2025--2026学年湖南省衡阳市衡阳县第三中学高一下学期期中考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年湖南省衡阳市衡阳县第三中学高一下学期期中考试数学试题-含解析试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则内的任何直线都与平行
C. 若，，则
D. 若，，则
4. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）
A. 12B. 15C. 48D. 60
6. 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩25个时，（ ）参考数据：.
A. 100B. 300C. 1000D. 2000
7. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则的最小值为0
C. 若，，则D. 若，，则
10. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限
B. 复数的模
C. 若，则或
D. 若复数是纯虚数，则
11. 在中，，（ ）
A. 若，则存在两个不同的满足条件
B. 的外接圆面积为定值
C. AB边上的高的最大值为
D. 为锐角三角形
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）
12. 已知幂函数的图象经过点，则___________．
13. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积___________．
14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________．
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知复数，．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
16. 已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
17. 如图，正三棱柱中，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长.
18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，且．
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若，求的取值范围．
19. 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并用定义加以证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
数学
满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：已知全集，
则.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：由偶次根式和分式函数的定义域可得答案.
解答过程：要使函数有意义，必须有解之得且，
则函数的定义域为．
故选：D．
3. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，则内的任何直线都与平行
C. 若，，则
D. 若，，则
答案：B
解析：
思路：根据面面平行性质、线面平行性质等相关知识求解即可.
解答过程：因为，，则或相交或异面，故A错误；
由面面平行的性质可知，若，则内的任何直线都与平行,故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，则或，故D错误．
故选：B
4. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
解答过程：根据平面向量平行的坐标性质，若，，
则，代入，得：，
即，解得或，
判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立；
若，还可以取，不能推出，必要性不成立，
因此是的充分而不必要条件.
5. 已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）
A. 12B. 15C. 48D. 60
答案：C
解析：
思路：先根据正四棱锥的几何特征求出斜高，再代入侧面积公式计算即可。
解答过程：正四棱锥的侧面为4个全等的等腰三角形，等腰三角形的腰长为侧棱长5，底边长为底面边长6。
设斜高，斜高、侧棱长、底面边长的一半构成直角三角形，
由勾股定理得：h'=52−32=4
单个侧面的面积为
则正四棱锥的侧面积S=4S1=4×12=48
6. 遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）与初次记忆经过的时间的函数关系式为，当其记住的单词仅剩25个时，（ ）参考数据：.
A. 100B. 300C. 1000D. 2000
答案：C
解析：
思路：根据题设得到，两边取对数求解，即可得出结果.
解答过程：根据题意得，整理得到，
两边取以10为底的对数，得到，
即，又，
所以，得到.
故选：C.
7. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解.
解答过程：，
在上的投影向量为，
故选：C
8. 已知是锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据给定条件，利用同角公式、和角的余弦公式计算即得.
解答过程：由是锐角，得，由，得，
所以
.
故选：D
二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则的最小值为0
C. 若，，则D. 若，，则
答案：ACD
解析：
思路：根据已知条件，利用基本不等式逐一判断，判断过程注意等号成立的条件，从而即可求解.
解答过程：对于A，时等号成立，A正确：
对于B，因为，所以，
当且仅当或时取“=”，即等号不成立，所以B错误；
对于C，因为，，所以，C正确；
对于D，因为，所以，则，
当且仅当时取“=”，所以D正确.
故选：ACD.
10. 设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限
B. 复数的模
C. 若，则或
D. 若复数是纯虚数，则
答案：ABD
解析：
思路：结合共轭复数的定义和复数的几何意义可以判断A；结合复数的模可以判断B和C；结合纯虚数的定义建立关于的方程，求解可以判断D.
解答过程：对于选项A，由，可得，在复平面内对应点为在第四象限，故正确；
对于选项B， ，故正确；
对于选项C，表示所有满足（设）的复数，有无数个，例如的模也为1，并非只有，故错误；
对于选项D，令实部，解得或；虚部，即，故，故正确.
11. 在中，，（ ）
A. 若，则存在两个不同的满足条件
B. 的外接圆面积为定值
C. AB边上的高的最大值为
D. 为锐角三角形
答案：BCD
解析：
思路：利用正弦定理判断A、B，通过余弦定理及基本不等式求解三角形面积的最大值，从而求解高的最大值判断C，利用锐角三角形的概念判断及充要条件判断D.
