2025--2026学年湖南省衡阳市衡阳县第一中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年湖南省衡阳市衡阳县第一中学高一下学期期中考试数学试题-含解析试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0B. 3C. 5D. 8
2. 复数与的积是实数的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
4. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，，轴，则原四边形的面积是（ ）

A. B. C. D.
7. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ）
A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心
8. 如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ）
A. B. 3C. D.
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分）．
9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 对应的点在第三象限B.
C. 为纯虚数D. 的共轭复数为
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 为函数的一个对称中心点
C. 为函数的一个递增区间
D. 可将函数向右平移个单位得到
11. 在中，角对边分别为，设向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若的面积为，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．
12. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为________．
13. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为___________
14. 在中，已知，，，则_________．
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．
15. 已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限．
（1）求z；
（2）若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB．
16. 已知函数，．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递减区间．
17. 已知三个互不相同的平面向量，与夹角为，与夹角为，
（1）求与的夹角．
（2），求的范围．（注：）
18. 如图，在中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
19. 借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC.现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记.
（1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积；
（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.
数学
分值150分，时量120分钟
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1. 已知集合，，则中元素个数为（ ）
A. 0B. 3C. 5D. 8
答案：C
解析：
思路：根据补集的定义即可求出．
解答过程：因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
2. 复数与的积是实数的充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：先求积可得，根据复数为实数的性质，即可得解.
解答过程：，
若要复数与的积是实数，
则，
反之，则复数与的积是实数，
所以是复数与的积是实数的充要条件，
故选：A
3. 下列不等式中成立的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
答案：B
解析：
思路：举反例说明A错误；利用作差比较法，结合不等式性质可逐一判断选项BCD.
解答过程：A项，若，，则，故 A错误；
B项，若，则，
，，故B正确；
C项，若，则，
，，故C错误；
D项，若，则，，
，，故D错误.
故选：B.
4. 函数的零点所在区间是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
解答过程：由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
5. 已知，，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据向量共线的坐标表示求解即可.
解答过程：解：因为，，若，
所以，，解得
故选：C
6. 如图是水平放置的四边形的斜二测直观图，且轴，，轴，则原四边形的面积是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据斜二测画法，把直观图还原出原平面图形，再求出原平面图形的面积，即可得答案．
解答过程：根据题意，因为直观图中，轴，轴，
所以四边形是一个上底为，下底为，高为的直角梯形，

则原四边形的面积．
故选：C．
7. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ）
A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心
C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心
答案：C
解析：
思路：根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心.
解答过程：
因为，所以到定点的距离相等，
所以为的外心；
由，则，
取的中点，则，
所以，即为靠近的三等分点，
所以是的重心；
由，得，即，
所以，同理，，所以点为的垂心.
8. 如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ）
A. B. 3C. D.
答案：D
解析：
思路：利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值．
解答过程：因为在区间，上是“凸函数”，
所以
得
即：的最大值是
故选：D.
方法提示：本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和．
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对给6分，部分选对给部分分，有选错的给0分）．
9. 若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. 对应的点在第三象限B.
C. 为纯虚数D. 的共轭复数为
答案：AB
解析：
思路：根据复数的除法可得，然后逐项分析即得.
解答过程：因为，
对于A：对应的点（-2，-1）在第三象限，正确；
对于B：模长，正确；
对于C：因为，故不是纯虚数，C不正确；
对于D：的共轭复数为，D不正确.
故选：AB.
10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A.
B. 为函数的一个对称中心点
C. 为函数的一个递增区间
D. 可将函数向右平移个单位得到
答案：ABD
解析：
思路：根据函数图像可求出、、的值，可得的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.
解答过程：由题可得得，，，则，故A正确；
又，所以，又，
所以，所以，
对于B，当时，，所以函数图象关于点对称，故B正确；
对于C，由，可得，
令，可得，所以不是函数一个递增区间，故C错误；
对于D，将函数向右平移个单位得到，故D正确.
故选：ABD.
11. 在中，角对边分别为，设向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D. 若的面积为，则
答案：BC
解析：
思路：根据向量平行得到，结合余弦定理转化为，进而利用正弦定理得到，化简整理即可判断A、B选项；利用正弦定理及二倍角公式将转化为，然后求出角A的范围，进而求出值域即可判断C选项；利用，结合正弦定理及二倍角公式化简整理可求得角，进而可以求出角，从而可以判断D选项.
解答过程：因为向量，且，所以，即，
结合余弦定理得，，，
再结合正弦定理得，，
又因为,
所以，
，
，
，
所以，故，所以B正确，A错误；
，因为，所以，
又因为，所以，所以，
即，因此，故C正确；
因为，结合正弦定理，
即，则,
,，，
则，或，
故或，故或，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分．
12. 已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为________．
答案：
解析：
思路：由中点的向量表示可得O为BC的中点，设三角形ABC的外接圆的半径为r，求得，以及向量在向量上的投影，进而得到所求向量．
解答过程：解：由，可得O为BC的中点，
设△ABC的外接圆的半径为r，可得|AB|＝|OA|＝|OB|＝|OC|＝r，,
则
所以向量在向量上的投影为，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：.
13. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为___________
答案：
解析：
思路：设圆锥的半径为，母线长为，根据已知条件求出，，可求得该圆锥的底面直径．
解答过程：解：设圆锥的半径为，母线长为，
侧面展开图是一个半圆，则，即，
又圆锥的表面积为，
则，解得，．
这个圆锥的底面直径是．
故答案为：．
14. 在中，已知，，，则_________．
答案：或
解析：
思路：利用余弦定理建立关于边的一元二次方程，求解方程得到的可能值后验证是否符合三角形的构成条件.
解答过程：对于，由余弦定理得：，
代入已知条件，，，，
可得：，
整理为一元二次方程：，解得：，
故为或.
四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程．
15. 已知复数z满足，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限．
（1）求z；
（2）若z，在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）运用复数几何意义设出，再结合共轭复数定义写出，再运用复数乘法运算求得结果.
（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.
（1）由题意知，设（），则，
所以，解得：，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，
所以，，如图所示，

