2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县第三中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年湖南省衡阳市衡阳县第三中学高一（下）期中数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知全集U=R，集合∁UA={x|x≥-2}，则A=（ ）
A. {x|x≤-2}B. {x|x＜-2}C. {x|-2＜x＜0}D. {x|-2≤x≤2}
2.函数f（x）=的定义域为（ ）
A. （1，+∞）B. （1，2）∪（2，+∞）
C. [1，2）∪（2，+∞）D. [1，+∞）
3.设α，β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，下列命题正确的是（ ）
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n
B. 若α∥β，则α内的任何直线都与β平行
C. 若α∥β，m∥α，则m∥β
D. 若m∥n,n∥α，则m∥α
4.已知向量，，则“x=3”是“∥”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 48
6.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率（记住的单词个数占总单词数的百分比）y与初次记忆经过的时间x（h）的函数关系式为y=1-，当其记住的单词仅剩25个时，x≈（ ）参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48
A. 100hB. 300hC. 1000hD. 2000h
7.已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8.已知α是锐角，，则=（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的是（ ）
A. 若a≠0，则a2+≥4B. 若a＞0，则a+的最小值为0
C. 若a＞0，b＞0，则a+b≥2D. 若a＜0，b＜0，则+≥2
10.设复数z的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（ ）
A. 若复数z=3+4i,则在复平面内对应的点在第四象限
B. 复数z=3+4i的模|z|=5
C. 若|z|=1，则z=±i或±1
D. 若复数（m2+3m-4）+（m-1）i是纯虚数，则m=-4
11.在△ABC中，，（ ）
A. 若BC=1，则存在两个不同的△ABC满足条件
B. △ABC的外接圆面积为定值π
C. AB边上的高的最大值为
D. △ABC为锐角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数y=f（x）的图象经过点（2，4），则f（-2）=______．
13.如图，平行四边形O′A′B′C′是水平放置的四边形OABC的直观图，O′C′=4，，则四边形OABC的面积S= .
14.已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2-（m+1）f（x）+m＜0恰有两个整数解，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（m2-1）+（m2-m-2）i,m∈R.
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线x-y+1=0上，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
已知向量，，，．
（1）求；
（2）若，求实数k的值．
（3）若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=4，点M是AC的中点.
（1）求证：AB1∥平面MBC1；
（2）若三棱锥C1-MBC的体积为，求这个三棱柱的侧棱长.
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,向量=（csC，2b-c），=（a,-csA），且.
（1）求A；
（2）若，，求△ABC面积的最大值；
（3）若，求2b-c的取值范围.
19.(本小题17分)
已知指数函数y=g(x)满足：g(2)=4，定义域为R的函数是奇函数。（1）求a，b的值；（2）判断函数f(x)的单调性并用定义加以证明；（3）若对任意的t∈R，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】4
13.【答案】8
14.【答案】[-2，0）∪（4，6]
15.【答案】解：（1）∵z是纯虚数，∴，∴m=1．
（2）∵z在复平面内对应的点为（m2-1，m2-m-2），在直线x-y+1=0上，
∴m2-1-（m2-m-2）+1=0，∴m=-2．
（3））∵z在复平面内对应的点为（m2-1，m2-m-2），在第四象限，
∴，∴1＜m＜2．
m的取值范围为（1，2）．
16.【答案】解：（1）∵，，，
∴=（6，1）+（-4，6）-（2，2）=（0，5）；
（2）∵，，
又∵，
∴10（2+3k）-5（2-2k）=0，解得k=；
（3）∵与的夹角是钝角，
∴=，且，
∴，且，
​​​​​​​解得k＜18且k，
故实数k的取值范围为．
17.【答案】连接B1C，交BC1于点N，连接MN，

∵四边形BB1C1C为矩形，∴N为B1C的中点，
又点M是AC的中点，∴AB1∥MN，
∵AB1⊄平面MBC1，MN⊂平面MBC，
∴AB1∥平面MBC1．
3
18.【答案】；
；
（0，6）．
19.【答案】解：（1）设g（x）=mx（m＞0，m≠1）
∵g（2）=4，
∴m2=4，
∴m=2，
∴g（x）=2x．
∴，
∵定义域为R的函数f（x）=是奇函数，
∴，
∴．
（2）函数f（x）是R上的减函数，下面证明．
证明：由（1）可知：f（x）=，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则：f（x1）-f（x2）=（-+）-（-+）=，
∵x1＜x2，
∴2＞，，，
∴f（x1）-f（x2）＞0，
∴f（x1）＞f（x2）．
∴函数f（x）是R是上的单调递减函数．
（3）∵f（2t2-2t）+f（2t2-k）＜0对于任意的t∈R恒成立，
∴f（t2-2t）＜-f（2t2-k）．
∵定义域为R的函数f（x）是奇函数，
∴f（t2-2t）＜f（k-2t2）．
∵函数f（x）是R上的减函数，
∴t2-2t＞k-2t2，
∴k＜3t2-2t=对于任意的t∈R恒成立，
∴k＜-．