解答过程：对于选项A，由正弦定理得，
又，所以或，当时，，
三角形不存在，故只有一个满足条件，错误；
对于选项B，设的外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以的外接圆面积为，正确；
对于选项C，由余弦定理可知，故，当且仅当时，等号成立，
所以，此时面积的最大值为，设AB边上的高为，
则，所以，即AB边上的高的最大值为，正确；
对于选项D，因为为锐角三角形，所以，所以，
当时，，所以，
所以为锐角三角形，所以为锐角三角形，正确.
故选：BCD
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上）
12. 已知幂函数的图象经过点，则___________．
答案：4
解析：
思路：由幂函数图象所过点求出幂函数解析式，然后计算函数值．
解答过程：设，则，，即，
所以．
故答案为：4
13. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，则四边形的面积___________．
答案：
解析：
思路：先求出平行四边形的面积为，设四边形的面积为，由即可求解.
解答过程：由题设平行四边形，的面积为，四边形的面积为，
因，所以，
根据直观图与原图面积关系.
故答案为：.
14. 已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________．
答案：
解析：
思路：由不等式为，分，和讨论求解.，
解答过程：解：由题意知：不等式可化为，
当时，该不等式无解；
当时，，
如图所示：
由图象知：，
此时要有两个整数解是，，
所以，
所以，
当时，，
如图所示：
由图象知：，
此时由两个整数解0，1，
所以，
所以
所以，
综上的取值范围是
故答案为：
四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知复数，．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
答案：（1）1 （2）
（3）解析：
思路：（1）由复数的类型得到方程和不等式，得到m的值；
（2）由题意得到方程，求出m的值；
（3）由复数对应的点所在象限得到不等式组，求出m的取值范围.
（1）若z是纯虚数，则，
∴，则m的值为1；
（2）若z在复平面内对应的点在直线上，
则，解得
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，则，
∴，则m的取值范围为．
16. 已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）且
解析：
思路：（1）根据平面向量线性运算的坐标表示即可求出；
（2）根据平面向量线性运算的坐标表示以及向量平行的坐标表示即可解出；
（3）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出．
（1）因为，，，．
（2），，
，， 解得．
（3）与的夹角是钝角，，且，
，且，解得且．
17. 如图，正三棱柱中，，点是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）连接，交于点N，连接，易得，由线面平行的判定定理得证；
（2）由三棱锥体积公式求解.
（1）连接，交于点N，连接，
因为四边形为矩形，所以为的中点，
又点是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为为等边三角形，是的中点，所以，
又，故，
因为平面，
设，则，
所以，即，解得，
故这个三棱柱的侧棱长为3.
18. 在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量，且．
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值；
（3）若，求的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据向量的数量积公式结合正弦定理化简，再应用两角和正弦公式化简求解；
（2）应用平面向量的数量积运算律结合基本不等式得出，最后应用面积公式计算求解即可；
（3）应用正弦定理边角转化，再应用三角恒等变换结合角的范围求解三角函数值域即可解题.
（1）因为，所以，即，
所以．
因为，所以，
所以，所以．
因为，所以．
（2）因为，所以，
所以，所以，
所以．
因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积，即面积的最大值为，
（3）由正弦定理可得，
则，
故．
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，
则，即的取值范围为．
19. 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性并用定义加以证明；
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案：（1）；（2）在R上是减函数；（3）.
解析：
思路：（1）利用待定系数法求出的解析式，再利用奇偶性恰当赋值求出；
（2）先利用分离常数法进行化简判定单调性，再利用定义进行证明；
（3）利用奇偶性将不等式化为恒成立问题，再利用单调性转化为恒成立问题.
解答过程：（1）设且，
，，，
，
函数是奇函数，
所以，解得，
当时，经检验是奇函数，符合题意.
（2）函数是上的减函数，
证明如下：由（1）可知：
任取，且，
则，
，
，即．
函数是上的减函数.
（3）对任意的恒成立，
对恒成立，
由函数是上的奇函数，
对任意的恒成立，
又函数是上的减函数，
对任意的恒成立，
对任意的恒成立，
对任意的恒成立，
.
方法提示：关键点点睛：在处理带有分式的函数的单调性时，往往先分离常数，借助反比例函数的单调性进行判定.