所以，，
， ，
所以.
所以.
16. 已知函数，．
（1）求的值；
（2）求的最小正周期及单调递减区间．
答案：（1）0，（2），
解析：
思路：（1）先利用降幂公式把函数化简，然后代值求解即可；
（2）直接用周期公式求最小正周期，先求出在上的递减区间，再与区间求交集即可.
解答过程：解：（1）
，
所以，
（2）的最小正周期为，
由，得，
所以在上的递减区间为，
因为，
所以的减区间为
方法提示：此题考查了三角函数的恒等变换公式，三角函数的图像和性质，属于基础题.
17. 已知三个互不相同的平面向量，与夹角为，与夹角为，
（1）求与的夹角．
（2），求的范围．（注：）
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量垂直的判定求与的夹角.
（2）先对进行平方，再结合已知条件求出关于k的不等式，最后求解不等式得到k的范围.
（1）因为，
所以，即与的夹角为．
（2）因为与夹角为，与夹角为，且三个向量为互不相同的平面向量，
所以和位于以方向为角平分线的角的两边，
故与的夹角为120°。
又因为，所以 ，
即 ，
所以 ，
化简得，解得或，所以的取值范围是．
18. 如图，在中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；
（2）若，的面积为，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度；
（2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值.
（1）因为，
由正弦定理可得：，
即，
因为，则，故，则为锐角，
所以，
因为，则，
在中，由正弦定理得，
所以，解得．
（2），则
由，得，.
由余弦定理可得：
.
在中，由正弦定理可得，
故，
在中，由正弦定理可得，
故，
因为，
所以．
19. 借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济.如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为.设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC.现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足且的三角形观赏台AOC，记.
（1）当时，求矩形观赏台MNPQ的面积；
（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值.
答案：（1）平方米；（2）212.5平方米.
解析：
思路：（1）过M作OA的垂线，交AO于点E,过N作OA的垂线，交AO于点F，分别计算出MN、NP，即可求出矩形MNPQ的面积
（2）由题意可知，，利用正弦定理表示出各边，把观赏台面积表示为x的函数，，利用三角函数求最值.
解答过程：（1）
当时，过M作OA的垂线，交AO于点E.
则.
.
过N作OA的垂线，交AO于点F，.
∵，，
∴.
.
矩形MNPQ的面积平方米.
所以矩形观赏台MNPQ的面积平方米.
（2）由题意可知，，，，，
在中，由，
得.
矩形MNPQ的面积.
观赏台的面积.
整个观赏台面积.
设，，
∴.
.
∴.
∴
.
当时，整个观赏台观赏台S取得最大值为212.5平方米.
∴整个观赏台的面积S的最大值为212.5平方米.
方法提示：数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．