2025--2026学年湖南衡阳市祁东县第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年湖南衡阳市祁东县第一中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则（ ）
A. 0.28B. 0.56C. 0.34D. 0.48
4. 已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ）
A. 垂直B. 共线C. 夹角为D. 夹角为
5. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次.
A. 100B. 150C. 200D. 250
6. 甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 35B. 36C. 42D. 50
8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.(在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ）
A. 该部门一年中请假天数为0的人数为10
B. 该部门一年中请假天数大于5的人数为10
C. 这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4
D. 这30名员工一年中请假天数的平均数小于4
10. 记为等比数列的前项和，为的公比，；若，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一个人，下列结论正确的是（ ）
A. 若此人选自地区，则其患流感的概率为0.05
B. 此人患流感的概率为0.0485
C. 若此人患流感，则其选自地区的概率为
D. 若此人患流感，则其选自地区的概率为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
13. 在的展开式中，项的系数为_____________．
14. 如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
16. 记的内角的对边分别为，已知，点与分别在直线的两侧，且．
（1）求证：；
（2）若，求．
17. 如图，在直三棱柱中，D为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求二面角的余弦值．
18. 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为X，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，．
（i）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求的值．
19. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线l过点T，求的面积；
（3）若直线平分，求直线l的斜率．
数学
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.(每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.)
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据条件得到，再利用集合的运算，即可求出结果.
解答过程：由，得到，所以，又，
所以，
故选：C.
2. 若复数在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用复数的几何意义，即可求出结果.
解答过程：因为，其对应的坐标为，
故选：C.
3. 已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则（ ）
A. 0.28B. 0.56C. 0.34D. 0.48
答案：B
解析：
思路：先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参.
解答过程：因为y关于x的经验回归方程为，
所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值，
所以，
所以.
故选：B.
4. 已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ）
A. 垂直B. 共线C. 夹角为D. 夹角为
答案：B
解析：
思路：由题意结合数量积定义直接计算得即可得解.
解答过程：设已知两个向量的夹角为θ，
由题
，
，所以共线.
故选：B.
5. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次.
A. 100B. 150C. 200D. 250
答案：A
解析：
思路：利用正态曲线的对称性可求得答案.
解答过程：因为 ，则有，
所以，
该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为.
6. 甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用独立重复事件，分析获胜情况，即可求出概率.
解答过程：甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲､乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，
并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为.
故选：C
7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 35B. 36C. 42D. 50
答案：D
解析：
思路：以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数.
解答过程：有四类不同的安排情形：
①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱，
有种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有种.
方法提示：本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算.
8. 已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据已知条件求得母线长，以及长度，从而确定为底面圆直径；再求三角形面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值.
解答过程：因为，，故母线，
又，故，故为底面圆直径；
对三角形，设边上的高为，则其面积，
当且仅当为弧的中点时取得最大值；
故三棱锥体积.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.(在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ）
A. 该部门一年中请假天数为0的人数为10
B. 该部门一年中请假天数大于5的人数为10
C. 这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4
D. 这30名员工一年中请假天数的平均数小于4
答案：ACD
解析：
思路：根据柱形图逐一判断各个选项即可.
解答过程：对于A,该部门一年中请假人数为0的人数为，A正确．
对于 B,该部门一年中请假天数大于5的人数为，B错误．
对于C,因为，且请假天数为0的人数为10，请假天数为4的人数为6，
所以这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4，C正确．
对于D,这30名员工一年中请假天数的平均数为，D正确．
故选：ACD.
10. 记为等比数列的前项和，为的公比，；若，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
思路：利用等比数列的基本量逐项计算判断.
解答过程：对于A：由，解得，A正确；
对于B：，B错误；
对于C：，C错误；
对于D：
，D正确；
故选：AD.
11. 在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一个人，下列结论正确的是（ ）
A. 若此人选自地区，则其患流感的概率为0.05
B. 此人患流感的概率为0.0485
C. 若此人患流感，则其选自地区的概率为
D. 若此人患流感，则其选自地区的概率为
答案：ABC
解析：
思路：应用条件概率计算判断A，应用全概率公式计算判断B，根据贝叶斯公式计算判断C，D.
解答过程：设“此人患流感”，，
所以，故A正确；
所以，故B正确；
若此人患流感，则其选自地区的概率为，故C正确；
若此人患流感，则其选自地区的概率为，故D错误，
故选:ABC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
答案：
解析：
思路：根据切线斜率等于切点处的导数值求出切线斜率，然后用点斜式写出切线方程即可.
解答过程：由题意，点是切点，，
则；
故曲线在点处的切线方程为：，即.
故答案为.
13. 在的展开式中，项的系数为_____________．
答案：10
解析：
思路：依据多项式乘法的法则得到含项只需要其中三个因式取第四个因式不取即可.
解答过程：展开式中项的产生，
可以看作，，，四个括号中三个括号取，
一个括号取常数，所以项的系数为.
14. 如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________．

