2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县第一中学高一（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，3，5}，则∁UA中元素个数为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 8
2.复数a+bi与c-di（其中a,b,c,d∈R，i为虚数单位）的积是实数的充要条件是（ ）
A. ad+bc=0B. ac+bd=0C. ac=bdD. ad=bc
3.下列不等式中成立的是（ ）
A. 若a＞b＞0，则ac2＞bc2B. 若a＞b＞0，则a2＞b2
C. 若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D. 若a＜b＜0，则＜
4.函数f（x）=0.3x-的零点所在区间是（ ）
A. （0，0.3）B. （0.3，0.5）C. （0.5，1）D. （1，2）
5.设=（4，2），=（6，y），且∥，则y=（ ）
A. 3B. 12C. -12D. -3
6.如图是水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图A'B'C'D'，且A'D'∥y'轴，A'B'∥x'轴，则原四边形ABCD的面积是（ ）
A. 14
B.
C. 28
D.
7.已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，==，则点O、N、P依次为△ABC的（ ）
A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心
8.如果函数f（x）在区间D上是“凸函数”，则对于区间D内任意的x1，x2，…，xn，有≤f（）成立.已知函数y=sinx在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A. z对应的点在第三象限B.
C. z2为纯虚数D. z的共轭复数为2-i
10.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（ ）
A. ω=2
B. 为函数f（x）的一个对称中心点
C. 为函数f（x）的一个递增区间
D. 可将函数cs2x向右平移个单位得到f（x）
11.在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，且，则下列选项正确的是（ ）
A. A=2BB. C=2A
C. D. 若△ABC的面积为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知△ABC的外接圆圆心为O，且，则向量在向量上的投影向量为______．
13.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 .
14.在△ABC中，已知B=30°，，c=2，则a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z满足z•=2，且z的虚部为-1，z在复平面内所对应的点在第四象限.
（1）求z；
（2）若z，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，∠OAB.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=sin2x-cs2x-2sinxcsx,.
（1）求的值；
（2）求f（x）的最小正周期及单调递减区间.
17.(本小题15分)
已知三个互不相同的平面向量，与夹角为60°，与夹角为60°，
（1）求与的夹角.
（2），求k的范围.（注：）
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AB=2，3acsB-bcsC=ccsB，点D在线段BC上.
（1）若，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ABC的面积为，求的值.
19.(本小题17分)
借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池OAB中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济．如图所示，扇形荷花水池OAB的半径为20米，圆心角为．设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台MNPQ，另一部分是三角形观赏台AOC．现计划在弧AB上选取一点M，作MN平行OA交OB于点N，以MN为边在水池中修建一个矩形观赏台MNPQ，NP长为5米；同时在水池岸边修建一个满足AO=OC且∠COA=2∠AOM的三角形观赏台AOC，记∠AOM=x（）．
（1）当∠AOM=时，求矩形观赏台MNPQ的面积；
（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AB
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】或
15.【答案】解：（1）设z=x-i（x∈R），则=x+i，
∵z•=2，∴x2+1=2，
得x=-1或x=1，
又z在复平面内所对应的点在第四象限，
∴z=1-i；
（2）∵z2=（1-i）2=-2i，
∴A（1，-1），B（0，-2），O（0，0），
，，
则cs∠OAB=，
∴∠OAB=90°．
16.【答案】0 T=π，以f（x）的减区间为
17.【答案】90°
18.【答案】
19.【答案】解：（1）当∠AOM=时，过M作OA的垂线，交AO于点E，
∵，，
∴，
∴在△OMN中，∠MNO=π-∠NMO-∠NOM=，
根据正弦定理可得，，
∴，
矩形观赏台MNPQ的面积S=MN•NP=5× 平方米，
∴矩形观赏台MNPQ的面积．
（2）由题意可得，∠AOM=x，，，，
∵在△OMN中，，
∴MN=OMcsx-OMsinx=20（csx-sinx），
矩形面积MNPQ的面积S1=MN•NP=5×20（csx-sinx）=100（csx-sinx），
观赏台△AOC的面积==200sin2x，
整个观赏台面积S=S1+S2=100（csx-sinx）+200sin2x，
设t=csx-sinx=，
∴=，
∵t2=（csx-sinx）2=1-sin2x，
∴sin2x=1-t2，
∴S=100t+200（1-t2）=，
当t=∈[0，]时，整个观赏台面积S的最大值为212.5平方米，
∴整个观赏台面积S的最大值为212.5平方米