）若，则，构造函数，
当时，，
在上单调递增，
，即，
，故，即，
当时，．
（2）已知，
则，且，
已知对恒成立，且为整数，
则，解得，
当时，，
，不符合，故，
当时成立，此时，
当时，，
令，可得，
在上递增，在上递减，
又，，
，即，
当时，可得，
，
当时，均有对恒成立，
综上所述，整数的最小值为3．
（3）由，可得，
令，可得，
当时，在上递增，
而，，
存在，使得 ，
在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
存在，使得，
在上递减，在上递增，
又当时，，
在上递增，
在上单调递减，在上单调递增，
是在上的唯一极小值点；
此时，，
存在，即上存在唯一零点，使得．1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
1
4
6
10