答案：
解析：
思路：先按3人的座位在第二排的人数进行分类，再根据分类计数原理与古典概型概率公式可得.
解答过程：甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种：
第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法；

第二种，这3人中2人在第一排，1人在第二排，
共有种不同的安排方法；

第三种，这3人中1人在第一排，2人在第二排，
①若第一排的这1人安排在中间的位置，
则有种不同的安排方法，

②若第一排的这1人不安排在中间的位置，
则有种不同的安排方法．

故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为．
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表：
（1）求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关；
（2）在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附：，其中．
答案：（1），体质情况与爱好运动有关.
（2）的分布列为：
.
解析：
（1）由表中数据可得，表格完善如下：
设：体质情况与爱好运动无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关.
（2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动，
故的所有可能取值为0，1，2，
，，，
即所求分布列为
所以的期望.
16. 记的内角的对边分别为，已知，点与分别在直线的两侧，且．
（1）求证：；
（2）若，求．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）先应用正弦定理得出，再结合两角和差的正弦公式，最后结合角的范围即可证明；
（2）应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理计算即可.
（1），
，
，
，
，
，
，
或，
或（舍去），．
（2）在中，，
，，
在中，
，，
在中，由余弦定理得：，
，.
17. 如图，在直三棱柱中，D为的中点．
（1）证明：平面．
（2）若，求二面角的余弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）连接交于点E，连接，运用中位线性质得到，后运用线面平行判定证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出平面法向量和平面法向量，后运用向量夹角公式计算即可.
（1）证明：连接交于点E，则E为的中点．
连接．因为D为的中点，所以，
又平面平面，
所以平面．
（2）取的中点O，连接．
因为，所以，且．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
设平面的法向量为，
则
令，得．
易知平面的一个法向量为．
．
由图可知，二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
18. 某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
（1）求小王答3道题后积分小于6的概率；
（2）设小王答4道题后积分为X，求；
（3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为（，1，2，…，12）时，最终积分为12的概率为，则，．
（i）证明：数列为等比数列；
（ⅱ）求的值．
答案：（1）
（2） （3）（i）证明见解析；（ⅱ）
解析：
思路：（1）分小王3题都答错，或答对1题，答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案；
（2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案；
（3）（i）根据全概率公式得，再构造成等比数列即可证明；
（ii）根据（i）的结果并结合累加法和等比数列求和即可得到答案.
（1）小王答3道题后积分小于6，则小王3题都答错，或答对1题，答错2题，
故所求概率为.
（2）设小王答对的题数为，则他答错的题数为，
所以．
由题意知，所以，所以．
（3）（i）当小王的积分为时，若小王接下来一题答对，
则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为．
由全概率公式有，
整理可得．
又，所以为等比数列．
（ii）由（i）可得，
所以，
又，所以．
所以.
19. 设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若直线l过点T，求的面积；
（3）若直线平分，求直线l的斜率．
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）根据题意得到，解出即可；
（2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案；
（3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可.
（1）由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3，
即，解得，
所以拋物线的标准方程为：．
（2）点，设．
此时直线的斜率为，的方程可写为．
与抛物线方程联立得：．
由韦达定理，，，
此时面积为．
（3）设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：，
将其与抛物线方程联立得：．
由韦达定理，.
由题意：．
又，所以．
又因为，，
代入化简得：．
即．
又，故．
即，解得：．

体质情况组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
体质情况组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
0
1
2
体质情况组别
合格
良好及以上
合计
爱好运动
不爱好运动
合计
0
1
2